幂函数教案

1

【新教材】3.3幂函数（人教A版）

幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，

借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.

课程目标

1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象；

2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；

3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．

数学学科素养

1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；

2.逻辑推理：常见幂函数的性质；

3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；

4.数据分析：比较幂函数大小；

5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。

重点：常见幂函数的概念、图象和性质；

难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入

学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？

问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.

问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.

2

1

2

问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.

问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.

问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=t－1km/s，这里v是t的函数.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本89-90页，思考并完成以下问题

1.幂函数是如何定义的？

2.幂函数的解析式具有什么特点？

3.常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．幂函数

一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

2、幂函数的性质

幂函数y=xy=x2y=x3y=x

1

2

y=x-

1

定义域RRR[0,+∞)

(-∞,0)∪

(0,+∞)

值域R[0,+∞)R[0,+∞)

(-∞,0)∪

(0,+∞)

奇偶性奇函数偶函数奇函数

非奇非

偶函数

奇函数

单调性

在R上是

增函数

在[0,+∞)上是增函

数,在(-∞,0]上是减

函数

在R上是

增函数

在[0,+∞)上是增

函数

在(0,+∞)上是减函数,在

(-∞,0)上是减函数

公共点(1,1)

四、典例分析、举一反三

题型一幂函数的概念

例1函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.

【答案】m=3

【解析】根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.

当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;

当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.

2

1

3

解题技巧：（判断一个函数是否为幂函数）

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为

常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.

跟踪训练一

1.如果幂函数y=(m2-3m+3)x

m2−m−2

的图象不过原点,求实数m的取值.

【答案】m=1或m=2.

【解析】由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;

当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;

当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.

综上所述,m=1或m=2.

题型二幂函数的图象与性质

例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,

则a,b,c的大小关系为()

A.c

C.b

【答案】A

【解析】由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0

解题技巧：(幂函数图像与性质)

1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.

2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:

(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.

(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂

函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).

(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=

y=x,y=x3)来判断.2

1

4

(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是

减函数.

跟踪训练二

1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()

A.n

B.m

C.n>m>0

D.m>n>0

【答案】A

【解析】画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置

关系可知,n

题型三利用幂函数的单调性比较大小

例3比较下列各组中两个数的大小:

(1)

(

2

5

)

1

2与

(

1

3

)

1

2;

(2)

(

-

2

3

)

-1

与

(

-

3

5

)

-1

;

(3)

(

1

2

)

3

4与

(

3

4

)

1

2.

【答案】见解析

【解析】(1)∵幂函数y=x

1

2在[0,+∞)上是增函数,

5

又

2

5

>1

3

,∴

(

2

5

)

1

2>

(

1

3

)

1

2.

(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,

又-

2

3

<-

3

5

,∴

(

-

2

3

)

-1

>

(

-3

5

)

-1

.

(3)∵函数y1=

(

1

2

)

x

在定义域内为减函数,且

3

4

>1

2

,∴

(

1

2

)

1

2>

(1

2

)

3

4.

又函数y2=x

1

2在[0,+∞)上是增函数,且

3

4

>1

2

,

∴

(

3

4

)

1

2>

(1

2

)

1

2.∴

(

3

4

)

1

2>

(1

2

)

3

4.

解题技巧：（比较幂函数大小）

1.比较幂大小的三种常用方法

2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题

比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.

跟踪训练三

1.已知a=2

4

3,b=4

2

5,c=25

1

3,则()

A.b

C.b

【答案】A

【解析】∵a=2

4

3=16

1

3,b=4

2

5=16

1

5,c=25

1

3,∴a>b,a

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

6

七、作业

课本91页习题3.3

本节主要学习了一类新的函数：幂函数。主要就幂函数的形式定义、图像性质、比较大小三方面学习

幂函数.尤其比较大小与前面函数单调性密切相关，因此本节课需要学生熟记定义及图像特征.

3.3幂函数

1.幂函数概念例1例2例3

2.幂函数的图像性质