四年级

大数

一、亿以内数的认识

1、计数单位：一（个）、十、百、千、万……亿都是计数单位。

2、数位：在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起

来，它们所占的位置叫做数位。

3、数级：按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一个数级。包括

个级、万级、亿级等。

4、十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫十

进制计数法。

数级…亿级万级个级

数位…

千

亿

位

百

亿

位

十

亿

位

亿

位

千

万

位

百

万

位

十

万

位

万

位

千

位

百

位

十

位

个

位

计数单位…

千

亿

百

亿

十

亿

亿

千

万

百

万

十

万

万千百十

个

(

一

)

数位顺序

（右数）

…

第第第第第第第第第第第第

12111

位位位位位位位位位位位位

计数单位和数位的区别与联系

区别：数位是指写数时，把数字并列排成横列，一个数字占有一个位置，这些位置，都叫做数位。从右端算起，

第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“万位”，等等。说

明计数单位和数位的概念是不同的。

联系：关系非常密切：这是因为“个位”上的计数单位是“一（个），“十位”上的计数单位是“十”，“百位”

上的计数单位是“百”，“千位”上的计数单位是“千”，“万位”上的计数单位是“万”，等等。

二、含有两级的数的读法

1、先读万级，再读个级。

2、万级的数按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。

3、每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都

只读一个0。

三、亿以内数的写法

1）先写万级，再写个级。

2）哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

四、比较两个数的大小

1、位数不同的两个数，位数高的数大。

2、位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如

果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。

五、亿以上数的认识

1、亿以上的数的读法

1）先分级，再从最高位读起。

2）读完亿级或万级的数，要加“亿”字或“万”字。

3）还要注意什么位置上的0不读，什么位置上的0要读，读几个0。

2、亿以上的数的写法

1）先看这个数有几级，再从最高位写起。

2）哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

3、1亿有多大

要知道1亿张纸摞起来有多高，可以测量100张纸的厚度，计算得到1亿张

纸摞起来有1万多米高，比珠穆朗玛峰还高。

小数

一、小数的意义和性质

1、分母是10、100、1000……的分数可以用小数来表示。

2、小数是十进制分数的另一种表现形式。

3、小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、

0.001……

4、每相邻两个计数单位间的进率是10。

5、小数的读写法：

读法：整数部分按照整数读法来读，小数部分要顺次读出每一个数。

写法：整数部分按照整数的写法来写，整数部分是0就写0，小数部分依次

写出每一个数。

6、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

注意：小数中间的“0”不能去掉，取近似数时有一些末尾的“0”不能去掉。

作用可以化简小数等。

7、小数大小比较：先比较整数部分，整数部分相同比较十分位，十分位相同比

较百分位，……

8、小数点位置移动引起小数大小变化规律：

小数点向右：移动一位，小数就扩大到原数的10倍；

移动两位，小数就扩大到原数的100倍；

移动三位，小数就扩大到原数的1000倍；

……

小数点向左：移动一位，小数就缩小10倍，（小数就缩小为原数的）；

移动两位，小数就缩小100倍，（小数就缩小为原数的）；

移动三位，小数就缩小1000倍，（小数就缩小为原数的）；

……

9、名数的改写：

长度单位：千米———米———分米———厘米

面积单位：平方千米———公顷———平方米——平方分米——平方厘米

质量单位：吨———千克———克

10、求小数的近似数（四舍五入）：（保留两位小数与精确到百分位的提法）

保留整数，表示精确到个位，保留一位小数，表示精确到十分位，保留两位小数，

表示精确到百分位，取近似数时，小数末尾的0不能去掉。

大数的改写。先改写，再求近似数。注意：带上单位。

二、小数的加法和减法

1、计算法则：相同数位对齐（小数点对齐），按照整数计算方法进行计算，得数

的小数点要和横线上的小数的小数点对齐。结果是小数的要依据小数的性质进行

化简。

2、竖式计算以及验算。注意横式上要写上答案，不要写成验算的结果。

3、整数的四则运算顺序和运算定律在小数中同样适用。（简算）

计算

一、三位数乘两位数

三位数乘两位数的笔算方法

1、笔算方法：先用两位数个位上的数去乘三位数，积的末位与两位数的个

位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，积的末位与两位数的十位对齐；最

后把两次乘得的积加起来。

2、比较三位数乘两位数与两位数乘两位数笔算方法的区别：

相同点：乘的顺序相同，先用个位上的数去乘，再用十位上的数去乘，最后

把两次乘得的积加起来。

不同点：三位数乘两位数，用两位数每一位上的数去乘三位数时，多乘了一

次百位上的数。

因数中间或末尾有0的计算方法

因数末尾有0计算：先把0前面的数相乘，乘完以后再看乘数末尾共有几个

0，就在乘得的数的末尾填写几个0。

因数中间有0：乘数中间有0的乘法，用0乘这一步可以省略。但要注意用

乘数哪一位上的数乘，乘得的数的末位就要和那一位对齐。

一个因数不变，另一个因数乘几或除以几时（0除外），积也要乘几（或除

以几）。

二、除数是两位数的除法

一、口算除法

探索口算方法：80÷20＝

方法一：20×4＝8080÷20＝4

方法二：8÷2＝480÷20＝4

方法三：80÷2＝4080÷20＝4

方法四：8个十除以2个十等于4，80÷20＝4。

二、笔算除法

1、被除数的前两位比除数小，即被除数的前两位不够除，要看前三位。

2、除数是两位数的除法，一般按照“四舍五入”法，把除数看作和它接近

的整十数来试商。

3、除数是两位数的除法的计算方法

1）从被除数的高位除起先用除数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，

再试除前三位数。

2）除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商。

3）求出每一位商，余下的数必须比除数小。

4、除数是两位数的除法与除数是一位数的除法有什么区别？

相同点：都是从被除数的高位除起，除到哪一位商就写在哪一位的上面，

不同点是：除数是一位数时，先除被除数的前一位，除数是两位数时先看被

前两位。

5、商的变化规律

1）除数不变，被除数乘几，商也乘几。

2）被除数不变，被除数乘几，商反而除以几。

3）被除法和除数都乘一个相同的数，商不变。

4）被除法和除数都除以一个相同的数，商不变。

三、四则运算

1、运算顺序：

①在没有括号的算式里，如果只有加减法或只有乘除法，都要从左往右按顺序（依

次）计算。

②在没有括号的算式里，有加减法又有乘除法，要先算乘除法，后算加减法。

③算式里有括号时，要先算括号里面的。

2、加法、减法、乘法和除法统称为四则运算。

3、有关0的运算：

①一个数加上0得原数。

②任何一个数乘0得0。

③0不能做除数。0除以一个非0的数等于0。

④0÷0得不到固定的商；5÷0得不到商。

关于“0”的运算

1、“0”不能做除数；字母表示：a÷0错误,0做除数没有意义

2、一个数加上0还得原数；字母表示：a＋0=a

3、一个数减去0还得原数；字母表示：a－0=a

4、被减数等于减数，差是0；字母表示：a－a=0

5、一个数和0相乘，仍得0；字母表示：a×0=0

6、0除以任何非0的数，还得0；字母表示：0÷a（a≠0）=0

7、0÷0得不到固定的商;5÷0得不到商，找不到一个数与0相乘得5。

四、运算定律

1、加法运算定律：

①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a＋b＝b＋a

②加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先

把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

③加法的这两个定律往往结合起来一起使用。

如：165＋93＋35＝93＋（165＋35）

2、连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和；或交

换减数的位置。

a－b－c＝a－(b＋c)或a－b－c＝a－c－b

3、乘法运算定律：

①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

a×b＝b×a

②乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以

先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。

(a×b)×c＝a×(b×c)

乘法的这两个定律往往结合起来一起使用。

如：125×78×8的简算。

③乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相

乘，再把积相加。

(a＋b)×c＝a×c＋b×c

4、连除的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积；或交换除数

的位置。

a÷b÷c＝a÷(b×c)或a÷b÷c＝a÷c÷b

图形

一、三角形

1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），

叫三角形。

2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角

形的高，这条对边叫做三角形的底。重点：三角形高的画法。

3、三角形的特性：

①稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。

②任意两边之和大于第三边。

4、三角形的分类：

①按角大小分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

②按边长短分：三边不等的△，等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。

③等边△的三边相等，每个角是60°。（顶角、底角、腰、底的概念）

5、三角形的内角和是180°。有关度数的计算以及格式。

6、四边形的内角和是360°。

7、图形的拼组：

①两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。

②用两个相同的直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个长方形、一个大

三角形。

③用两个相同的等腰直角三角形，可以拼成一个平行四边形、一个正方形、

一个大的等腰直角三角形。

二、平行四边形和梯形

一、平行和垂直

1、两条直线的关系：在纸上任意画两条直线，只有平行和相交两种情况

2、平行线：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线。也可以说这两条

直线互相平行。直线a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。

3、可以用直尺和三角尺画平行线（两条直线都和第三条直线垂直，这两条直

线垂直）。步骤：

第一步：用左手固定直尺，用右手将三角尺的一条直角边紧贴着直尺，沿另一

条直角边画一条直线。

第二步：将三角尺紧贴着直尺移动位置，再画出一条直线。这条直线与第一步

画出的直线平行。

4、互相垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直

线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。

5、三角板画互相垂直两条直线

情况一：通过直线上的一点画与这条直线垂直的直线。步骤：

第一步：把三角板的一条直角边与直线重合。

第二步：沿着直线向右移动三角板，使直角顶点与直线上的点重合。

第三步：沿另一条直角边画一条直角边画一条直线。所画直线就是原直线的垂线。

情况二：过直线外一点画与这条直线垂直的直线。步骤：

第一步：把三角板的一条直角边与直线重合。

第二步：沿着直线向右移动三角板，使另一条直角边与直线外的点重合。

第三步：沿另一条直角边通过直线外的点画一条直线。所画直线就是原直线的垂线。

6、点到直线的距离

从直线外一点到这条直线所线的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等。

二、平行四边形

1、定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。

2、特点：对边互相平行；对边也相等。特性：容易变形。

3、高和底：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足

之间的线段叫做平行四边形的高；垂足所在的边叫做平行四边形的底。（平行四

边形有2条高）

4、平行四边形的四条边确定了，它的形状不能确定。

三、梯形

1、定义：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。

2、等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形。

3、直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。

4、梯形各部分的名称：上底、下底、腰、高。

三、角

一、线段、直线、射线

1、定义

线段：一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段。线段有两个端点；

直线：把线段向两端无限延伸，就得到一条直线，直线没有端点，是无限长

的；

射线：把线段向一端无限延伸，就得到一条射线，射线只有一个端点，也是

无限长的。

2、区别：

直线和射线都可以无限延伸，线段可以量出长度；

线段有两个端点，直线没有端点，射线只有一个端点。

二、角定义

从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。

这一点叫角的顶点，这两条射线叫做角的边。角的符号:∠

三、角的度量

1、角的单位

将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就

是1度，记作1°。

2、量角器

量角器是把半圆分成180等份制成的。

量角器的中心和0°刻度线。

3、量角的步骤

把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。角的另一

边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。

四、角的分类

1、角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所

成的图形。

2、直角、平角、周角

一条射线绕它的端点旋转1/4周，形成的角叫做直角，1直角=90°；

一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角，1平角=180°；

一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角，1周角=360°。

3、锐角、钝角

锐角：小于90°的角叫锐角。

钝角：大于90°小于180°的角叫钝角。

4、角的大小关系

锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角

五、画角的步骤

1、画一条射线；

2、使量角器的中心与射线的端点重合、0°刻度线与射线重合；

3、在量角器上找到要画的角度数的刻度线，点一个点；

4、以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。

四、图形的运动

1、把一个图形沿着某一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，

我们就说这个图形是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。

2、轴对称的性质：对应点到对称轴的距离都相等。

3、对称轴是一条直线，所以在画对称轴时，要画到图形外面，且要用虚线。

4、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴。轴对称图形可以有一条或几

条对称轴。

5、画对称轴时，先找到与相反方向距离对称轴相同的对应点，最后连线。

6、长方形、正方形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、线段、菱形都

是轴对称图形。长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对

称轴，等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有3条对称轴，线段有1条对称轴，

菱形有2条对称轴，圆有无数条对称轴，半圆有一条，圆环有无数条，半圆环有

一条。

7、平行四边形不是轴对称图形，没有对称轴。（长方形和正方形除外）

8、梯形不一定是轴对称图形。只有等腰梯形是轴对称图形。

9、古今中外，许多著名的建筑就是对称的。比如：中国的赵州桥，印度泰

姬陵，英国塔桥，法国埃菲尔铁塔。

10、平移先找图形点，平移完点连起来，注意数点数要数十字。

11、平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置。

12、利用平移，可以求出不规则图形的面积。

统计

一、统计表

1、定义：数据经整理后使之进一步表格化，便形成统计表。统计表是用原始数

据制成的一种表格。

2、作用：

1）用数量说明研究对象之间的相互关系。

2）用数量把研究对象之间的变化规律显著地表示出来。

3）用数量把研究对象之间的差别显著地表示出来。

3、内容：一般包括总标题、横标题、纵标题、数字资料、单位、制表日期。

二、条形统计图

1定义：条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长

短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来。从条形统计图中很容易

看出各种数量的多少。条形统计图一般简称条形图，也叫长条图或直条图。

2、特点：对各个时期或时点的数据有直接对比的作用，对其数值大小，一目了

然。

3、作用：直观反映变量的数量差异，便于比较数量差异，研究数量差异问题。

4.条形统计图中间有间隔

5、制作

1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的线条，作为纵轴和横轴

2）在水平射线(横轴)上适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔。

3）在纵轴上确定单位长度，并标出数量的标记和计量单位。

4）根据数据的大小，画出长短不同的直条，并标上标题。

5）若条形太小可适当在条形内画上颜色等区分。

三、平均数与条形统计图

1、求平均数公式：

总数量=每份数相加平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数

2、平均数和平均分不一样，是两个不同的概念。

3、比赛时，计算平均得分时，一般要去掉一个最高分和一个最低分。平均数

能较好的反映一组数据的总体情况，而不能代表其中某个个体的情况。

4、条形统计图可以看出数量的多少。复式条形统计图可以更清楚地看出两组数

据不同的地方。

5、复式条形统计图可分为：纵向复式条形统计图和横向复式条形统计图，必须

要有图例。单位长度需统一。

观察物体

1、正确辨认从上面、前面、左面观察到物体的形状。

2、观察物体有诀窍，先数看到几个面，再看它的排列法，画图形时要注意，只

分上下画数量。

3、从不同位置观察同一个物体，所看到的图形有可能一样，也有可能不一样。

4、从同一个位置观察不同的物体，所看到的图形有可能一样，也有可能不一样。

5、从不同的位置观察，才能更全面地认识一个物体。

数学广角——鸡兔同笼

1、鸡兔同笼属于假设问题，假设的和最后结果相反。

2、“鸡兔同笼”问题的解题方法

假设法：

①假如都是兔

②假如都是鸡

③古人“抬脚法”：

解答思路：

假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔

就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就少了一半。这种思维方法叫化归

法。

3、公式：

鸡兔总脚数÷2－鸡兔总数=兔的只数；

鸡兔总数－兔的只数=鸡的只数。