高一数学题

高一数学试题及参考答案

时量：120分钟分值：150分

参考公式：球的表面积，球的体积，圆锥侧面积

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.（集合的运算）集合，，则（）

A．B．C．D．

2.（函数的概念）下列四个函数中，与表示同一函数的是（）

A.B.C.D.

3.（直线的截距）直线在轴上的截距为，则（）

A.B.C.D.

4.（函数的单调性）下列函数中,在区间上是增函数的是（）

A．B．C．D．

5.（直线平行）已知直线和直线，它们的交点坐标是（）

A．（0，1）B．（1，0）C．（-1，0）D．（-2，-1）

6.（函数的图像）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（）

(A)(B)(C)(D)

7.（异面直线所成的角）在右图的正方体中，分别为棱和棱的中点，则异面直线和所

成的角为（）

A．B．C．D．

8.（函数的零点）已知函数的图像是连续不断的，有如下，对应值表：

123456

132.5210.5-7.5611.5-53.76-126.8

函数在区间上有零点至少有（）

A．2个B.3个C.4个D.5个

9.（球的体积与表面积）已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是，

那么球的表面积等于（）

A．B.C.D.

10.（函数的奇偶性和单调性）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）

A．B．

C．D．

11.（指对数的综合）三个数的大小关系为（）

A.B.

C．D.

12.(函数综合)对于函数定义域中任意的有如下结论

①②

③④

当时,上述结论中正确的序号是（）

A.①②B.②④C.①③D.③④

二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．请将答案填在答题卡相应位置.

13．（圆的标准方程）已知圆的方程为，则圆心坐标为，半径为2.

14.（三视图）如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是

15.（直线的斜率）直线的斜率是

16.（幂函数）幂函数的图象过点，则______

17.（定义域）函数的定义域为.

18.（分段函数与解不等式）已知函数则的值．

19.（函数的奇偶性）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么时，.

20.（立体几何的综合）

已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：

①若垂直于内的两条相交直线，则⊥；

②若∥，则平行于内的所有直线；

③若，且∥，则∥；

④若，，则⊥；

其中正确命题的序号是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题:本题共有5个小题，8分+10分+10分+10分+12分=50分．

21.(指数与对数的运算)（本题满分8分）计算：

(1)；(2)

解：（1）原式=…………（4分）

（2）原式=…………………………（8分）

22.(直线方程)（本题满分10分）已知三个顶点是，，

(1)求边上的垂直平分线的直线方程；（7分）

（2）求点到边所在直线的距离．（3分）

解：（1），

，………（2分）

则所求直线的斜率为：………………………………………（4分）

又的中点的坐标为，所以边的上的中垂线所在的直线方程为：

………………………………………………………………………………（7分）

（2）直线的方程为：

则点到直线：的距离为：……………（10分）

23.在三棱柱中，侧棱垂直于底面，

(1)求证：；(2)求证：；（3）求三棱锥的体积.

解：（1）证明：

∵，…………（2分）

…

∴……………（3分）

（2）证明：在直三棱柱中……………………………（4分）

……………………………（5分）

……………………………………………（6分）

……………………………………………………（7分）

（3）…………………………………………………（8分）

……………………………………（10分）

24.(函数与单调性)（本小题满分10分）

右图是一个二次函数的图象.

(1)写出这个二次函数的零点；

(2)求这个二次函数的解析式；

(3)当实数在何范围内变化时，在区间上是单调函数．

解：（1）由图可知二次函数的零点为………………（2分）

（2）设二次函数为,点在函数上，

解得

所以………………………………………………（6分）（3），开口向下，对称轴为

当，即时，在上递减………………………………（8分）

当，即时，在上递增

综上所述或…………………………………………………………………（10分）

注：第(1)小题中若零点写为，，扣1分。

25.(函数的奇偶性)（本小题满分12分）

已知。

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并予以证明；

（3）求使的的取值范围。

解：(1)…………………………………………………………………（2分）

所以函数的定义域为………………………………………………………（3分）

(2)任意取，则……………………………………………………（4分）

即…………………………………………………………………（6分）

所以函数是奇函数．…………………………………………………………………（7分）

(3)由，可得，即

…………………………………………………………（9分）

……………………………………………………（11分）

所以，………………………………………（12分）

附加题:

26．从点处发出一条光线，与直线相遇于点后反射，反射光线恰与圆相切，求线段的

长．

解：设点关于直线对称的点为

则，解得………………………（3分）

据物理学知识可知反射光线的反向延长线必过，……（4分）

所以设直线的方程为：…………………………………………………………（5分）

则圆心到直线的距离…………………………………………………………（7分）

解得或(根据题意要舍去)……………………………………………（8分）

联立直线方程，解得，

即的坐标为………………………………………………………………（9分）

……………………………（10分）

27.已知四面体的条棱的长为，条棱的长为，求它的体积。

解：根据分析可知满足题目条件的四面体有两种情况，也就是棱长为的棱共面和异面

（1）当棱长为的棱异面时，四面体的图形如右图

……………………………………………………（2分）

经过计算，，………………………………………（4分）

，所以三角形并不存在，即这种情况的三棱锥也不存在………………（5分）

（2）当棱长为的棱共面时，四面体的图形如右图

……………………………………………………（7分）

……………………………………………………（9分）

………………………………………………………（10分）

28．设函数的定义域关于原点对称，对定义域内任意的存在和，使，且满足：

（1）；

（2）当时，

请回答下列问题：（1）判断函数的奇偶性并给出理由；（2）判断在上的单调性并给出理由．

解：（1）函数在定义域内是奇函数………………………………………………………（1分）

因为在定义域内，对任意存在和，使，且满足：；

由于函数的定义域关于原点对称，必与同时在定义域内，…（2分）

同样存在存在和，使，且满足：，……（3分）

即

………………………………………………………………………………………………（4

分）

函数在定义域内是奇函

数.……………………………………………………………………………（5分）

（2）函数在上是单调递增函

数……………………………………………………………………（6分）

任意取，且，则

函数在定义域内是奇函数，且当时，，

，，…………………………………………………（7分）

又

……………………………………………………………………………………………（9分）

函数在上是单调递增的……………………………………………………………………（10

分）