因式分解题目

..

;.

第一讲：因式分解一提公因式法

【知识要点】2016.11.21

1、分解因式的概念

把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。

2、分解因式与整式乘法的关系

分解因式与整式乘法是的恒等变形。

3．分解因式的一些注意点

（1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止；

（3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。

4．公因式

多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的.

5.提公因式法

如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的

方示叫做提公因式法.

6.确定公因式的方法

(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为;

(2)字母公因式:应取多项式中各项字母为.

【学堂练习】

1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?

(1)

)

1

1(22

x

xxx

;(2)1)5)(5(22aaba

(3)22))((nmnmnm(4)22)2(44xxx

(5))23(232yxxxxyx(6)32)1)(3(2xxxx

2．把下列各式分解因式

（1）aaba3692（2）4324264xyyxyx

例1、把下列各式分解因式

（1）)2(3)2(2yxbyxa（2）)2(4)2(3)2(2yxcxybyxa

（3）32)2()2(2xybyxa（4）32)3(25)3(15abbab

..

;.

（5）432)(2)(3)(xyxyyx（6）nmnmxbxaxbxa)()()()(11

例2．利用分解因式计算

（1）

5.12346.45.12347.115.12349.2

（2）

99100

9899

22

22





例3．已知

2,

3

2

abba

，求代数式22222abbaba的值。

例4、利用因式分解说明：127636能被140整除。

【随堂练习】

1．下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（）

A、2))(1(2aabaaB、)

1

)(

1

(

2

2

y

x

y

x

y

x





C、))((yxyxyxD、2)2(4)4(mmm

2．已知二次三项式cbxx22分解因式

)1)(3(2xx

，则

cb,

的值为（）

A、

1,3cb

B、

2,6cb

C、

4,6cb

D、

6,4cb

3．下列各式的公因式是a的是（）

A、5ayaxB、264mamaC、aba1052D、maaa42

4．将

)()(3yxbyxa

用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（）

A、

ba3

B、

)(3yx

C、yxD、

ba3

5．把多项式)2()2(2amam分解因式的结果为（）

A、))(2(2mmaB、))(2(2mmaC、)1)(2(mamD、)1)(2(mam

6．多项式xyyx22的公因式是；多项式是323296cabba的公因式是。

7．分解因式：2xyxy=。333)()()(nmmnbnma（）。

8．已知：1000,133abba。22abba的值为。

9．把下列各式分解因式

..

;.

（1）2222262abbaba（2）32223229123bcacbabca

（3）

)()(yxbyxa

（4）)()(22yxxxy

【课后强化】

1．432mxx分解因式为

)1)(43(xx

，则m的值为。

2．

xynxymxyxy3963

（）

)()()(axcxabaxa

。

3．把下列各式分解因式

（1）xyzxyyx126322（2）)(6)(32xyxyxx

（3）23)(4)(2xyyx（4）2)())((baababaa

第二讲：因式分解—公式法、分组分解法

1．乘法公式逆变形

（1）平方差公式：))((22bababa

（2）完全平方公式：222222)(2,)(2babababababa

2.常见的两个二项式幂的变号规律：

①22()()nnabba；②2121()()nnabba．（

n

为正整数）

3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。

【学堂练习】

1、如果2592kxx是一个完全平方式，那么k的值是（）

A15B15C30D30

2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）

A、42mB、22yxC、122yxD、22amam

3、把下列各式分解因式：

（1）224ba（2）2916a（3）11622yx

（4）36122mm（5）22

4

1

yxyx（6）222yxyx

（7）22xyaxay（8）42469xaa

..

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【经典例题】

例1．用公式法分解因式：

（1）222224)(baba（2）22)3()2(yx

（3）4422abba（4）16824xx

(5)22)2(25)1(16xx(6)9)(6)(222xxxx

分组分解法

掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法

分组后能运用公式（一三分组）

yxyx221222yxyxa2－b2－c2＋2bc

分组后能提公因式（二二分组）ax＋ay＋bx＋byab－c＋b－ac

练习：把下列多项式分解因式：

1.（1）1abab（2）a2－ab＋ac－bc

2.（1）27321xyxyx

（2）

263acadbcbd

3.（1）22926abab

（2）2242xxyy

4.（1）a2－2ab＋b2－c2（2）2229124cbcba

课外延伸

1．用分组分解法把ab－c＋b－ac分解因式分组的方法有（）

A．1种B.2种C.3种D.4种

2.用分组分解a2－b2－c2＋2bc的因式，分组正确的是（）

3．填空：

（1）ax＋ay－bx－by=(ax＋ay)－()=()()

（2）x2－2y－4y2＋x=()＋()=()()

（3）4a2－b2－4c2＋4bc=()－()=()()

4．用分组分解法分解因式

（1）44axayxy（2）229816aabb

)2().(

)2().(

222

222

bccbaC

bcbcaA





)2(.

2).(

222

222

bccbaD

bccbaB





..

;.

（3）baba4422（4）222222abcdadbc

5．用合适的方法分解因式：

（1）424255bmam（2）222231212mnmnm

（3）)()(422mnbnma（4）)(12)(9422nmmnmm

6．利用分解因式计算：

（1）433.1922.122（2）2298196202202

7．若3223,2,3babbaaabba求值。

【随堂练习】

1．对于多项式5321xxx有如下四种分组方法：其中分组合理的是（）

①532()(1)xxx②523()(1)xxx③532()1xxx④532(1)xxx

A．①②B．①③C．②④D．③④

2.△ABC的三边满足a4+b2c2-a2c2-b4=0，则△ABC的形状是__________.

3.已知2ba，利用分解因式，求代数式22

2

1

2

1

baba。

4、分解下列因式：

（1）－3x3－12x2＋36x（2）2224)1(xx

（3）mmnnm222（4）a2＋2ab＋b2－a－b

5、计算：（1）2（2）

119899

4555

2

22





【课后强化】

（1）282x（2）22916ba（3）baabba232

（4）2224)1(xx（5）222yxyxyx

..

;.

第三讲因式分解——十字相乘法

十字相乘法

一、qpxx2型的二次三项式因式分解：

（其中pab，qab）

一、利用十字相乘法将下列各式因式分解

（1）、x2＋7x＋6（2）、x2－5x－6（3）、x2－5x＋6

（4）、a2－4a－21（5）、t2－2t－8（6）、m2＋4m－12

（7）、

342xx

（8）、

762xx

（9）

13122xx

（10）、

11102aa

（11）、

1582xx

（12）、x2－7x＋6

（13）、x4＋5x2－6（14）、m4－6m2＋8（15）、x4＋10x2＋9

（16）、

4)(3)(2baba

（17）、

12)2(8)2(2yxyx

（18）、

24)5(10)5(222xxxx

（19）、2421122

2

2xxxx

二、二次三项式cbxax2的分解：

如果二次项系数a分解成

1

a

、

2

a

，常数项c分解成

1

c

、

2

c

；并且

1221

caca

等于一次项系数

b

，

那么二次三项式：

))(()(

2211211221

2

21

2cxacxaccxcacaxaacbxax

借助于画十字交叉线排列如下：

二、利用十字相乘法将下列各式因式分解

2522xx3522xx20322xx7522xx

3722xx3722xx6722xx6722xx

6732xx3832xx2532xx2352xx

8652xx25562xx3762xx

abxbax)(2))((bxax

..

;.

1．把下列各式分解因式

（4）9m2－6m＋2n－n2（5）4x2－4xy－a2＋y2（6）1―m2―n2＋2mn

（7）

432mm

（8）

302xx

（9）

1522xx

（10）

24102xx

（11）

24142xx

（12）x2＋xy－12y2

（13）x2－13xy－36y2（14）a2－ab－12b2（15）362132xx

（16）12724xx（17）2282yxyx

（18）2234baba

◆因式分解的一般步骤：一提二代三分组

①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；

②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；

③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；

④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。

◆因式分解几点注意与说明：

①、因式分解要进行到不能再分解为止；

②、结果中相同因式应写成幂的形式；

③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，

因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。

因式分解综合复习

【考点分析】

考点1：分解因式的意义

1、下列从左到右的变形,属于分解因式的是()

A.(x+3)(x－2)=x2+x－－ay+1=a(x－y)+1

C.x2－

2

1

y

=(x+

y

1

)(x－

y

1

)D.3x2+3x=3x(x+1)

2、若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x－2),试求a、b的值。

xyxyx21565)1(21243)3(22axaxbaaba3217)2(2

..

;.

考点2：提公因式法分解因式

1．多项式6a3b2－3a2b2－21a2b3分解因式时，应提取的公因式是()

A.3a2bB.3ab2C.3a3b2D.3a2b2

2．把多项式2(x－2)2－(2－x)3分解因式的结果是（）

A.(x－2)2(4－x)B.x(x－2)2C.－x(x－2)2D.(x－2)2(2－x)

3．下列各组代数式没有公因式的是（）

A．5a－5b和b－aB．ax+1和1+ay

C．(a－b)2和－a+bD．a2－b2和(a+b)(a+1)

4、分解下列因式

（1）－8x2n+2yn+2+12xn+1y2n+3（2）x2y(x－y)+2xy(y－x)

（3）16（x－y）2－24xy（y－x）（4）xyyyxx393272

2

考点3：运用公式法分解因式

1．如果2592kx

x

是一个完全平方式，那么k的值是（）

A、15B、±5C、30D±30

2.⑴（2009年北京）分解因式：224914baba=。

⑵（2005年上海市）分解因式：4416nm=。

3、分解下列因式：

（1）223

3

1

nm

（2）491422abba

（3）22169baba（4）162492baba

考点4：分组分解法分解因式

(1)yyxx2224(2)

149422mnm

（3）22(1)(1)4abab（4）2244caa

考点5：综合运用提公因式法、公式法分解因式

1、（1）分解因式：4m3-m=；

..

;.

（2）分解因式：8x2y-8xy+2y=。

2、分解下列因式：

（1）8a4－2a2（2）mnynmx229

（3）222()4()abmba（4）22(161)(116)axybyx

考点6：分解因式的应用

1、利用因式分解方法计算：

（1）

4.4513.74450.88944.50.26

(2)228

2、已知6,7baab，求22abab的值。

3、△ABC的三边满足a2-2bc=c2-2ab，则△ABC是（）

A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、锐角三角形

4、若a为整数，证明1)12(2a能被8整除。

【随堂小测】

1、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）

(A)(a+3)(a-3)=a2-9(B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1

(C)a2b+ab2=ab(a+b)(D)x2+1=x(x+

x

1

)

2、把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（）

(A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1)

3、下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）

(A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16m4-25n2p2

4、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）

(A)

4

1

2m

m

(B)222yxyx(C)224914baba(D)

1

3

2

9

2

n

n

5、把多项式apap112分解因式的结果是（）

A、ppa21B、ppa21C、11papD、11pap

6、已知yxyxyx则,0106222（）

..

;.

A、2B、－2C、4D、－4

7、若三角形的三边长分别为a、

b

、c，满足03222bcbcaba，则这个三角形是（）

A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、三角形的形状不确定

6、已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为。

7、分解因式：m3-4m=。

8、若ax2+24x+b=(mx-3)2，则a=，b=，m=。

9、16（x－y）2－24xy（y－x）=8（x－y）（）

10、分解下列因式：

（1）3234241228xyxyxy（2）2224)1(aa

11、若3223,2,3babbaaabba求值。

◆◆◆快乐体验

一、选择题、填空题：

1、652xx可以分解因式为

2、已知1999)1998)(2000(aa，那么22)1998()2000(aa；

3、把代数式aaxax442分解因式，

二、分解因式：

①、4542xx②、1200102nn

③、22242bcaba④、4422xyxxyyx3

三、（能力提升）把下列多项式分解因式：

①、2222)(22)(bababa②、12)52)(32(22xxxx

③、

63223xxx

④、1137522nnnaaa

（

n

为正整数）

2、已知：21

20

1

,19

20

1

,20

20

1

xcxbxa，求：acbcabcba222的值；