倍角公式

和角公式与倍角公式

§4.5和角公式与倍角公式

1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C

α－

β

)

cos(α＋β)＝

____________________________(C

α＋β

)

sin(α－β)＝

____________________________(S

α－β

)

sin(α＋β)＝

______________________________(S

α＋β

)

tan(α－β)＝

tanα－tanβ

1＋tanαtanβ

(T

α－β

)

tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

(T

α＋β

)

前面4个公式对任意的α，β都成立，而

后面两个公式成立的条件是α≠kπ＋

π

2

，

β≠kπ＋

π

2

，k∈Z，且α＋β≠kπ＋

π

2

(T

α＋β

需满足)，α－β≠kπ＋

π

2

(T

α－β

需满足)k∈Z

时成立，否则是不成立的．当tanα、tan

β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公

式T

α±β

处理有关问题，应改用诱导公式或

其它方法来解．

2．二倍角公式

sin2α＝__________________；

cos2α＝________________＝

__________＝__________；

tan2α＝______________.

3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵

活运用公式解决问题：如公式的正用、

逆用和变形用等．如T

α±β

可变形为：

tanα±tanβ＝

________________________，

tanαtanβ＝________________＝

________________.

4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，

可以化为f(α)＝____________或f(α)＝______，

其中φ可由a，b的值唯一确定．

[难点正本疑点清源]

1．正确理解并掌握和、差角公式间的关系

理解并掌握和、差角公式间的关系对掌

握公式十分有效．如cos(α－β)＝cosαcos

β＋sinαsinβ可用向量推导，cos(α＋β)

只需转化为cos[α－(－β)]利用上述公式

和诱导公式即可．

2．辩证地看待和角与差角

为了灵活应用和、差角公式，可以对角

进行适当的拆分变换：已知角与特殊角

的变换、已知角

与目标角的变换、角与其倍角的变换、

两角与其和差角的变换．如α＝(α＋β)

－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α

＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·

α＋β

2

，

α＋β

2

＝

















α－

β

2

－















α

2

－β

等．

1．化简：sin200°cos140°－cos160°sin40°

＝___________________________________.

2．已知sin(α＋β)＝

2

3

，sin(α－β)＝－

1

5

，则

tanα

tanβ

的值为________．

3．函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)的单调增

区间为______________________．

4．(2011·辽宁)设sin(

π

4

＋θ)＝

1

3

，则sin2θ

等于()

A．－

7

9

B．－

1

9

C.

1

9

D.

7

9

5．若sin















π

6

－α

＝

1

3

，则cos















2π

3

＋2α

的值为

()

A.

1

3

B．－

1

3

C.

7

9

D．－

7

9

题型一三角函数式的化简求值问题

例1(1)化简：

(1＋sinθ＋cosθ)

















sin

θ

2

－cos

θ

2

2＋2cosθ

(0<θ<π)；

(2)求值：

1＋cos20°

2sin20°

－sin

10°















1

tan5°

－tan5°

.

探究提高(1)三角函数式的化简要遵循

“三看”原则，一看角，二看名，三看式

子结构与特征．

(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非

特殊角，解决这类问题的基本思路有：

①化为特殊角的三角函数值；

②化为正、负相消的项，消去求值；

③化分子、分母出现公约数进行约分求

值．

(1)化简：

















1

tan

α

2

－tan

α

2

·

















1＋tanα·tan

α

2

；

(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan

10°)]·2sin280°.

题型二三角函数的给角求值与给值求角

问题

例2(1)已知

π

2

<β<α<

3π

4

，cos(α－β)＝

12

13

，

sin(α＋β)＝－

3

5

，求sin2α；

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)

＝

1

2

，tanβ＝－

1

7

，求2α－β的值．

探究提高(1)通过求角的某种三角函数

值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数；②已知

正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若

角的范围是

















0，

π

2

，选正、余弦皆可；若

角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的

范围为

















－

π

2

，

π

2

，选正弦较好．

(2)解这类问题的一般步骤为：

①求角的某一个三角函数值；

②确定角的范围；

③根据角的范围写出所求的角．

(2011·广东)已知函数f(x)＝

2sin















1

3

x－

π

6

，x∈R.

(1)求f















5π

4

的值；

(2)设α，β∈

















0，

π

2

，f

















3α＋

π

2

＝

10

13

，f(3β

＋2π)＝

6

5

，求cos(α＋β)的值．

题型三三角变换的简单应用

例3已知f(x)＝

















1＋

1

tanx

sin2x－

2sin

















x＋

π

4

·sin

















x－

π

4

.

(1)若tanα＝2，求f(α)的值；

(2)若x∈















π

12

，

π

2

，求f(x)的取值范围．

探究提高(1)将f(x)化简是解题的关键，

本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin

2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺

平道路．

(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝

a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的

周期、单调性、最值与对称性．

(2010·天津)已知函数f(x)＝23sin

xcosx＋2cos2x－1(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；

(2)若f(x

0

)＝

6

5

，x

0

∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x

0

的

值．

6.构造辅助角逆用和角公式

解题

试题：(12分)已知函数f(x)＝2cosx·cos

















x－

π

6

－3sin2x＋sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．

审题视角(1)在f(x)的表达式中，有平方、

有乘积，而且还表现为有不同角，所以要

考虑到化同角、降幂等转化方法．(2)当f(x)

＝asinx＋bcosx的形式时，可考虑辅助

角公式．

规范解答

解(1)因为f(x)＝2cosxcos

















x－

π

6

－3

sin2x＋sinxcosx

＝3cos2x＋sinxcosx－3sin2x＋sin

xcosx[2分]

＝3cos2x＋sin2x＝2sin

















2x＋

π

3

，

所以最小正周期T＝π.[6分]

(2)由f(α)＝1，得2sin

















2α＋

π

3

＝1，

又α∈[0，π]，所以2α＋

π

3

∈















π

3

，

7π

3

，[8

分]

所以2α＋

π

3

＝

5π

6

或2α＋

π

3

＝

13π

6

，

故α＝

π

4

或α＝

11π

12

.[12分]

第一步：将f(x)化为asinx＋bcosx的形

式．

第二步：构造：f(x)＝a2＋b2(sin

x·

a

a2＋b2

＋

cosx·

b

a2＋b2

)．

第三步：和角公式逆用f(x)＝a2＋b2

sin(x＋φ)(其中

φ为辅助角)．

第四步：利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研

究三角函数的性质．

第五步：反思回顾．查看关键点、易错点

和解题规范．

批阅笔记(1)在本题的解法中，运用了二倍

角的正、余弦公式，还引入了辅助角，技

巧性较强．值得强调的是：辅助角公式

asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中

tanφ＝

b

a

)，或asinα＋bcosα＝a2＋b2

cos(α－φ)(其中tanφ＝

a

b

)，在历年高考中

使用频率是相当高的，几乎年年使用

到、考查到，应特别加以关注．

(2)本题的易错点是想不到引入辅助角或

引入错误．在定义域大于周期的区间上求

最值时，辅助角的值一般不用具体确定.

方法与技巧

1．巧用公式变形：

和差角公式变形：tanx±tany＝

tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；

倍角公式变形：降幂公式cos2α＝

1＋cos2α

2

，sin2α＝

1－cos2α

2

；

配方变形：1±sinα＝

















sin

α

2

±cos

α

2

2,1＋cos

α＝2cos2

α

2

，1－cosα＝2sin2

α

2

.

2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周

期．y＝asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋

φ)(其中tanφ＝

b

a

)有：a2＋b2≥|y|.

3．重视三角函数的“三变”：“三变”是

指“变角、变名、变式”；变角为：对

角的分拆要尽可能化成同名、同角、特

殊角；变名：尽可能减少函数名称；变

式：对式子变形一般要尽可能有理化、

整式化、降低次数等．在解决求值、化

简、证明问题时，一般是观察角度、函

数名、所求(或所证明)问题的整体形式中

的差异，再选择适当的三角公式恒等变

形．

4．已知和角函数值，求单角或和角的三角

函数值的技巧：把已知条件的和角进行

加减或二倍角后再加减，观察是不是常

数角，只要是常数角，就可以从此入手，

给这个等式两边求某一函数值，可使所

求的复杂问题简单化．

5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本

节要重视公式的推导，既要熟悉三角公

式的代数结构，更要掌握公式中角和函

数名称的特征，要体会公式间的联系，

掌握常见的公式变形，倍角公式应用是

重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍

角公式及其变形．

失误与防范

1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，

要注意和、差、倍角的相对性，要注意

升次、降次的灵活运用，要注意“1”的

各种变通．

2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝

2

2

所对应

的角α＋β不是唯一的．

3．在三角求值时，往往要估计角的范围后

再求值．

§4.5和角公式与倍角公式

(时间：60分钟)

A组专项基础训练题组

一、选择题

1．已知sinα＝

2

3

，则cos(π－2α)等于

()

A．－

5

3

B．－

1

9

C.

1

9

D.

5

3

2．(2011·福建)若α∈

















0，

π

2

，且sin2α＋cos2α

＝

1

4

，则tanα的值等于()

A.

2

2

B.

3

3

C.2D.3

3．(2011·浙江)若0<α<

π

2

，－

π

2

<β<0，cos















π

4

＋α

＝

1

3

，cos















π

4

－

β

2

＝

3

3

，则cos

















α＋

β

2

等于()

A.

3

3

B．－

3

3

C.

53

9

D．－

6

9

二、填空题

4．(2011·江苏)已知tan

















x＋

π

4

＝2，则

tanx

tan2x

的

值为________．

5．函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是

________．

6．sinα＝

3

5

，cosβ＝

3

5

，其中α，β∈

















0，

π

2

，

则α＋β＝________.

三、解答题

7．已知A、B均为钝角且sinA＝

5

5

，sinB

＝

10

10

，求A＋B的值．

8．已知函数f(x)＝cos

















2x－

π

3

＋

2sin

















x－

π

4

·sin

















x＋

π

4

，求函数f(x)在区间

















－

π

12

，

π

2

上的最大值与最小值．

B组专项能力提升题组

一、选择题

1．已知锐角α满足cos2α＝cos















π

4

－α

，则

sin2α等于()

A.

1

2

B．－

1

2

C.

2

2

D．－

2

2

2．若将函数y＝Acos

















x－

π

6

·sin

















ωx＋

π

6

(A>0，ω>0)的图象向左平移

π

6

个单位后

得到的图象关于原点对称，则ω的值可

能为()

A．2B．3

C．4D．5

3．在△ABC中，若tanA＋tanB＋3＝3

tanA·tanB，且sinAcosA＝

3

4

，则△ABC()

A．等腰三角形

B．等腰或直角三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形

二、填空题

4．化简：sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x＝

_________________________________________

__.

5.

3tan12°－3

4cos212°－2sin12°

＝________.

6．已知cos















π

4

－α

＝

12

13

，α∈

















0，

π

4

，则

cos2α

sin















π

4

＋α

＝________.

三、解答题

7．已知cosα＝

1

7

，cos(α－β)＝

13

14

，且

0<β<α<

π

2

，

(1)求tan2α的值；

(2)求β.

8．设函数f(x)＝cos

















2x＋

π

3

＋sin2x.

(1)求函数f(x)的最大值；

(2)设A，B，C为△ABC的三个内角,若

cosB＝

1

3

，f















C

2

＝－

1

4

，且C为锐角，求sinA.

答案

要点梳理

1．cosαcosβ－sinαsinβ

sinαcosβ－cosαsinβ

sinαcosβ＋cosαsinβ

2．2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－1

1－2sin2α

2tanα

1－tan2α

3．tan(α±β)(1∓tanαtanβ)1－

tanα＋tanβ

tanα＋β

tanα－tanβ

tanα－β

－1

4.a2＋b2sin(α＋φ)a2＋b2cos(α－φ)

基础自测

1.

3

2

2.

7

13

3.

















－

π

8

＋kπ，

3π

8

＋kπ

(k∈Z)

4．A5.D

题型分类·深度剖析

例1解(1)原式＝

















2sin

θ

2

cos

θ

2

＋2cos2

θ

2

















sin

θ

2

－cos

θ

2

4cos2

θ

2

＝

cos

θ

2















sin2

θ

2

－cos2

θ

2

















cos

θ

2

＝

－cos

θ

2

·cosθ

















cos

θ

2

.

因为0<θ<π，所以0<

θ

2

<

π

2

，

所以cos

θ

2

>0，所以原式＝－cosθ.

(2)原式＝

2cos210°

2×2sin10°cos10°

－

sin10°















cos5°

sin5°

－

sin5°

cos5°

＝

cos10°

2sin10°

－sin10°·

cos25°－sin25°

sin5°cos5°

＝

cos10°

2sin10°

－sin10°·

cos10°

1

2

sin10°

.

＝

cos10°

2sin10°

－2cos10°＝

cos10°－2sin20°

2sin10°

＝

cos10°－2sin30°－10°

2sin10°

＝

cos10°－2











1

2

cos10°－

3

2

sin10°

2sin10°

＝

3sin10°

2sin10°

＝

3

2

.

变式训练1(1)

2

sinα

(2)6

例2解(1)∵

π

2

<β<α<

3π

4

，∴0<α－β<

π

4

，

π<α＋β<

3π

2

，

∴sin(α－β)＝

5

13

，cos(α＋β)＝－

4

5

，

∴sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]

＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)

＝－

3

5

×

12

13

＋















－

4

5

×

5

13

＝－

56

65

.

(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]

＝

tanα－β＋tanβ

1－tanα－βtanβ

＝

1

2

－

1

7

1＋

1

2

×

1

7

＝

1

3

>0，∴0<α<

π

2

，

又∵tan2α＝

2tanα

1－tan2α

＝

2×

1

3

1－















1

3

2

＝

3

4

>0，∴0<2α<

π

2

，

∴tan(2α－β)＝

tan2α－tanβ

1＋tan2αtanβ

＝

3

4

＋

1

7

1－

3

4

×

1

7

＝1.∵tanβ＝－

1

7

<0，

∴

π

2

<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－

3π

4

.

变式训练2(1)2(2)

16

65

例3解(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋

2sin

















x＋

π

4

·cos

















x＋

π

4

＝

1－cos2x

2

＋

1

2

sin2x＋sin

















2x＋

π

2

＝

1

2

＋

1

2

(sin2x－cos2x)＋cos2x

＝

1

2

(sin2x＋cos2x)＋

1

2

.

由tanα＝2，得sin2α＝

2sinαcosα

sin2α＋cos2α

＝

2tanα

tan2α＋1

＝

4

5

.

cos2α＝

cos2α－sin2α

sin2α＋cos2α

＝

1－tan2α

1＋tan2α

＝－

3

5

.

所以，f(α)＝

1

2

(sin2α＋cos2α)＋

1

2

＝

3

5

.

(2)由(1)得f(x)＝

1

2

(sin2x＋cos2x)＋

1

2

＝

2

2

sin

















2x＋

π

4

＋

1

2

.

由x∈















π

12

，

π

2

，得

5π

12

≤2x＋

π

4

≤

5

4

π.

∴－

2

2

≤sin

















2x＋

π

4

≤1,0≤f(x)≤

2＋1

2

，

所以f(x)的取值范围是

















0，

2＋1

2

.

变式训练3(1)最小正周期为π，

最大值为2，最小值为－1

(2)

3－43

10

课时规范训练

A组

1．B2.D3.C4.

4

9

5.1－26.

π

2

7．解∵A、B均为钝角且

sinA＝

5

5

，sinB＝

10

10

，

∴cosA＝－1－sin2A＝－

2

5

＝－

25

5

，

cosB＝－1－sin2B＝－

3

10

＝－

310

10

，

∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB

＝－

25

5

×













－

310

10

－

5

5

×

10

10

＝

2

2

，

又∵

π

2

π

2

∴π

7π

4

.

8．解由题意，得

f(x)＝cos

















2x－

π

3

＋2sin

















x－

π

4

·

sin

















x＋

π

4

＝

1

2

cos2x＋

3

2

sin2x＋(sinx－

cosx)(sinx＋cosx)

＝

1

2

cos2x＋

3

2

sin2x＋sin2x－cos2x

＝

1

2

cos2x＋

3

2

sin2x－cos2x

＝sin

















2x－

π

6

，又x∈















－

π

12

，

π

2

，

所以2x－

π

6

∈















－

π

3

，

5π

6

.

又f(x)＝sin

















2x－

π

6

在区间















－

π

12

，

π

3

上单

调递增，在区间















π

3

，

π

2

上单调递减，

所以当x＝

π

3

时，f(x)取得最大值1.

又f















－

π

12

＝－

3

2















π

2

＝

1

2

，

所以当x＝－

π

12

时，f(x)取得最小值－

3

2

.

故函数f(x)在区间















－

π

12

，

π

2

上的最大值

与最小值分别为1与－

3

2

.

B组

1．A2.D3.C4.2sin

















2x＋

π

4

＋2

5．－436.

10

13

7．解(1)由cosα＝

1

7

，0<α<

π

2

，

得sinα＝1－cos2α＝1－















1

7

2＝

43

7

，

∴tanα＝

sinα

cosα

＝

43

7

×

7

1

＝43.

于是tan2α＝

2tanα

1－tan2α

＝

2×43

1－432

＝－

83

47

.

(2)由0<β<α<

π

2

，得0<α－β<

π

2

.

又∵cos(α－β)＝

13

14

，

∴sin(α－β)＝1－cos2α－β

＝1－















13

14

2＝

33

14

.

由β＝α－(α－β)，得

cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

＝

1

7

×

13

14

＋

43

7

×

33

14

＝

1

2

.∴β＝

π

3

.

8．解(1)f(x)＝cos2xcos

π

3

－sin2xsin

π

3

＋

1－cos2x

2

＝

1

2

cos2x－

3

2

sin2x＋

1

2

－

1

2

cos2x

＝

1

2

－

3

2

sin2x.

所以，当2x＝－

π

2

＋2kπ，k∈Z，

即x＝－

π

4

＋kπ(k∈Z)时，

f(x)取得最大值，f(x)

max

＝

1＋3

2

.

(2)由f















C

2

＝－

1

4

，即

1

2

－

3

2

sinC＝－

1

4

，

解得sinC＝

3

2

，又C为锐角，所以C

＝

π

3

.

由cosB＝

1

3

求得sinB＝

22

3

.

因此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)

＝sinBcosC＋cosBsinC

＝

22

3

×

1

2

＋

1

3

×

3

2

＝

22＋3

6

.