材料力学公式

材料⼒学公式⼤全

材料⼒学常⽤公式

1.外⼒偶矩计算公式（P功率，n转速）

2.弯矩、剪⼒和荷载集度之间的关系式

3.轴向拉压杆横截⾯上正应⼒的计算公式（杆件横截⾯

轴⼒FN，横截⾯⾯积A，拉应⼒为正）

4.轴向拉压杆斜截⾯上的正应⼒与切应⼒计算公式（夹⾓a从x

轴正⽅向逆时针转⾄外法线的⽅位⾓为正）

5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；

拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）

6.纵向线应变和横向线应变

7.泊松⽐

8.胡克定律

9.受多个⼒作⽤的杆件纵向变形计算公式?

10.承受轴向分布⼒或变截⾯的杆件，纵向变形计算公式

11.轴向拉压杆的强度计算公式

12.许⽤应⼒，脆性材料，塑性材料

13.延伸率

14.截⾯收缩率

15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g）

16.拉压弹性模量E、泊松⽐和切变模量G之间关系式

17.圆截⾯对圆⼼的极惯性矩（a）实⼼圆

（b）空⼼圆

18.圆轴扭转时横截⾯上任⼀点切应⼒计算公式（扭矩T，所求点

到圆⼼距离r）

19.圆截⾯周边各点处最⼤切应⼒计算公式

20.扭转截⾯系数，（a）实⼼圆

（b）空⼼圆

21.薄壁圆管（壁厚δ≤R0/10，R0为圆管的平均半径）扭转

切应⼒计算公式

22.圆轴扭转⾓与扭矩T、杆长l、扭转刚度GHp的关系式

23.同⼀材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如

阶梯轴）时或

24.等直圆轴强度条件

25.塑性材料；脆性材料

26.扭转圆轴的刚度条件?或

27.受内压圆筒形薄壁容器横截⾯和纵截⾯上的应⼒计算公式

,

28.平⾯应⼒状态下斜截⾯应⼒的⼀般公式

,

29.平⾯应⼒状态的三个主应⼒,

,

30.主平⾯⽅位的计算公式

31.⾯内最⼤切应⼒

32.受扭圆轴表⾯某点的三个主应⼒，，

33.三向应⼒状态最⼤与最⼩正应⼒,

34.三向应⼒状态最⼤切应⼒

35.⼴义胡克定律

36.四种强度理论的相当应⼒

37.⼀种常见的应⼒状态的强度条件，

38.组合图形的形⼼坐标计算公式，

39.任意截⾯图形对⼀点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正

交坐标轴的惯性矩之和的关系式

40.截⾯图形对轴z和轴y的惯性半径?,

41.平⾏移轴公式（形⼼轴zc与平⾏轴z1的距离为a，图形⾯积

为A）

42.纯弯曲梁的正应⼒计算公式

43.横⼒弯曲最⼤正应⼒计算公式

44.矩形、圆形、空⼼圆形的弯曲截⾯系数?，

，

45.⼏种常见截⾯的最⼤弯曲切应⼒计算公式（为中性轴⼀

侧的横截⾯对中性轴z的静矩，b为横截⾯在中性轴处的宽度）

46.矩形截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处

47.⼯字形截⾯梁腹板上的弯曲切应⼒近似公式

48.轧制⼯字钢梁最⼤弯曲切应⼒计算公式

49.圆形截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处

50.圆环形薄壁截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处

51.弯曲正应⼒强度条件

52.⼏种常见截⾯梁的弯曲切应⼒强度条件

53.弯曲梁危险点上既有正应⼒σ⼜有切应⼒τ作⽤时的强度条

件或，

54.梁的挠曲线近似微分⽅程

55.梁的转⾓⽅程

56.梁的挠曲线⽅程?

57.轴向荷载与横向均布荷载联合作⽤时杆件截⾯底部边缘和顶

部边缘处的正应⼒计算公式

58.偏⼼拉伸（压缩）

59.弯扭组合变形时圆截⾯杆按第三和第四强度理论建⽴的强度

条件表达式，

60.圆截⾯杆横截⾯上有两个弯矩和同时作⽤时，合成弯矩

为

61.圆截⾯杆横截⾯上有两个弯矩和同时作⽤时强度计算

公式

62.

63.弯拉扭或弯压扭组合作⽤时强度计算公式

64.剪切实⽤计算的强度条件

65.挤压实⽤计算的强度条件

66.等截⾯细长压杆在四种杆端约束情况下的临界⼒计算公式

67.压杆的约束条件：（a）两端铰⽀µ=l

（b）⼀端固定、⼀端⾃由µ=2

（c）⼀端固定、⼀端铰⽀µ=

（d）两端固定µ=

68.压杆的长细⽐或柔度计算公式，

69.细长压杆临界应⼒的欧拉公式

70.欧拉公式的适⽤范围

传动轴所受的外⼒偶矩通常不是直接给出，⽽是根据轴的转速n与传递的功率P来计算。

当功率P单位为千⽡（kW），转速为n（r/min）时，外⼒偶矩为

m).(N9549en

P

M=

当功率P单位为马⼒（PS），转速为n（r/min）时，外⼒偶矩为

m).(N7024en

P

M=

拉（压）杆横截⾯上的正应⼒

拉压杆件横截⾯上只有正应⼒σ，且为平均分布，其计算公式为N

FA

σ=(3-1)

式中NF为该横截⾯的轴⼒，A为横截⾯⾯积。

正负号规定拉应⼒为正，压应⼒为负。公式（3-1）的适⽤条件：

（1）杆端外⼒的合⼒作⽤线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；（2）适⽤于离杆件受⼒区域稍远处的横截⾯；

（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产⽣局部应⼒集中现象，横截⾯上应⼒分布很不均匀；

（4）截⾯连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹⾓0

20α≤时拉压杆件任意斜截⾯（a图）上的应⼒为平均分布，其计算公式为

全应⼒cospασα=(3-2)

正应⼒2

cosασσα=（3-3）

切应⼒1

sin22

ατα=

（3-4）式中σ为横截⾯上的应⼒。

正负号规定：

α由横截⾯外法线转⾄斜截⾯的外法线，逆时针转向为正，反之为负。

ασ拉应⼒为正，压应⼒为负。

ατ对脱离体内⼀点产⽣顺时针⼒矩的ατ为正，反之为负。

两点结论：

（1）当0

0α=时，即横截⾯上，ασ达到最⼤值，即()maxασσ=。当α=0

90时，即

纵截⾯上，ασ=0

90=0。

（2）当0

45α=时，即与杆轴成0

45的斜截⾯上，ατ达到最⼤值，即max()2αα

τ=

1．2拉（压）杆的应变和胡克定律（1）变形及应变

杆件受到轴向拉⼒时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压⼒时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。

图3-2

轴向变形1lll?=-轴向线应变

l

l

ε?=

横向变形1bbb?=-

横向线应变b

b

ε?'=

正负号规定伸长为正，缩短为负。（2）胡克定律

当应⼒不超过材料的⽐例极限时，应⼒与应变成正⽐。即Eσε=（3-5）或⽤轴⼒及杆件的变形量表⽰为NFl

lEA

=

(3-6)式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能⼒的量。

公式(3-6)的适⽤条件：

(a)材料在线弹性范围内⼯作，即pσσ?；

(b)在计算l?时，l长度内其N、E、A均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即

1

n

ii

iii

NllEA=?=∑

(3-7)(3)泊松⽐当应⼒不超过材料的⽐例极限时，横向应变与轴向应变之⽐的绝对值。即

ενε

'

=

(3-8)表1-1低碳钢拉伸过程的四个阶段

强度计算

许⽤应⼒材料正常⼯作容许采⽤的最⾼应⼒，由极限应⼒除以安全系数求得。塑性材料[σ]=

ssnσ；脆性材料[σ]=bb

nσ其中,sbnn称为安全系数，且⼤于1。

强度条件：构件⼯作时的最⼤⼯作应⼒不得超过材料的许⽤应⼒。

对轴向拉伸（压缩）杆件

[]N

A

σσ=

≤（3-9）按式（1-4）可进⾏强度校核、截⾯设计、确定许克载荷等三类强度计算。切应⼒互等定理

受⼒构件内任意⼀点两个相互垂直⾯上，切应⼒总是成对产⽣，它们的⼤⼩相等，⽅向同时垂直指向或者背离两截⾯交线，且

与截⾯上存在正应⼒与否⽆关。

纯剪切

单元体各侧⾯上只有切应⼒⽽⽆正应⼒的受⼒状态，称为纯剪切应⼒状态。切应变

切应⼒作⽤下，单元体两相互垂直边的直⾓改变量称为切应变或切应变，⽤τ表⽰。剪切胡克定律

在材料的⽐例极限范围内，切应⼒与切应变成正⽐，即Gτγ=(3-10)

式中G为材料的切变模量，为材料的⼜⼀弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E及泊松⽐ν）,其数值由实验决定。

对各向同性材料,E、ν、G有下列关系2(1)

E

Gν=+(3-11)

2.5.2切应⼒计算公式

横截⾯上某⼀点切应⼒⼤⼩为pp

TIρ

τ=

(3-12)式中pI为该截⾯对圆⼼的极惯性矩，ρ为欲求的点⾄圆⼼的距离。

圆截⾯周边上的切应⼒为maxt

T

Wτ=

(3-13)式中ptIWR

=

称为扭转截⾯系数，R为圆截⾯半径。

2.5.3切应⼒公式讨论

（1）切应⼒公式（3-12）和式（3-13）适⽤于材料在线弹性范围内、⼩变形时的等圆

截⾯直杆；对⼩锥度圆截⾯直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应⽤，其误差在⼯程允许范围内。（2）极惯性矩pI和扭转截⾯系

数tW是截⾯⼏何特征量，计算公式见表3-3。在⾯积

不变情况下，材料离散程度⾼，其值愈⼤；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能⼒愈强。因此，设计空⼼轴⽐实⼼轴更为合理。

表3-3

2.5.4强度条件

圆轴扭转时，全轴中最⼤切应⼒不得超过材料允许极限值，否则将发⽣破坏。因此，强度条件为[]maxmax

tTWττ??=≤

(3-14)对等圆截⾯直杆[]max

max

tTWττ=≤（3-15）式中[]τ为材料的许⽤切应⼒。3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系

1

z

M

EIρ

=

(3-16)式中，ρ是变形后梁轴线的曲率半径；E是材料的弹性模量；EI是横截⾯对中性轴Z轴的惯性矩。

3.1.2横截⾯上各点弯曲正应⼒计算公式Z

M

yIσ=

(3-17)式中，M是横截⾯上的弯矩；ZI的意义同上；y是欲求正应⼒的点到中性轴的距离

最⼤正应⼒出现在距中性轴最远点处maxmaxmaxmaxzz

MM

yIWσ=?=（3-18）

式中，maxzzIWy=

称为抗弯截⾯系数。对于hb?的矩形截⾯，2

16

zWbh=；对于直径为D的圆形截⾯，332

zWDπ

=

；对于内外径之⽐为daD=

的环形截⾯，3

4(1)32

zWDaπ=-。若中性轴是横截⾯的对称轴，则最⼤拉应⼒与最⼤压应⼒数值相等，若不是对称轴，则最⼤

拉应⼒与最⼤压应⼒数值不相等。梁的正应⼒强度条件

梁的最⼤⼯作应⼒不得超过材料的容许应⼒，其表达式为[]max

maxz

MWσσ=

≤（3-19）

对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截⾯梁（如T字形截⾯、上下不等边的⼯字形截⾯等），其强度条件应表达为

[]max

max1ltzMyIσσ=

≤（3-20a）[]max

max2ycz

MyIσσ=

≤（3-20b）式中，[][],tcσσ分别是材料的容许拉应⼒和容许压应⼒；12,yy分别是最⼤拉应⼒点和最⼤压应⼒点距中性轴的

距离。

梁的切应⼒zzQSIb

τ*

=（3-21）

式中，Q是横截⾯上的剪⼒；zS*

是距中性轴为y的横线与外边界所围⾯积对中性轴的静矩；

zI是整个横截⾯对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截⾯宽度。

3.3.1矩形截⾯梁

切应⼒⽅向与剪⼒平⾏，⼤⼩沿截⾯宽度不变，沿⾼度呈抛物线分布。

切应⼒计算公式2

2364Qhybhτ??=-

（3-22）

3.3.2⼯字形截⾯梁

切应⼒主要发⽣在腹板部分，其合⼒占总剪⼒的95~97%，因此截⾯上的剪⼒主要由腹板部分来承担。

切应⼒沿腹板⾼度的分布亦为⼆次曲线。计算公式为

()2222824zQBbhHhyIbτ=-+-???

(3-23)

近似计算腹板上的最⼤切应⼒：

dh

F

s1

max

=τ

d为腹板宽度h1为上下两翼缘内侧距

3.3.3圆形截⾯梁

横截⾯上同⼀⾼度各点的切应⼒汇交于⼀点，其竖直分量沿截⾯宽度相等，沿⾼度呈抛物线变化。

最⼤切应⼒发⽣在中性轴上，其⼤⼩为

（3-25）

圆环形截⾯上的切应⼒分布与圆截⾯类似。切应⼒强度条件

梁的最⼤⼯作切应⼒不得超过材料的许⽤切应⼒，即[]maxmaxmaxzzQSIb

ττ*=≤

(3-26)

式中，maxQ是梁上的最⼤切应⼒值；maxzS*

是中性轴⼀侧⾯积对中性轴的静矩；zI是横截⾯对中性轴的惯性矩；b是maxτ处截⾯的宽度。对于等宽度截⾯，maxτ发⽣

在中性轴上，对于宽度变化的截⾯，maxτ不⼀定发⽣在中性轴上。剪切的实⽤计算

名义切应⼒：假设切应⼒沿剪切⾯是均匀分布的，则名义切应⼒为A

Q

=τ（3-27）

剪切强度条件：剪切⾯上的⼯作切应⼒不得超过材料的许⽤切应⼒[]τ,即

[]ττ≤=

A

Q

（3-28）挤压的实⽤计算

名义挤压应⼒假设挤压应⼒在名义挤压⾯上是均匀分布的，则[]bs

bsbsbs

PAσσ=≤（3-29）

式中，bsA表⽰有效挤压⾯积，即挤压⾯⾯积在垂直于挤压⼒作⽤线平⾯上的投影。当挤压⾯为平⾯时为接触⾯⾯积，当挤压

⾯为曲⾯时为设计承压接触⾯⾯积在挤压⼒垂直⾯上的投影⾯积。

挤压强度条件挤压⾯上的⼯作挤压应⼒不得超过材料的许⽤挤压应⼒

[]bsbs

bsAP

σσ≤=

（3-30）1，变形计算

圆轴扭转时，任意两个横截⾯绕轴线相对转动⽽产⽣相对扭转⾓。相距为l的两个横截⾯的相对扭转⾓为

dxGIT

l

P

=0?(rad)若等截⾯圆轴两截⾯之间的扭矩为常数，则上式化为

P

GITl

=

(rad)图

式中PGI称为圆轴的抗扭刚度。显然，?的正负号与扭矩正负号相同。

公式（）的适⽤条件：

（1）材料在线弹性范围内的等截⾯圆轴，即Pττ≤；

（2）在长度l内，T、G、PI均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计

算扭转⾓，然后求代数和得总扭转⾓。即∑==

n

iPii

ii

IGlT1?(rad)当T、PI沿轴线连续变化时,⽤式计算?。2，刚度条件

扭转的刚度条件圆轴最⼤的单位长度扭转⾓max'?不得超过许可的单位长度扭转⾓[]'?,即

[]''max

max??≤=

P

GIT(rad/m)式[]'180'maxmax?π?≤?=?

PGIT（m/?）（）

2，挠曲线的近似微分⽅程及其积分

在分析纯弯曲梁的正应⼒时，得到弯矩与曲率的关系

EI

M

=ρ

1

对于跨度远⼤于截⾯⾼度的梁，略去剪⼒对弯曲变形的影响，由上式可得

()()EI

xMx=ρ1

利⽤平⾯曲线的曲率公式，并忽略⾼阶微量，得挠曲线的近似微分⽅程，即

()EI

xM=''ω（）将上式积分⼀次得转⾓⽅程为()CdxEI

xM+==?'ωθ（）再积分得挠曲线⽅程()DCxdxdxEIxM++??

=??ω（）式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若⼲段积分时，

积分常数的确定除需利⽤边界条件外，还需要利⽤连续条件。3，梁的刚度条件

限制梁的最⼤挠度与最⼤转⾓不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即

[]ωω≤max，[]θθ≤max（）3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能

在线弹性范围内，由功能原理得lFWV?=

=2

1

ε当杆件的横截⾯⾯积A、轴⼒FN为常量时，由胡克定律EA

l

FlN=?，可得EAlFVN22

=ε

（）

杆单位体积内的应变能称为应变能密度，⽤εV表⽰。线弹性范围内，得

σεε2

1

=

V（）4，圆截⾯直杆扭转应变能在线弹性范围内，由功能原?erMWV2

1

=

=将TMe=与PGITl=?代⼊上式得P

rGIl

TV22=

（）图

根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内⼒功，得应变能的密度rV：

rVrτ2

1

=（）

5，梁的弯曲应变能

在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得

θεeMWV2

1

==

将MMe=与EI

Ml

=θ代⼊上式得EIlMV22=ε（）

图

横⼒弯曲时，梁横截⾯上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应⽤式（），

积分得全梁的弯曲应变能εV，即()?=l

EIdxxMV22ε（）

2．截⾯⼏何性质的定义式列表于下：

静矩

惯性矩

惯性半径

惯性积极惯性矩

=AyzdAS

=A

ydAzI2

A

Iiyy=

=AyzyzdA

I

=A

pdApI2

=AzydA

S

=A

zdAyI2

A

Iiz

z=

3．惯性矩的平⾏移轴公式

AaIICyy2+=AbIICzz2+=

静矩：平⾯图形⾯积对某坐标轴的⼀次矩，如图Ⅰ-1所⽰。定义式：?=A

yzdAS，?

=

A

zydAS（Ⅰ-1）

量纲为长度的三次⽅。

由于均质薄板的重⼼与平⾯图形的形⼼有相同的坐标Cz和Cy。则

yA

CSdAzzA=?=??

由此可得薄板重⼼的坐标Cz为A

SAzdAzyA

C=

=?同理有AS

yzC=

所以形⼼坐标ASzyC=，A

S

yzC=（Ⅰ-2）

或CyzAS?=，CzyAS?=

由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形⼼轴，则图形对该轴的静矩等于零，即0=Cy，

0=zS；0=Cz，则0=yS；反之，若图形对某⼀轴的静矩等于零，则该轴必然

通过图形的形⼼。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。

如⼀个平⾯图形是由⼏个简单平⾯图形组成，称为组合平⾯图形。设第I块分图形的⾯积为iA，形⼼坐标为CiCizy,，则其

静矩和形⼼坐标分别为Ciin

izyAS1

=∑=，

Ciin

iyzAS1

=∑=（Ⅰ-3）

∑∑===

=n

ii

n

iCi

izCA

y

AA

Sy1

1

，∑∑===

=

n

ii

n

ici

iyCA

z

AA

Sz1

1（Ⅰ-4）

§Ⅰ-2惯性矩和惯性半径

惯性矩：平⾯图形对某坐标轴的⼆次矩，如图Ⅰ-4所⽰。

=A

ydAzI2，?=A

zdAyI2（Ⅰ-5）

量纲为长度的四次⽅，恒为正。相应定义

A

Iiyy=

，A

Iiz

z=

（Ⅰ-6）为图形对y轴和对z轴的惯性半径。

组合图形的惯性矩。设ziyiII,为分图形的惯性矩，则总图形对同⼀轴惯性矩为

yiniyII1

=∑=，zin

izII1

=∑=（Ⅰ-7）若以ρ表⽰微⾯积dA到坐标原点O的距离,则定

义图形对坐标原点O的极惯性矩

=A

pdAI2ρ（Ⅰ-8）因为222zy+=ρ

所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系()

zyA

pIIdAzy

I+=+=?22

（Ⅰ-9）

式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。

下式?

=

A

yzyzdAI（Ⅰ-10）

定义为图形对⼀对正交轴y、z轴的惯性积。量纲是长度的四次⽅。yzI可能为正，为负或为零。若y，z轴中有⼀根为对称

轴则其惯性积为零。§Ⅰ-3平⾏移轴公式

由于同⼀平⾯图形对于相互平⾏的两对直⾓坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中⼀对轴是图形的形⼼轴()

cc

z,y时，如图Ⅰ-7所⽰，可得到如下平⾏移轴公式

+=+=+=abAI

IAbIIAaIICCCCzyyz

zzyy2

2（Ⅰ-13）简单证明之：

()++=+==A

A

CA

CA

CA

ydAadAzadAzdAazdAzI22

2

22

其中

A

CdAz为图形对形⼼轴Cy的静矩，其值应等于零，则得

AaIICyy2+=

同理可证（I-13）中的其它两式。

结论：同⼀平⾯内对所有相互平⾏的坐标轴的惯性矩，对形⼼轴的最⼩。在使⽤惯性积移轴公式时应注意a,b的正负号。把斜

截⾯上的总应⼒p分解成与斜截⾯

垂直的正应⼒nσ和相切的切应⼒nτ（图13.1c）,则其与主应⼒的关系为

222123nlmnσσσσ=++（）

nτ=（）

在以nσ为横坐标、nτ

的正应⼒nσ和切应⼒nτmaxτ=