基本不等式教案

1/12

《基本不等式

2

ab

ab



（第

1

课时）》教学设计

“基本不等式”是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌

握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不

等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题

中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良

好的思维品质．

1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不

等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．通过实例探究抽象基本不等式；

3．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式

2

ab

ab



的证明过程；

【教学难点】

基本不等式

2

ab

ab



等号成立条件

1．课题导入

基本不等式

2

ab

ab



的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽

的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图

案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．

【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际，

来源于生活．

◆教学过程

◆教学重难点

◆

◆教学目标

◆教材分析

2/12

2．讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形．设直角三

角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为22ab．这样，4个直角三角形的面积

的和是2ab，正方形的面积为22ab．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我

们就得到了一个不等式：222abab．

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

222abab．

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为222)(2baabba

当22,()0,,()0,abababab时当时

所以，0)(2ba，即.2)(22abba

4．（1）从几何图形的面积关系认识基本不等式

2

ab

ab





特别的，如果a>0，b>0，我们用分别代替a、b，可得

2abab

，

通常我们把上式写作：(a>0,b>0)

2

ab

ab





（2）从不等式的性质推导基本不等式

2

ab

ab





用分析法证明：

要证

2

ab

ab



（1）

只要证a+b（2）

要证（2），只要证a+b-0（3）

要证（3），只要证（-）2（4）

显然，（4）是成立的．当且仅当a=b时，（4）中的等号成立．

（3）理解基本不等式

2

ab

ab



的几何意义

探究：

3/12

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b．过点C

作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．你能利用这个图形得出基本不等式

2

ab

ab



的几何解释吗？

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB

即ＣD＝

ab

．

这个圆的半径为

2

ba

，显然，它大于或等于CD，即ab

ba





2

，其中当且仅当点

C与圆心重合，即a＝b时，等号成立．

因此：基本不等式

2

ab

ab



几何意义是“半径不小于半弦”

评述：1．如果把

2

ba

看作是正数a、b的等差中项，

ab

看作是正数a、b的等比中

项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．

2.在数学中，我们称

2

ba

为a、b的算术平均数，称

ab

为a、b的几何平均数．本

节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和

研究问题的逻辑分析能力．

[补充例题]

例1已知x、y都是正数，求证：

（1）

y

x

x

y

≥2；

（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3．

分析：在运用定理：ab

ba





2

时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质（把

握好每条性质成立的条件），进行变形．

解：∵x，y都是正数∴

y

x

＞0，

x

y

＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0

（1）

x

y

y

x

x

y

y

x

2＝2即

x

y

y

x

≥2．

（2）x＋y≥2xy＞0x2＋y2≥222yx＞0x3＋y3≥233yx

4/12

＞0

∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·222yx·233yx＝８x3y3

即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3．

【设计意图】例题讲解，学以致用．

3．随堂练习

1．已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：ab

ba





2

（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结

果．

解：∵a，b，c都是正数

∴a＋b≥2

ab

＞0

b＋c≥2bc＞0

c＋a≥2ac＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2

ab

·2

bc

·2

ac

＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc．

【设计意图】讲练结合，熟悉新知．

4．课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（

2

ba

），

几何平均数（

ab

）及它们的关系（

2

ba

≥

ab

）．它们成立的条件不同，前者只要求a、

b都是实数，而后者要求a、b都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最

值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）．我们还可以用它们下面的等价变形来解决

问题：ab≤

2

22ba

，ab≤（

2

ba

）2

【设计意图】课时小结，内化知识．

本次课通过实例探究抽象基本不等式；由北京召开的第24界国际数学家大会的会标情

境引入，贴近生活，贴近数学，能让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．

◆教学反思

5/12

《基本不等式

2

ab

ab



（第2课时）》教学

设计

“基本不等式”是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌

握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不

等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题

中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良

好的思维品质．

1．进一步掌握基本不等式

2

ab

ab



；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解

决一些简单的实际问题

2．通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式

2

ab

ab



，并会用此定理求某些

函数的最大、最小值．

3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际

相结合的科学态度和科学道德．

教学重点

基本不等式

2

ab

ab



的应用

教学难点

利用基本不等式

2

ab

ab



求最大值、最小值．

1．课题导入

◆教学过程

◆教学重难点

◆

◆教学目标

◆教材分析

6/12

1．重要不等式：

如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba

2．基本不等式：如果a，b是正数，那么).""(

2

号时取当且仅当



baab

ba

我们称ba

ba

,

2

为



的算术平均数，称baab,为的几何平均数

ab

ba

abba





2

222和成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，

而后者要求a，b都是正数．

【设计意图】复习引入．

2．讲授新课

例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，

所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？

（2）段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少

时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

解：（1）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m．由

2

xy

xy



，

可得

2100xy

，2()40xy．等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10．

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m．

（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜

2

1

，其面积

S＝x（36－2x）＝

2

1

·2x（36－2x）≤

2

12

2

236236

()

28

xx



当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9m时菜园面积最

大为81m2

解法二：设矩形菜园的长为xm．，宽为ym，则2（x+y）=36，x+y=18，矩形菜园

的面积为xym2．由

7/12

18

9

22

xy

xy



，可得81xy

当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立．

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2

归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，

M为定值，则ab≤

4

2M

，等号当且仅当a＝b时成立．

2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，

则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立．

例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每

1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低

总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最

值，其中用到了均值不等式定理．

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

)

1600

(720240000

x

xl

297600

1600

2720240000





x

x

当.2976000,40,

1600

有最小值时即lx

x

x

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是

297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建

立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件．

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

8/12

（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

（4）正确写出答案．

【设计意图】讲解例题，熟悉方法．

3．随堂练习

1．已知x≠0，当x取什么值时，x2＋

2

81

x

的值最小?最小值是多少?

2．课本练习．

【设计意图】讲练结合，巩固新知．

4．课时小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值

问题．在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考

查下列三个条件：（1）函数的解析式中，各项均为正数；（2）函数的解析式中，含变数的各

项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用

均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．

【设计意图】课时小结，内化知识．

本次课通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式

2

ab

ab



，并会用此定理求某

些函数的最大、最小值．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求

是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．

《基本不等式

2

ab

ab



（第3课时）》

教学设计

“基本不等式”是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌

握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不

◆教材分析

◆教学反思

9/12

等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题

中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良

好的思维品质．

1．进一步掌握基本不等式

2

ab

ab



；会用此不等式证明不等式，会应用此不等式

求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题；

2．通过例题的研究，进一步掌握基本不等式

2

ab

ab



，并会用此定理求某些函数

的最大、最小值．

3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际

相结合的科学态度和科学道德．

教学重点

掌握基本不等式

2

ab

ab



，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的

最值

教学难点

利用此不等式求函数的最大、最小值．

1．课题导入

1．基本不等式：如果a，b是正数，那么).""(

2

号时取当且仅当



baab

ba

2．用基本不等式

2

ab

ab



求最大（小）值的步骤．

【设计意图】复习引入．

2．讲授新课

1）利用基本不等式证明不等式

例1已知m>0，求证

24

624m

m

．

[思维切入]因为m>0，所以可把

24

m

和6m分别看作基本不等式中的a和b，直接利用

基本不等式．

◆教学过程

◆教学重难点

◆

◆教学目标

10/12

[证明]因为m>0，，由基本不等式得

2424

626224621224mm

mm



当且仅当

24

m

=6m，即m=2时，取等号．

规律技巧总结注意：m>0这一前提条件和

24

6m

m

=144为定值的前提条件．

【设计意图】例题讲解，利用基本不等式证明不等式，熟练使用基本不等式．

3．随堂练习1

[思维拓展1]已知a，b，c，d都是正数，求证()()4abcdacbdabcd．

[思维拓展2]求证22222()()()abcdacbd．

例2求证：

4

7

3

a

a





．

[思维切入]由于不等式左边含有字母a，右边无字母，直接使用基本不等式，无法约

掉字母a，而左边

44

(3)3

33

aa

aa





．这样变形后，在用基本不等式即可得证．

[证明]

444

3(3)32(3)32437

333

aa

aaa





当且仅当

4

3a

=a-3即a=5时，等号成立．

规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式．

2）利用不等式求最值

例3（1）若x>0，求

9

()4fxx

x

的最小值；

（2）若x<0，求

9

()4fxx

x

的最大值．

[思维切入]本题（1）x>0和

9

4x

x

=36两个前提条件；（2）中x<0，可以用-x>0来转化．

11/12

解（1）因为x>0由基本不等式得

99

()42423612fxxx

xx



，当且仅当

9

4x

x

即x=

3

2

时，

9

()4fxx

x

取最小值12．

（2）因为x<0，所以-x>0，由基本不等式得：

999

()(4)(4)()2(4)()23612fxxxx

xxx



，

所以()12fx．

当且仅当

9

4x

x

即x=-

3

2

时，

9

()4fxx

x

取得最大-12．

规律技巧总结利用基本不等式求最值时，个项必须为正数，若为负数，则添负号变正．

随堂练习2

[思维拓展1]求

9

()4

5

fxx

x





（x>5）的最小值．

[思维拓展2]若x>0，y>0，且

28

1

xy

，求xy的最小值．

【设计意图】讲练结合，巩固新知．

4．课时小结

用基本不等式

2

ab

ab



证明不等式和求函数的最大、最小值．

【设计意图】总结基本不等式在某些方面的运用，锻炼学生自我总结的能力．

5．评价设计

１．证明：22222abab

12/12

２．若1x，则

x

为何值时

1

1





x

x有最小值，最小值为几？

【设计意图】将课堂知识延伸至课外，在巩固知识的同时，锻炼了学生的自主学习能力．

本次课是一次常规的习题课，复习知识、举例运用、学生练习、课外练习，从而达到巩

固知识的效果．其实这次课还是可以采用老师引导，学生分组讨论研究，得到结果，得到解

题方法，从而让学生体验自主研究题目，得到结论的乐趣．

◆教学反思