一元二次方程的求根公式

求根公式法解一元二次方程的五个注意点

江苏刘顿

大家知道，一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，方程有

两个实数根：x

1,2

＝

24

2

bbac

a



；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根.尽管如此，我们

在具体求解时还应注意以下几个问题：

一、注意化方程为一般形式

例1解方程：6x2+3x＝(1+2x)(2+x).

分析将原方程整理成一元二次方程的一般形式后确定a、b、c的值，代入求根公式求

解.

解原方程可化为：4x2－x－2＝0.因为a＝4，b＝－1，c＝－2，所以b2－4ac＝(－1)2

－4×4×(－2)＝33＞0.

所以x＝

24

2

bbac

a



＝

(1)33

24





＝

133

8



，

即x

1

＝

133

8



，x

2

＝

133

8



.

说明对于结构较为复杂的一元二次方程，一定要依据有关知识将其化为一般形式，然

后才能想到运用求根公式.

二、注意方程有实数根的前提条件是b2－4ac≥0

例2解方程：3x2＝5x－4.

分析先移项，化原方程为一般形式，确定a、b、c的值，再估算一下b2－4ac的值.

解移项，得3x2－5x+4＝0.

因为a＝3，b＝－5，c＝4，所以b2－4ac＝－23＜0，因此一元二次方程无实数解.

说明由本题的求解过程，我们可以看出在解一元二次方程时，化一元二次方程为一般

形式，确定a、b、c的值后，估算一下b2－4ac的值非常重要，不然就有可能出现下列的错

误：x

1,2

＝

24

2

bbac

a



＝

523

6



.

三、注意a、b、c的确定应包括各自的符号

例3解方程：2x2－5x+1＝0.

分析已知方程已经是一般形式，只要对号入座地写出a、b、c，再求b2－4ac的值，

最后即求解.

解因为a＝2、b＝－5、c＝1，所以b2－4a＝(－5)2－4×2×1＝17＞0.

所以x＝

24

2

bbac

a



＝

(5)17

22





＝

517

4



，

即x

1

＝

517

4



，x

2

＝

517

4



.

说明确定出a、b、c的值，应注意两个问题：一是要化原方程为一般形式，二是要注

意连同a、b、c本身的符号，特别是“－”号更不能漏掉.

四、注意一元二次方程如果有根，应有两个

例4解方程：x(x－23)+3＝0.

分析将原方程化为一般形式后代入求根公式.

解原方程可化为x2－23x+3＝0.因为a＝1、b＝－23、c＝3，所以b2－4a＝(－

23)2－4×1×3＝0.

所以x＝

24

2

bbac

a



＝

230

21





＝3.

所以x

1

＝x

2

＝3.

说明当b2－4a＝0时表明原方程有两个相等的实数根，所以在具体作答时不能出现x

＝3的错误.

五、求解出的根应注意适当化简

例5解方程：2x2－2x－1＝0.

分析因为a＝2，b＝－2，c＝－1，所以b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－1)＝12.

所以x＝

24

2

bbac

a



＝

212

22





＝

223

4



.

所以x

1

＝

2

31

，x

2

＝

2

31

.

说明本题利用求根公式求得的结果时应约去分子与分母中的公约数，以便使结果简

便，值得注意的是，在化简时一定要注意不能出现差错.

下面几道题目供同学们自己练习：

用求根公式解下列方程：

1，x2－3x＋2＝0.

2，x2+2x＝3.

3，9x2+10x－4＝0.

4，10y2－12y+1＝0.

5，3x(x－1)＋2x＝2.

6，x2+2x－4＝0.

7，(x－3)2＝43x.

8，3x(x－2)＝2(x－2).

用求根公式解下列关于x的方程：

9，x2+2ax+a2－b2＝0.

10，x2+2(p－q)x－4pq＝0.

11，(a2－b2)x2－4abx＝a2－b2(a2－b2≠0).

12，(x+a)(x－b)+(x－a)(x+b)＝2a(ax－b).

参考答案：1，x

1

＝1，x

2

＝2；2，x

1

＝－3，x

2

＝1；3，x＝

561

9



；4，x＝

626

10



；

5，x

1

＝1，x

2

＝

2

3

；6，x＝

225

2



；7，x

1

＝x

2

＝－3；8，x

1

＝2，x

2

＝

2

3

，9，x

1

＝－

a－b，x

2

＝－a+b；10，x

1

＝－2p，x

2

＝2q；11，x

1

＝－

ab

ab





，x

2

＝

ab

ab





；12，x

1

＝0，x

2

＝a2.