数列求和

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数列的五种求和公式

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数列求和的几种常见方法

数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查考生对数学思想

方法理解程度的良好素材，是历年高考的一大热点，在高考命题中，多以与不

等式的证明或求解相结合的形式出现，一般数列的求和，主要是将其转化为等

差数列或等比数列的求和问题，因此，我们有必要对数列求和的各种方法进行

系统探讨.

1、公式求和法

通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后，可直接利用等

差、等比数列的求和公式求和，或者利用前个正整数和的计算公式等直接求和.

运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个

数列之后，再计算.特别地，注意数列是等比数列时需要讨论和的情况.

⑴等差数列求和公式：

⑵等比数列求和公式：

另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前项和公式.正整数和公式

有：；；

例1、已知数列的前项和为，且若,求数列的前项和

分析：根据数列的项和前项和的关系入手求出再根据（)求出数列的通项公

式后，确定数列的特点，根据公式解决.

解：∵当时，当时，适合上式

，，即

∴数列是首项为4、公比为2的等比数列.

∴；

【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数

列的数列的求和，一些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差

数列或等比数列的求和问题.

变式训练1：已知，求的前项和.

变式训练2：设,求的最大值.

2、倒序相加法

如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常

数，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一

求和方法称为倒序相加法.我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识

的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前项

和公式的推导，用的就是“倒序相加法”.则

例2、已知函数求

分析：由所求的和式的特点，易想到探究：和为1的两个自变量函数值的

和是否为常数.从而确定可否用倒序相加法求和.

【解析】∵

∴设①②

∴①+②得,所以

【能力提升】倒序相加法来源于课本，是等差数列前项和公司推导时所运

用的方法，它是一种重要的求和方法.当求一个数列的有限项和时，若是“与首

末两端等距离”的两项和都相等，即可用此法.

例3、已知，则

解：∵由

∴原式

变式训练1：求的值

变式训练2：如已知函数对任意都有，

+…，（），求

变式训练3：已知，那么

3、裂项相消法

裂项相消法是将数列的各项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有

限项，从而求出数列的前项和.一般地，我们把数列的通项分成两项之差，在

求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.适用于类似（其中是各项不

为的等差数列，为常数）的数列，以及部分无理数列和含阶乘的数列等.用裂项

法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：；；；

例4、是公差为的等差数列，求

解：∵

∴

例5、数列满足，求

分析：根据给出的递推式求出数列，再根据的特点拆项解决.

解：∵由已知条件，得，是以为首项，为公比的等比数列，故

∴

∴

∴

变式训练1：在数列中，，又，求数列的前项的和.

变式训练:2：求和：

变式训练3：求和：.

4、错位相减法

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘

的形式.即若在（差比数列）中，成等差数列，成等比数列，在和式的两边同乘

以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前项和.

例6、①

②

①—②

当时，，当时，

【能力提升】错位相减法适用于数列，其中是等差数列，是等比数列.若等

比数列中公比未知，则需要对公比分两种情况进行分类讨论.

例7、已知数列是首项为公比为的等比数列，设，数列满足求数列的前项

和

分析：根据等比数列的性质可以知道数列为等差数列，这样数列就是一个

等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的数列，因而可考虑用错位相减法

来解决.

解：∵由题意知，，又，故.

∴

∴

∴

∵两式相减,得

.

变式训练1、求

变式训练2、若数列的通项，求此数列的前项和.

变式训练3、求数列前项的和.

5、（分组）拆项求和法（裂项重组法）

所谓裂项重组法就是针对一些特殊的数列，既不是等差数列，也不是等比

数列的数列，我们可以通过拆分、合并、分组，将所求和转化为等差、等比数

列求和

例8、已知数列的通项公式为求数列的前项和.

分析：该数列的通项是由一个等比数列与一个等差数列组成的，所以可将

其转化为一个等比数列与一个等差数列进行分组求和.

【解析】

==

=

【能力提升】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分

成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就可以用此方

法求和.

例9、数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：若存在自然数，

使，则.

分析：数列的构成规律是分母为2的一项，分母为3的两项，分母为4的

三项，···，故这个数列的和可以并项求解.

解：

而这样,而

故，故填

【能力提升】当一个数列连续的几项之间具有明显的规律性，特别是一些

正负相间或者是周期性的数列等，可以考虑用并项求和的方法.

变式训练1：求和：

变式训练2：求数列的前项和

变式训练3：求数列的前项和.