定积分性质

1/1

§4定积分的性质

1.证明:若f与g都在[ba,]上可积,则









a

b

n

i

iii

T

dxxgxfxgf)()()()(lim

1

0



其中

i

、

i



是T所属小区间i



任意两点,

1i，2，…，n。

证因为gf,都在],[ba上可积,由性质3推得f∙g在上也可积,且f在上有界,即存在A>0,

使],[,)(baxAxf

fg可积对0,使得对],[ba的任意分割T及任意选择点集{}

i

,只要T<,就有

2

)()()()(

1









n

i

b

a

iii

dxxgxfxgf.

对上述



,由g可积存在某个分割T



,有

在分割T



的基础上任意添加新分割点,使新分割T



只要满足



T.由§3习题1知:







T

i

g

i

xW





T

i

g

iA

xW

2



综上述结论:)(i因为f∙g可积.)(ii对给定的0,0,及分割T



(包含T



所有分割

点),只要



T,这时对任意选择的点集

}{

i

和

}{

i

,

i

、

i



i

1i，2，…，

n

。

有







n

i

b

a

iii

dxxgxfxgf

1

)()()()(

iii

n

i

i

n

i

b

a

i

n

i

iiiii

xggfdxxgxfgfxggf







)()()()()()()()]()()[(

111



+







n

i

b

a

iii

dxxgxfxgf

1

)()()()(<







222

1

i

n

i

g

i

xW

由



的任意性及

}{

i

和

}{

i

的任意性,得







a

b

n

i

iii

T

dxxgxfxgf)()()()(lim

1

0

.

2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小

(1)

dxx1

0

与

dxx1

0

2

解:因为),1,0[,0)1(2xxxxx而0,02xxx及0x及1,

dxx1

0

-dxx1

0

2=

dxxx1

0

)1(>0(见例2注)

(2)dxx2

0



与dxx2

0

sin



解:因为

x

—xsin>0,]

2

,0(



x,而0x时,x—xsin=0.

所以dxx2

0



－dxx2

0

sin



＝dxxx2

0

)sin(



＞０（例２．注）

dxx2

0



＞dxx2

0

sin



３．证明不等式：

（１）证明

2



＜



2

0

2sin2

1

1



x

dx

＜

2



证记)(xf2

1

2)sin

2

1

1(x，]

2

,0[



x．

１－

2

sin

2

1

2



＜１－x2sin

2

1

＜１，)

2

,0(



x

1=)0(f)(xf

x2sin

2

1

1

1



<)

2

(



f=2当)

2

,0(



x.

当

x

=0时,)0(f)(xf)

2

(



f.当

x

=

2



时,)0(f)(xf)

2

(



f.

由例2.注及性质5.推得

2



＜



2

0

2sin2

1

1



x

dx

＜2

0

2



dx

2



(2)1<1

0

2dxex<

e

解记)(xf2xe,则)0(f1,)1(f

e

.

而



)(xf2

x2xe>0(

]1,0(x

)故1<2xe<

e

,)1,0(x.

1=1

0

dx<1

0

2dxex<1

0

edx=

e

(3)1<2

0

sin

dx

x

x

<

2



记)(xf















0,1

],

2

,0(,

sin

x

x

x

x





)(xf

2

sincos

x

xxx

=

2

cos

x

x

()tanxx,0)

2

,0(



x

)0(f1,)

2

(



f=



2





2

<

x

xsin

<1,)

2

,0(



x

2

02



dx<2

0

sin

dx

x

x

2

0



dx,即1<

2

sin

2

0



dx

x

x

1

0

1

0

1

0

1)0(

sin

)(1sin与题设矛盾dxfdx

x

x

dxxf

(4)36

ln4e

e

dx

x

x

e

证设).ln

2

1

1()(,

2

4ln1

)4(,

1

)(].4,[,ln)(2

3

2

1

xxxf

e

ef

e

efeexxxxf







得唯一稳定点：).4,(2eeex

而

e

ef

2

)(2f在[e,4e]上最大值:

e

ef

2

)(2，最小值

e

xf

1

)(且

),(2eex,0),4,(,02







feexf

].4,(),(,

2ln

)(

1

22eeeex

e

x

x

xf

e



.6

2ln1

3444e

e

e

e

e

e

dx

e

dx

x

x

dx

e

e

4.设f在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于零，证明：b

a

dxxf.0))((2

证因为f在[a,b]是连续2f在[a,b]上连续，且].,[,0))((2baxxf

又因为)(xf不恒等于零，即

],,[

0

bax使

.0)(0)(

0

2

0

xfxf

由例2注可见b

a

dxxf.0))((2

5.设f,g都在[a,b]上可积，证明：

)}.(),({min)()},(),({max)(

],[

],[

xgxfxmxgxfxM

bax

bax





在[a,b]上也都可积。

证因为f,g在[a,b]上可积，根据性质2，gf在[a,b]上也可积，根据性质6，

gf在[a,b]上也可积，再由性质1，2推得

].)()()()([

2

1

)}(),({min)(

],)()()()([

2

1

)}(),({max)(

],[

],[

xgxfxgxfxgxfxm

xgxfxgxfxgxfxM

bax

bax









在[a,b]上也都可积。

6.试求心形线20,)cos1(dar上各点极径的平均值。

解:

















2

0

2

00

2

]cos[

2

)cos1(

2

1

2

1

a

a

dardr

7.设f在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足mxf)(>0

证明：

f

1

在[a,b]上也可积

证因为f在[a,b]上可积,0存在[a,b]的某一个分割T，使

T

ii

mW.2

依§3习题5，由于在每一个

i

上有

.2,1,)()(sup)(inf)(sup

,

nixfxfxfxfW

i

i

i

xx

x

x

i















































2

22

1

2

,

2

,

1

11

.

1

)()(sup

1

)(

1

)(

1

sup

m

m

xW

m

xW

W

m

xfxf

m

xfxf

W

ii

T

i

f

i

i

xx

xx

f

i

i

i

根据可积准则，

f

1

在[a,b]上也可积。

8.进一步证明积分第一中值定理（包括定理9.7和定理9.8）中的中值点).,(ba

证（1）定理9.7：若f在[a,b]上连续，则],,[ba使b

a

abfdxxf).)(()(

设f在[a,b]上的最大值是M，最小值是m.

若M=m],,[,)(baxMxf显然(a,b)内任意一点的可作中值.

若M>m,不妨设

.)(,)(

10

mxfMxf

因为b

a

b

a

dxxfMdxxfabM0])([)()(

b

a

b

a

dxmxfabmdxxf0])([)()(

所以.)(,,

10

Mfmxx

由连续函数介值定理，),(),(

10

baxx或),(),(

01

baxx所以结

论成立

(2)定理9.8：若f与g都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少再一点

],,[ba

使得b

a

b

a

dxxgfdxxgxf)()()()(

不失一般性，设].,[,0)(baxxgf在[a,b]上的最大值是M，最小值是m

若M=m或].,[,0)(baxxg显然(a,b)内任意一点均可作中值点。

若M>m且],,[,0)(baxxg不妨设

.0)(,)(,)(

20

xgmxfMxf

由连续函数的性质年，这时一定存在某),,()(

2

bax

使有g(x)>0

当b

a

b

a

b

a

gdxfMfgdxgdxM0)(时，因为0)(gfM

由例2注知必须有0)(gfM即

,)(0)(MxfxgMxfxg)(0)(

这时b

a

b

a

dxxgMdxxgxf.)()()(显然点集

内任何一点都可作介值点,这时),,(ba

同理，当b

a

b

a

b

a

gdxmfgdxmfgdx0][时，),,()(

2

bax均可作介值点。

则由定理9.8的条件推得：.)(Mfm

那么由连续介值定理，

),,(),(

10

baxx

所以结论成立。

9．证明：若f与g都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，

M,m分别为f(x)在[a,b]上达到上确界，下确界，则存在某实数

u

使得b

a

b

a

dxxgudxxgxf)()()(

证不妨设].,[,0)(baxxg这时有].,[),()()()(baxxMgxgxfxmg

b

a

b

a

b

a

dxxgMdxxgxfdxxgm.)()()()(

若b

a

b

a

dxxgxfdxxg0)()(0)(从而取.:Mumu公式恒成立

若





b

a

b

a

b

aM

dxxg

dxxgxf

mdxxg.

)(

)()(

0)(

从而取







b

a

b

a

dxxg

dxxgxf

u

)(

)()(

则有Mum及b

a

b

a

dxxgudxxgxf)()()(

10、证明：若f在[a,b]上连续，且b

a

b

a

dxxxfdxxf,0)()(则在内至少存在两点,,

21

xx

使,0)()(

21

xfxf又若,0)(2b

a

dxxfx这时f在(a,b)内至少有3个零点？

证（1）因为f在(a,b)上连续，且b

a

b

a

dxxxfdxxf,0)()(则由习题8推得

),,(

1

bax使



b

a

dxxf

ab

xf0)(

1

)(

1

如果f(x)在(a,b)内再没有其他零点，则由连续函数的性质，不妨设

),,(,0)(),,(,0)(

11

bxxxfxaxxf

记),,(,0)()()()(

1

baxxgxfxxxg

且只有0)(

1

xg而g(x)在[a,b]上连续].,[,0)(baxxg由此得

0>b

a

b

a

b

a

dxxfxdxxxfdxxg.0)()()(

1

矛盾

所以f(x)在(a,b)

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