第二十六章反比例函数
26.1.1反比例函数的意义
教学目标:知识目标:理解反比例函数的意义;能够根据已知条件确定反比例函数的表达式。能力目标:
培养学生探索能力和分析解决问题的能力。
情感态度:1.经历反比例函数的形成过程,使学生体验函数是描述变量间的对应关系的重要
数学模型。2.通过学习反比例函数,培养学生的合作交流意识。
教学重点:理解反比例函数的意义,确定反比例函数的表达式。
教学难点:反比例函数表达式的确定。
教学准备:多媒体课件、小黑板等。
教学过程
一、创设问题情境、导入新课
结合章前图和实际生活中旅游的实例提出问题:
合肥到北京的铁路全长约1080km,一列火车从合肥开往北京,以90km/h的速度匀速行驶,求:
(1)列车行驶的路程s与时间t的函数关系式,
(2)列车距离北京的路程s与行驶时间t的函数关系式。
请学生完成,教师评析,并出示思考题(见教材P2)
下列问题中,变量间的对应关系可用怎样的函数式表示?这些函数有什么共同特征?
(1)京沪铁路全程为1463km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时
间t(单位:h)的变化而变化;
(2)某住宅小区要种植一个面积为10002m的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)随宽x(单位:
m)的变化而变化;
(3)已知北京市的总面积为1.68×410平方千米,人均占有的土地面积S(单位:平方千米/
人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化。
学生完成,教师归纳:上述三个问题的函数表达式分别为:
n
S
x
y
t
v
41068.1
,
1000
,
1463
这三个表达式有什么共同特征?你能用一个一般式来表示吗?
二、探究新课
1、探究反比例函数的定义
让学生把这些式子与已学的正比例函数、一次函数进行比较,进而归纳反比例函数的定义:一
般地,形如
x
k
y(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数。其中是x自变量,y是函数,自变量
x的取值范围是不等于0的任意实数。
2、试试眼力
下列哪些式子表示y是关于x的反比例函数?每一个反比例函数中相应的k值是多少?
.2)8(,)7(,
3
2
)6(,123)5(
,3)4(,16)3(,
5
)2(,4)1(
1
xyxy
x
yxy
x
y
xy
x
yxy
组织学生讨论,教师进行讲解。
y是x的反比例函数的是(2)、(5)、(6)、(8)相应k值分别为-5、123、-
3
2
、2。
3、解决问题
例1已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6。
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)求当x=4时y的值。
分析:因为y是x的反比例函数,所以设
x
k
y,再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k
的值。
回顾待定系数法,学生完成后交流,教师进行讲解。
三、应用新知、巩固练习
1、教材3页练习1、练习3;
2、y是关于x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值。
x-2-1
-
2
1
2
1
13
y
-
3
4
-42
(1)写出这个反比例函数的表达式。
(2)根据函数表达式完成上表。
学生合作完成,教师进行讲解。
四、小结
请学生发言:谈谈你本节课有哪些收获?举一些生活中成反比例函数关系的实例。教师结合板
书回顾本节课重点。
五、作业设计
1、必做题:教材8页习题26.1第1,2,4题。
2、选做题:教材9页第5,6题。
安全教育:入学安全教育,强调上、下学的交通安全,不乘坐违规机动车,骑自行
车的同学注意遵守交通规则。
教学反思:
26.1.2反比例函数的图象和性质(1)
教学目标
1.会用描点法画反比例函数的图象
2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质
3.体会函数的三种表示方法,领会数形结合的思想方法
教学重点、难点
1.重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质
2.难点:正确画出图象,通过观察、分析,归纳出反比例函数的性质
教学过程
一、课堂引入
提出问题:1.一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是什么?其性质有哪些?正比
例函数y=kx(k≠0)呢?
2.画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些?应注意什么?
3.反比例函数的图象是什么样呢?
二、探究新知
例2.见教材P4,用描点法画图,注意强调:
(1)列表取值时,x≠0,因为x=0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以“0”为
中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值
(2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,
使画出的图象更精确
(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线
(4)由于x≠0,k≠0,所以y≠0,函数图象永远不会与x轴、y轴相交,只是无限靠近两坐
标轴
补充例:已知反比例函数32)1(mxmy的图象在第二、四象限,求m值,并指出在每个象限
内y随x的变化情况?
分析:此题要考虑两个方面,一是反比例函数的定义,即1kxy(k≠0)自变量x的指数是
-1,二是根据反比例函数的性质:当图象位于第二、四象限时,k<0,则m-1<0,不要忽视这个
条件
略解:∵32)1(mxmy是反比例函数∴m2-3=-1,且m-1≠0
又∵图象在第二、四象限∴m-1<0
解得2m且m<1则2m
归纳:P6反比例函数的图象和性质
三、巩固练习
P6练习,P8-9练习1、2。
学生独立完成后交流,教师提问讲解。
四、小结
请学生谈学习本节课的收获和感受。
五、作业
P9练习7、8。
安全教育:消防安全冬季防火、安全用电、交通安全。
教学反思:
26.1.2反比例函数的图象和性质(2)
教学目标
1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质
2.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法
教学重点、难点
1.重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题
2.难点:学会从图象上分析、解决问题
教学过程
一、课堂引入
1.什么是反比例函数?
2.反比例函数的图象是什么?有什么性质?
二、探究新知
例3.见教材P7
分析:反比例函数
x
k
y的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号,因此要先求常
数k,而题中已知图象经过点A(2,6),即表明把A点坐标代入解析式成立,所以用待定系数法能
求出k,这样解析式也就确定了。
例4.见教材P7
学生分组讨论解决,教师提问、分析
三、巩固练习
P8练习1、2
学生独立完成后交流,教师提问讲解。
四、小结
请学生谈学习本节课的收获和感受。
五、作业
1、P9练习9
2、若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则函数
x
kb
y的图象在()
(A)第一、三象限(B)第二、四象限(C)第三、四象限(D)第一、二象限
3、已知点(-1,y
1
)、(2,y
2
)、(π,y
3
)在双曲线
x
k
y
12
上,则下列关系式正确的
是()(A)y
1
>y
2
>y
3
(B)y
1
>y
3
>y
2
(C)y
2
>y
1
>y
3
(D)y
3
>y
1
>y
2
安全教育:消防安全冬季防火、安全用电、交通安全。
教学反思:
习题课(2课时)
教学目标
1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质
2.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法
教学重点、难点
1.重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题
2.难点:学会从图象上分析、解决问题
教学过程
一、复习巩固
1.什么是反比例函数?试写出一个反比例函数解析式并说出k的值。
2.反比例函数的图象是什么?有什么性质?
二、典型例题
例1.如图,过反比例函数
x
y
1
(x>0)的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别
为C、D,连接OA、OB,设△AOC和△BOD的面积分别是S
1
、S
2
,比较它们的大小,可得()
(A)S
1
>S
2
(B)S
1
=S
2
(C)S
1
<S
2
(D)大小关系不能确定
分析:从反比例函数
x
k
y(k≠0)的图象上任一点P(x,y)向x轴、y轴作垂线段,与x轴、
y轴所围成的矩形面积kxyS,由此可得S
1
=S
2
=
2
1
,故选B
例2.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
x
m
y的图象交于A(-2,1)、B(1,
n)两点
(1)求反比例函数和一次函数的解析式
(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围
分析:因为A点在反比例函数的图象上,可先求出反比例函数的解析式
x
y
2
,又B点在反比例函数的图象上,代入即可求出n的值,最后再由A、
B两点坐标求出一次函数解析式y=-x-1,第(2)问根据图象可得x的取
值范围x<-2或0<x<1,这是因为比较两个不同函数的值的大小时,就是看这两个函数图象哪个
在上方,哪个在下方。
三、巩固练习
1.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则函数
x
kb
y的图象在()
(A)第一、三象限(B)第二、四象限(C)第三、四象限(D)第一、二象限
2.已知点(-1,y
1
)、(2,y
2
)、(π,y
3
)在双曲线
x
k
y
12
上,则下列关系式正确的
是()(A)y
1
>y
2
>y
3
(B)y
1
>y
3
>y
2
(C)y
2
>y
1
>y
3
(D)y
3
>y
1
>y
2
3、已知反比例函数
x
k
y
3
,分别根据下列条件求出字母k的取值范围
(1)函数图象位于第一、三象限
(2)在第二象限内,y随x的增大而增大
学生分组讨论完成,教师讲解。
四、小结
请学生谈学习本节课的收获和感受。
五、作业
1.已知反比例函数
x
k
y
12
的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小,且k的
值还满足)12(29k≥2k-1,若k为整数,求反比例函数的解析式
2.已知一次函数bkxy的图像与反比例函数
x
y
8
的图像交于
A、B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,
求(1)一次函数的解析式;
(2)△AOB的面积
安全教育:消防安全冬季防火、安全用电、交通安全。
教学反思:
26.2实际问题与反比例函数(1)
教学目标
1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.渗透数形结合思想,提高学生用函数观点解决问题的能力
教学重点、难点
1.重点:利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.难点:分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式
教学过程
一、导入新课
寒假到了,小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰,突然发现前面有一处冰出现了裂痕,小明
立即告诉同伴分散趴在冰面上,匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗?
二、探究新知
例1.见教材第12页
分析:(1)问首先要弄清此题中各数量间的关系,容积为104,底面积是S,深度为d,满足基
本公式:圆柱的体积=底面积×高,由题意知S是函数,d是自变量,改写后所得的函数关系式是
反比例函数的形式,(2)问实际上是已知函数S的值,求自变量d的取值,(3)问则是与(2)相
反
例2.见教材第13页
分析:此题类似应用题中的“工程问题”,关系式为工作总量=工作速度×工作时间,由于题
目中货物总量是不变的,两个变量分别是速度v和时间t,因此具有反比关系,(2)问涉及了反比
例函数的增减性,即当自变量t取最大值时,函数值v取最小值是多少?
三、巩固练习
P16练习1,习题26.2/1
学生独立完成后交流,教师提问讲解。
四、小结
请学生谈学习本节课的收获和感受,教师强调分析问题的重要性。
五、作业
P16习题2、3。
安全教育:消防安全冬季防火、安全用电、交通安全。
教学反思:
26.2实际问题与反比例函数(2)
教学目标
1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.渗透数形结合思想,进一步提高学生用函数观点解决问题的能力,体会和认识反比例函数这
一数学模型
教学重点、难点
1.重点:利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.难点:分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式,解决实际问题
教学过程
一、导入新课
1.小明家新买了几桶墙面漆,准备重新粉刷墙壁,请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢?其
原理是什么?
2.台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节,你能说出其中的道理吗?
二、探究新知
例3.见教材第14页
分析:题中已知阻力与阻力臂不变,即阻力与阻力臂的积为定值,由“杠杆定律”知变量动力
与动力臂成反比关系,写出函数关系式,得到函数动力F是自变量动力臂l的反比例函数,当l=1.5
时,代入解析式中求F的值;(2)问要利用反比例函数的性质,l越大F越小,先求出当F=200
时,其相应的l值的大小,从而得出结果。
例4.见教材第15页
分析:根据物理公式PR=U2,当电压U一定时,输出功率P是电阻R的反比例函数,则
R
P
2220
,
(2)问中是已知自变量R的取值范围,即110≤R≤220,求函数P的取值范围,根据反比例函数的
性质,电阻越大则功率越小,
得220≤P≤440
三、巩固练习
P15练习2、3
学生独立完成后交流,教师提问讲解。
四、小结
请学生谈学习本节课的收获和感受,教师强调分析问题的重要性。
五、作业
P16练习4、5。
安全教育:消防安全冬季防火、安全用电、交通安全。
教学反思:
26.2实际问题与反比例函数(3)
教学目标
1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.渗透数形结合思想,进一步提高学生用函数观点解决问题的能力,体会和认识反比例函数这
一数学模型
教学重点、难点
1.重点:利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.难点:分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式,解决实际问题
教学过程
一、导入新课
1、什么是反比例函数?
2、反比例函数的图像和性质。
二、探究新知
例1.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气
球内气体的气压P(千帕)是气体体积V(立方米)的反比例函
数,其图像如图所示(千帕是一种压强单位)
(1)写出这个函数的解析式;
(2)当气球的体积是0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕?
(3)当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方
米?
分析:题中已知变量P与V是反比例函数关系,并且图象经过点A,利用待定系数法可以求出P
与V的解析式,得
V
P
96
,(3)问中当P大于144千帕时,气球会爆炸,即当P不超过144千帕
时,是安全范围。根据反比例函数的图象和性质,P随V的增大而减小,可先求出气压P=144千帕
时所对应的气体体积,再分析出最后结果是不小于
3
2
立方米
三、巩固练习
1.某厂现有800吨煤,这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是()
(A)
x
y
300
(x>0)(B)
x
y
300
(x≥0)(C)y=300x(x≥0)(D)y=300x(x>0)
2.已知甲、乙两地相s(千米),汽车从甲地匀速行驶到达乙地,如果汽车每小时耗油量为a
(升),那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y(升)与汽车的行驶速度v(千米/时)的函数图象大致
是()
3.你吃过拉面吗?实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识,
一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横
截面积)S(mm2)的反比例函数,其图象如图所示:
(1)写出y与S的函数关系式;
(2)求当面条粗1.6mm2时,面条的总长度是多少米?
学生独立完成后交流,教师提问讲解。
四、小结
请学生谈学习本节课的收获和感受,教师强调分析问题的重
要性。
五、作业
P16练习6、7。
安全教育:消防安全冬季防火、安全用电、交通安全。
教学反思:
习题课(2课时)
教学目标
1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.渗透数形结合思想,进一步提高学生用函数观点解决问题的能力,体会和认识反比例函数这
一数学模型
教学重点、难点
1.重点:利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.难点:分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式,解决实际问题
教学过程
一、导入新课
1.京沈高速公路全长658km,汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京,则汽车行完全程所需时间
t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为
2.完成某项任务可获得500元报酬,考虑由x人完成这项任务,试写出人均报酬y(元)与人
数x(人)之间的函数关系式
二、典型例题
例1.为了预防疾病,某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立
方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后,y与x成反比例(如图),现测得
药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量6毫克,
请根据题中所提供的信息,解答下列问题:
(1)药物燃烧时,y关于x的函数关系式为,自变量x的
取值范为;
药物燃烧后,y关于x的函数关系式为.
(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方
可进办公室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,
员工才能回到办公室;
(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续
时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?
分析:(1)药物燃烧时,由图象可知函数y是x的正比例函数,设xky
1
,将点(8,6)代
人解析式,求得xy
4
3
,自变量0<x≤8;药物燃烧后,由图象看出y是x的反比例函数,设
x
k
y2,
用待定系数法求得
x
y
48
(2)燃烧时,药含量逐渐增加,燃烧后,药含量逐渐减少,因此,只能在燃烧后的某一时间进
入办公室,先将药含量y=1.6代入
x
y
48
,求出x=30,根据反比例函数的图象与性质知药含量y
随时间x的增大而减小,求得时间至少要30分钟
(3)药物燃烧过程中,药含量逐渐增加,当y=3时,代入xy
4
3
中,得x=4,即当药物燃
烧4分钟时,药含量达到3毫克;药物燃烧后,药含量由最高6毫克逐渐减少,其间还能达到3毫
克,所以当y=3时,代入
x
y
48
,得x=16,持续时间为16-4=12>10,因此消毒有效
三、巩固练习
小林家离工作单位的距离为3600米,他每天骑自行车上班时的速度为v(米/分),所需时间为
t(分)
(1)则速度v与时间t之间有怎样的函数关系?
(2)若小林到单位用15分钟,那么他骑车的平均速度是多少?
(2)如果小林骑车的速度最快为300米/分,那他至少需要几分钟到达单位?
学生分组讨论完成,教师分析讲解。
四、小结
请学生谈学习本节课的收获和感受,教师强调分析问题的重要性。
五、作业
1、学校锅炉旁建有一个储煤库,开学初购进一批煤,现在知道:按每天用煤0.6吨计算,一学
期(按150天计算)刚好用完.若每天的耗煤量为x吨,那么这批煤能维持y天
(1)则y与x之间有怎样的函数关系?
(2)画函数图象
(3)若每天节约0.1吨,则这批煤能维持多少天?
2、一场暴雨过后,一洼地存雨水20米3,如果将雨水全部排完需t分钟,排水量为a米3/分,且
排水时间为5~10分钟
(1)试写出t与a的函数关系式,并指出a的取值范围;
(2)请画出函数图象
(3)根据图象回答:当排水量为3米3/分时,排水的时间需要多长?
安全教育:消防安全冬季防火、安全用电、交通安全。
教学反思:
数学活动
活动目标:
活动1培养学生把实际问题转化为反比例函数模型的能力
活动2理解杠杆原理与反比例函数的关系
活动主题:
1.建立反比例函数模型
2.“杠杆原理”的应用
活动过程:
活动1学生阅读教材P58内容,完成相关表格,教师组织探究。
活动2教师联系日常生活中的杆秤等让学生理解“杠杆原理”,学生探究活动2,外出相应表格,
教师组织讨论、分析。
活动小结:
请学生谈学习本节课的收获和感受。
作业设计:
1.苹果每千克x元,花10元钱可买y千克的苹果,则y与x之间的函数关系式为
2.若函数28)3(mxmy是反比例函数,则m的取值是
3.矩形的面积为4,一条边的长为x,另一条边的长为y,则y与x的函数解析式为
4.一定质量的氧气,它的密度(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数,图像如图:
(1)求与V的函数关系式;(2)求当V=2时氧气的密度
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教学反思:
单元小结(2课时)
教学目标
1.复习巩固反比例函数的概念、性质、用待定系数法求函数解析式;
2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的应用思想
教学重、难点
1.重点:反比例函数的概念、性质、能根据实际问题写出函数解析式
2.难点:反比例函数的应用
教学过程:
一、知识点回顾
1.回忆一下什么是反比例函数、一般形式及其性质?
2.结合P20小结与本章知识结构图,回顾本章知识重点。
二、例题分析
例1.下列等式中,哪些是反比例函数
(1)
3
x
y(2)
x
y
2
(3)xy=21(4)
2
5
x
y(5)
x
y
2
3
(6)3
1
x
y
例2.当m取什么值时,函数23)2(mxmy是反比例函数?
分析:反比例函数
x
k
y(k≠0)的另一种表达式是1kxy(k≠0),后一种写法中x的次
数是-1,因此m的取值必须满足两个条件,即m-2≠0且3-m2=-1,特别注意不要遗漏k≠0
这一条件,也要防止出现3-m2=1的错误。解得m=-2
例3.在平面直角坐标系内,过反比例函数
x
k
y(k>0)的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线
段,与x轴、y轴所围成的矩形面积是6,则函数解析式为
三、复习练习
学生选做教材P60页复习题17有关习题,完成后交流,教师提问分析。重点讨论拓广探索题第
11题,强调反比例函数的应用。
四、小结
请学生谈学习本章的收获和存在的疑惑,教师分析、解答。
五、作业
P21练习5、6、7。
安全教育:消防安全冬季防火、安全用电、交通安全。
教学反思:
单元检测(2课时)
教学目标:
检测学生对反比例函数及其性质的掌握运用情况,提高学生运用所学知识分析解决问题的能力。
教学重难点:
反比例函数的性质与应用
检测题:见试卷
试卷分析:
一、检测情况分析
针对学生答题中存在的主要问题进行分析、评价,提出补救、改进意见。
二、试题评讲
1.逐题订正选择和填空题,选部分典型试题组织讨论
2.重点分析学生出错较多的解答题,巩固
三、小结
1.反比例函数的图象、性质与实际应用;
2.分析问题、解决问题的方法技巧
请学生谈学习本章存在的疑惑不解,教师组织解答
四、作业
订正试卷
安全教育:消防安全冬季防火、安全用电、交通安全。
教学反思:
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