函数

一次函数知识点总结

（一）函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值

与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之

有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些

点组成的图形，就是这个函数的图象．

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数

关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

(二)、平面直角坐标系

1、定义：平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中水平的数轴叫做横轴（或

x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴的交点O叫做原点。在平面内，原点

的右边为正，左边为负，原点的上边为正，下边为负。

2、坐标平面内被x轴、y轴分割成四个部分，按照“逆时针方向”分别为第一象限、第二象限、第三象限、第四

象限

注意：x轴、y轴原点不属于任何象限。

3、平面直角坐标系中的点分别向x轴、y轴作垂线段，在x轴上垂足所显示的数称为该点的横坐标，在y轴上垂

足所显示的数称为该点的纵坐标。点的坐标反映的是一个点在平面内的位置。

写坐标的规则：横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，全部用小括号括起来。

如P（3，2）横坐标为3，纵坐标为2。

特别注意坐标的顺序不同，表示的就是不同位置的点。

所以点的坐标是一对有顺序的实数，称为有序实数对。

4、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。

5、坐标的特征

(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数；

在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数；

(2)x轴上点的纵坐标等于零；y轴上点的横坐标等于零．

6、对称点的坐标特征

(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；

(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；

(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反。

(4)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；

(5)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数。

7、点到两坐标轴的距离

点A（a，b）到x轴的距离为|b|，点A（a，b）到y轴的距离为|a|。

（三）一次函数

1、一次函数的定义

一般地，形如

ykxb

（

k

，

b

是常数，且

0k

）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当

0b

时，一次

函数

ykx

，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是

ykxb

，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当

0b

，

0k

时，

ykx

仍是一次函数．⑶当

0b

，

0k

时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、

四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2)必过点：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限

(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

3、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例

函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-

k

b

，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直

线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)（2）必过点：（0，b）和（-

k

b

，0）

（3）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限













0

0

b

k

直线经过第一、二、三象限











0

0

b

k

直线经过第一、三、四象限













0

0

b

k

直线经过第一、二、四象限











0

0

b

k

直线经过第二、三、四象限

（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

一次

函数

0kkxbk

k

，

b

符号

0k0k

0b0b0b0b0b

0b

图象

Ox

y

y

x

OOx

yy

xOOx

yy

xO

性质

y随x的增大而增大y随x的增大而减小

4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图

象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标

或纵坐标为0的点.

b>0b<0b=0

k>0

经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0

经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

5、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平

移；当b<0时，向下平移）

“正比例函数”与“成正比例”的区别：

正比例函数一定是y=kx这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映了两个量之间的固定正比例关系，如

a+3与b-2成正比例，则可表示为：a+3=k（b-2）（k≠0）

6、正比例函数和一次函数及性质

正比例函数一次函数

概念一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)

的函数叫做正比例函数，其中k

叫做比例系数

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么

y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以

说正比例函数是一种特殊的一次函数.

自变量范围X为全体实数

图象一条直线

必过点（0，0）、（1，k）

（0，b）和（-

k

b

，0）

走向k>0时，直线经过一、三象限；

k<0时，直线经过二、四象限

k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限

k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限

k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限

k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限

增减性k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）

k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）

倾斜度|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

图像的

平移

b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

6、直线

11

bxky（0

1

k）与

22

bxky（0

2

k）的位置关系

（1）两直线平行

21

kk且

21

bb（2）两直线相交

21

kk

（3）两直线重合

21

kk且

21

bb（4）两直线垂直1

21

kk

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

8、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一

次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

9、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以

看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

10、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数

b

c

x

b

a

y

的图象相同.

（2）二元一次方程组222

111

cybxa

cybxa





的解可以看作是两个一次函数2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

y

y

b

c

x

b

a

b

c

x

b

a





的图象的交点.

11、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积

一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（

k

b

-

，0）.直线y=kx＋b

（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为

k

b

b

k

b

22

1

s

2

