二面角的求法

求二面角的五种方法

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求二面角的五种方法

一、定义法：由图形的特殊条件按定义直接作出.如在空间四边形

ABCD中,AB=AC,DB=DC,求二面角A-BC-D的大小.

例1如图,过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=a,求

二面角B-PC-D的大小.

例2二面角α-BC-β大小为120°,A∈α,B∈β,且AB⊥BC,BC⊥

CD,

AB=BC=CD=1,求二面角A-BD-C的正切值.

例3如图,已知四面体SABC中,∠ASB=

2



,∠ASC=α(0<α<

2



),

∠CSB=β(0<β<

2



),二面角A-SC-B的大小为θ,求证：θ=π-

arccos(cosα·cotβ).

二、垂面法：通过作二面角棱的垂面,此垂面与二面角的两个面所交的两条射线构成

的角就是这个二面角的平面角.

例4⑴空间三条射线PA,PB,PC不共面,若∠APC=∠APB=60°,∠BPC=90°,则二面角B-PA-

C的大小是______；

⑵已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC,使它与OA,OB分别成45°,60°

的角,则二面角A-OC-B的余弦值为______.

例5如图,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,

且分别交AC,SC于D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.

三、延伸法：若所求的两个面只有一个公共点是已知的,因此要把两个面延伸面得到

二面角的棱,然后再求出它的平面角.

例6直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD⊥CD,AB=2,CD=4,平面PAD⊥

平面ABCD,△PBC是边长为10的正三角形,求平面PAD和平面PBC所

成二面角的大小.

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例7设正方体ABCD-A

1B1C1D1中,E为AA1中点,求平面B1DE和底

面ABCD所成二面角的大小.

四、垂线法：利用三垂线定理或其逆定理作出平面角.

例8已知由O点出发的三条射线OA,OB,OC不共面,且∠AOB=∠AOC,

求证：二面角A-OB-C与二面角A-OC-B相等.

例9二面角M-CD-N中,A为平面M上一定点,△ADC的面积为

定值S,DC=a,B为平面N内一点,AB⊥CD,若AB与平面N成30°角,

求面积△BCD的最大值,并求此时二面角M-CD-N的大小.

五、射影法：若多边形面积为S,它在一个平面上的射影的面积为S

0,则多边形所在平

面与这个平面所成的二面角θ,满足S

0=Scosθ,利用这个公式求二面角的方法称“射影法”,

射影法对于解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.

例10过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则

平面ABP与平面CDP所成的二面角为()

A.30°B.45°C.60°

D.90°

例11P是正方形ABCD所在平面外一点,△PAB是正三角形,且平面

PAB⊥平面ABCD,求二面角P-AC-B的大小.