考试试题

1

《实变函数》期末考试试题汇编

目录

《实变函数》期末考试模拟试题（一）...................................................................2

《实变函数》期末考试模拟试题（二）...................................................................7

《实变函数》期末考试模拟试题（三）.................................................................13

《实变函数》期末考试模拟试题（四）.................................................................18

《实变函数》期末考试模拟试题（五）.................................................................27

《实变函数》期末考试模拟试题（六）.................................................................30

《实变函数》期末考试模拟试题（七）.................................................................32

《实变函数》期末考试模拟试题（八）.................................................................36

《实变函数》期末考试模拟试题（九）.................................................................41

《实变函数》期末考试模拟试题（十）.................................................................47

《实变函数》期末考试题（一）.............................................................................57

《实变函数》期末考试题（二）.............................................................................63

2

《实变函数》期末考试模拟试题（一）

（含解答）

一、选择题（单选题）

1、下列集合关系成立的是（A）

（A）()ABBAB（B）()ABBA

（C）()BAAA（D）()BAA

2、若nER

是开集，则（B）

（A）

EE





（B）

E

的内部

E

（C）EE（D）

EE





3、设

P

是康托集，则（C）

（A）

P

是可数集（B）

P

是开集（C）

0mP

（D）

1mP

4、设

E

是1R

中的可测集，()x是

E

上的简单函数，则（D）

（A）()x是

E

上的连续函数（B）()x是

E

上的单调函数

（C）()x在

E

上一定不

L

可积（D）()x是

E

上的可测函数

5、设

E

是nR

中的可测集，()fx为

E

上的可测函数，若()d0

E

fxx，则（A）

（A）在

E

上，()fz不一定恒为零（B）在

E

上，()0fz

（C）在

E

上，()0fz（D）在

E

上，()0fz

二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）

1、设

E

是[0,1]中的无理点全体，则（C、D）

（A）

E

是可数集（B）

E

是闭集

（C）

E

中的每一点都是聚点（D）

0mE

2、若1ER

至少有一个内点，则（B、D）

（A）*mE可以等于零（B）*0mE

（C）

E

可能是可数集（D）

E

是不可数集

3、设[,]Eab是可测集，则

E

的特征函数()

E

Xx是（A、B、C）

（A）[,]ab上的简单函数（B）[,]ab上的可测函数

（C）

E

上的连续函数（D）[,]ab上的连续函数

4、设()fx在可测集

E

上

L

可积，则（B、D）

3

（A）()fz和()fz有且仅有一个在

E

上

L

可积

（B）()fz和()fz都在

E

上

L

可积

（C）()fz在

E

上不一定

L

可积

（D）()fz在

E

上一定

L

可积

5、设()fz是[,]ab的单调函数，则（A、C、D）

（A）()fz是[,]ab的有界变差函数（B）()fz是[,]ab的绝对连续函数

（C）()fz在[,]ab上几乎处处连续（D）()fz在[,]ab上几乎处处可导

三、填空题（将正确的答案填在横线上）

1、设

X

为全集，

A

，

B

为

X

的两个子集，则

ABCAB

。

2、设nER

，如果

E

满足

EE





，则

E

是闭集。

3、若开区间(,)是直线上开集

G

的一个构成区间，则(,)满足(,)G、

,GG。

4、设

A

是无限集，则

A

的基数Aa（其中a表示可数基数）。

5、设

1

E，

2

E为可测集，

2

mE，则

12

()mEE

12

mEmE。

6、设()fx是定义在可测集

E

上的实函数，若对任意实数a，都有[()]Exfxa

是可测集，则称()fx是可测集

E

上的可测函数。

7、设

0

x是1ER

的内点，则*mE0

。

8、设函数列{()}

n

fx为可测集

E

上的可测函数列，且()()()

n

fxfxxE，则由黎斯定

理可得，存在{()}

n

fx的子列{()}

k

n

fx，使得()

k

n

fx..ae

()()fxxE。

9、设()fx是

E

上的可测函数，则()fx在

E

上的

L

积分不一定存在，且()fx在

E

上不

一定

L

可积。

10、若()fx是[,]ab上的绝对连续函数，则()fx一定是[,]ab上的有界变差函数。

四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）

1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。（×）

2、任何无限集均含有一个可数子集。（√）

4

3、设

E

是可测集，则一定存在G



型集

G

，使得

EG

，且()0mGE。（√）

4、设

E

是零测集，()fz是

E

上的实函数，则()fx不一定是

E

上的可测函数。（×）

5、设()fz是可测集

E

上的非负可测函数，则()fx必在

E

上

L

可积。（×）

五、简答题

1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？

答：不一定为开集。例如取1R

上一列开集为

11

(1,1)

nn

，1,2,3,n

而

1

11

(1,1)[1,1]

nnn





是闭集，不是开集。

2、可测集

E

上的可测函数与简单函数有何关系？

答：①简单函数是可测函数；

②可测函数不一定是简单函数；

③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。

3、[,]ab上的有界变差函数与单调函数有何关系？

答：①单调函数是有界变差函数；

②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。

六、计算题

1、设

1[0,1]

()

0[0,1]

xQ

Dx

xQ













，其中Q是有理数集，求

[0,1]

()dDxx。

解：因为{[0,1]}0mQ，所以()0..Dxae于[0,1]，于是

[0,1][0,1]

()00Dxdxdx

2、求

0

ln()

limcosdx

n

xn

exx

n









。

解：因为

ln()ln(11)1)

cos(1)xxxx

xnxnxn

exeexe

nnn







而

0

(1)xxedx





所以，由

L

控制收敛定理

000

ln()ln()

limcosdlimcosd0d0xx

nn

xnxn

exxexxx

nn











七、证明题

1、证明集合等式：()()()ABCACBC

5

证明：（方法1）对任意()xABC，有()xAB且

xC

，即

xA

或

xB

且

xC

所以

xAC

或

xBC

，即()()xACBC。

反之，对任意()()xACBC，有

xAC

或

xBC

，即

xA

或

xB

且

xC

，

所以()xAB且

xC

，即()xABC，

综上所述，()()()ABCACBC。

（方法2）()()()()()()cccABCABCACBCACBC。

2、设

0

E是[0,1]中的有理点全体，则

0

E是可测集且

0

0mE。

证明：因为

0

E是可数集，则

012

{,,,,}

n

Errr

对任意

0

，取开区间

11

(,)

22nn

nn

rr





，1,2,n，显然它们把

0

E覆盖住。

于是*

0

12n

n

mE







。让

0

得，*

0

0mE，从而

0

E是可测集且

0

0mE。

3、证明：1R

上的实值连续函数()fx必为1R

上的可测函数。

证明：因为对于任意实数a，由连续函数的局部保号性易知，1[()]Rxfxa是开集，从而

1[()]Rxfxa是可测集。所以()fx必为1R

上的可测函数。

4、设()fx是可测集1ER

上的

L

可积函数，{}

n

E为

E

的一列可测子集，

mE

，如

果

lim

n

n

mEmE





，则lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx



。

证明：因为

mE

且

n

EE，所以()

nnn

mEmEEmEmE

从而由题设

lim()lim

nn

nn

mEEmEmEmEmE





又()fx在1ER

上的

L

可积，且

()

()d()d()d()d

nnnn

EEEEEE

fxxfxxfxxfxx





()d()d()d()d

nnnn

EEEEEE

fxxfxxfxxfxx

所以由积分的绝对连续性得

lim(()d()d)lim()d0

nn

nn

EEEE

fxxfxxfxx





6

即lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx



。

5、设()fx是可测集1ER上的

L

可积函数，{}

n

E为

E

中的一列递增可测子集，

1

lim()d()d

n

n

n

n

E

E

fxxfxx







。

证明：记

()()()

n

nE

fxfxx，其中

1,

()

0,n

n

E

n

xE

x

xE















显然在

1

n

n

E



上，()()()()

n

nE

fxfxxfx，()()

n

fxfx且

1

()()

n

n

n

n

E

E

fxdxfxdx







于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。

7

《实变函数》期末考试模拟试题（二）

（含解答）

一、选择题（单选题）

1、下列集合关系成立的是（A）

（A）()()()ABCABAC（B）()ABA

（C）()BAA（D）()BAA

2、若nER

是闭集，则（B）

（A）

E

的内部

E

（B）EE（C）

EE





（D）

EE





3、设Q是有理数集，则（C）

（A）0mQ（B）Q是闭集（C）0mQ（D）Q是不可数集

4、设()fx为1R

上的连续函数，a为任意实数，则（D）

（A）1[()]Rxfxa是开集（B）1[()]Rxfxa是开集

（C）1[()]Rxfxa是闭集（D）1[()]Rxfxa是开集

5、设

E

是nR

中的可测集，()fx，()gx都是

E

上的可测函数，若

()()d0

E

fxgxx，

则（A）

（A）()()..fzgxae于

E

（B）在

E

上，()()fzgx

（C）在

E

上，()()fzgx（D）在

E

上，()()fzgx

二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）

1、设

E

是[0,1]中的有理点全体，则（C、D）

（A）

E

是闭集（B）

E

中的每一点都是内点

（C）

E

是可数集（D）

0mE

2、若1ER

的外测度为零，则（B、D）

（A）

E

一定是可数集（B）

E

一定是可测集

（C）

E

不一定是可数集（D）

0mE

3、设()nmEER，函数列{()}

n

fx为

E

上几乎处处有限的可测函数列，()fx为

E

上几乎处处有限的可测函数，若()()()

n

fxfxxE，则下列哪些结论不一定成立（A、

8

B、C、D）

（A）()d

E

fxx存在（B）()fx在

E

上

L

可积

（C）

..()()()ae

n

fxfxxE（D）lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx





4、若()fx在可测集

E

上有

L

积分值，则（A、C）

（A）()fz和()fz中至少有一个在

E

上

L

可积

（B）()fz和()fz都在

E

上

L

可积

（C）()fz在

E

上也有

L

积分值

（D）()fz在

E

上一定

L

可积

5、设()fz是[,]ab的绝对连续函数，则（A、B、C）

（A）()fz是[,]ab上的连续函数（B）()fz是[,]ab上的一致连续函数

（C）()fz是[,]ab上的有界变差函数（D）()fz在[,]ab上处处可导

三、填空题（将正确的答案填在横线上）

1、设

A

，

B

是两个集合，则

AB()BAA

2、设nER

，如果

E

满足

intEE

，则

E

是开集。

3、设

G

为直线上的开集，若开区间(,)满足(,)G和,GG，则(,)

必为

G

的构成区间。

4、设

A

是偶数集，则则

A

的基数A

a（其中a表示可数基数）。

5、设

1

E，

2

E为可数集，

21

EE且

2

mE，则

12

()mEE

12

mEmE。

6、设()fx是可测集

E

上的可测函数，则对任意实数a，

b

（

ab

），都有[()]Exafxb

是可测集。

7、若1ER

是可数集，则*mE0

。

8、设函数列{()}

n

fx为可测集

E

上的可测函数列，()fx是

E

上的可测函数，如果

..()()()ae

n

fxfxxE，则()()()

n

fxfxxE不一定成立。

9、设()fx是

E

上的非负可测函数，则()fx在

E

上的

L

积分的值一定存在。

10、若()fx是[,]ab上的有界变差函数，则()fx必可表示成两个递增函数的差（或递减

9

函数的差）。

四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）

1、可列（数）个开集的交集仍为开集。（×）

2、任何无限集均都是可数集。（×）

3、设

E

是可测集，则一定存在F



型集

F

，使得

FE

，且()0mEF。（√）

4、设

E

是可测集，则()fz是

E

上的可测函数对任意实数a，都有[()]Exfxa是可

测集。（√）

5、设()fz是可测集

E

上的可测函数，则()d

E

fxx一定存在。（×）

五、简答题

1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？

答：不一定为闭集。例如取1R

上一列闭集为

11

[1,1]

nn

，1,2,3,n

而

1

11

[1,1](1,1)

nnn





是开集，不是闭集。

2、可测集

E

上的可测函数与连续函数有何关系？

答：①连续函数是可测函数；

②可测函数不一定连续；

③可测函数在

E

上是“基本上”连续的。

3、[,]ab上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？

答：①绝对连续函数是有界变差函数；

②有界变差函数不一定是绝对连续函数。

六、计算题

1、设

2

3

()

[0,1]

xxP

fx

xxP













，其中

P

是康托集，求

[0,1]

()dfxx。

解：因为

0mP

，所以3()..fxxae于[0,1]，于是

3

[0,1][0,1]

()ddfxxxx

再由

L

积分与

R

积分的关系得

1

3341

0

[0,1][0,1]0

11

()ddd

44

fxxxxxxx。

2、设

22

()

1n

nx

fx

nx





，[0,1]E，求lim()d

n

n

E

fxx



。

解：因为

22

1

()

12n

nx

fx

nx





，而

11

22

E

dx

所以，由

L

控制收敛定理

10

lim()dlim()d0d0

nn

nn

EEE

fxxfxxx





七、证明题

1、证明集合等式：()()()ABCABAC

证明：（方法1）对任意()xABC，有

xA

且

xBC

，即

xA

且

xB

，

xC

所以

xAB

且

xAC

，即()()xABAC。

反之，对任意()()xABAC，有

xAB

且

xAC

，即

xA

且

xB

，

xC

，

所以

xA

且

xBC

，即()xABC，

综上所述，()()()ABCABAC。

（方法2）

()()()()()()cccccABCABCABCABACABAC。

2、设1ER

，且*0mE，则

E

是可测集。

证明：对任意1TR

，显然***()()cmTmTEmTE

又**()0mTEmE（因为

TEE

），从而*()0mTE

所以****()()()ccmTEmTEmTEmT（因为cTET

）

所以***()()cmTmTEmTE，即

E

是可测集。

3、证明：1R

上的单调函数()fx必为1R

上的可测函数。

证明：不妨设()fx是单调递增函数，对于任意实数a，记1

0

inf[()]Rxfxa，由于

()fx是单调递增函数，

1

00

1

1

00

(,)[()]

[()]

[,)[()]

Rxfxa

Rxfxa

Rxfxa



















，显然是可

测集。所以()fx必为1R

上的可测函数。

4、设()fx是可测集nER

上的可测函数，则()fx在

E

上

L

可积()fx在

E

上

L

可

积。

证明：必要性：因为()fx在

E

上

L

可积，则()d

E

fxx和()d

E

fxx

而()()()fxfxfx，所以

11

()d()d()d

EEE

fxxfxxfxx，

即()fx在

E

上

L

可积。

充分性：因为()d

E

fxx，且0()()fxfx，0()()fxfx

则()d()d

EE

fxxfxx，()d()d

EE

fxxfxx。

所以()fx在

E

上

L

可积。

5、设{()

n

fx}可测集

E

上的非负可测函数列，且

1

()()

nn

fxfx



（

1n

），存在

0

k使得

0

()d

k

E

fxx，

记

lim()()

n

n

fxfx





，则()fx在

E

上勒贝格可积，且

lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx



。

证明：不妨设

1

()

E

fxdx，由题设注意到()

n

fx单调递减可得

1

()()0

n

fxfx，

且在

E

上恒有

lim()()

n

n

fxfx





，

于是，由勒贝格控制收敛定理得，()fx在

E

上勒贝格可积，且

lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx



。

6、设

mE

，()

n

fx为

E

上几乎处处有界的可测函数列，证明：在

E

上0

n

fx

的充要条件是

()

limd0

1()

n

n

n

E

fx

x

fx





。

证明：先证

()

()00

1()

n

n

n

fx

fx

fx





。

事实上，由对任意

0

，

()

()

1()1

n

n

n

fx

fx

fx











再结合依测度收敛的定义即可

得上面的结论。

下面证明本题的结论。

必要性：因()0

n

fx可得

()

0

1()

n

n

fx

fx





，于是

0

，

0N

，当

nN

时，有

12

()

[]

1()

n

n

fx

mEx

fx





因此，当

nN

时，并注意到

()

1

1()

n

n

fx

fx





和

()

[]

1()

n

n

fx

mExmE

fx





可得

()()

[][]

1()1()

()()()

ddd

1()1()1()

nn

nn

nnn

nnn

E

fxfx

ExEx

fxfx

fxfxfx

xxx

fxfxfx











()()

[]1[](1)

1()1()

nn

nn

fxfx

mExmExmE

fxfx





所以

()

lim0

1()

n

n

n

E

fx

dx

fx





。

充分性：对任意

0

，由

()

[]

1()

()()()

[]dd0()

1()1()1()

n

n

nnn

nnn

E

fx

Ex

fx

fxfxfx

mExxxn

fxfxfx















可得

()

0

1()

n

n

fx

fx





，从而()0

n

fx。

13

《实变函数》期末考试模拟试题（三）

（含解答）

一、选择题（单选题）

1、下列集合关系成立的是（A）

（A）()AABAB（B）()AABAB

（C）()BAAAB（D）()BAA

2、若nER

是孤立点集，则（B）

（A）

EE





（B）

E





（C）

E

的内部



（D）

EE





3、设

W

是[0,1]上的无理数集，则（C）

（A）

W

是可数集（B）

W

是开集（C）

W

是不可数集（D）

0mW

4、设()fx是1R

上的单调函数，则（D）

（A）()fx在1R

上连续（B）()fx在1R

中的不连续点有不可数个

（C）()fx在1R

上一定不

L

可积（D）()fx是1R

上的可测函数

5、设

E

是nR

中的可测集，()fx为

E

上的可测函数，若2()d0

E

fxx，则（A）

（A），()fz在

E

上几乎处处为零（B）在

E

上，()0fz

（C）在

E

上，()0fz（D）[()0]0mExfx

二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）

1、设

E

是[0,1]上康托集，则（B、C）

（A）

E

是可数集（B）

E

是闭集

（C）

E

中的每一点都是聚点（D）

0mE

2、若1ER

至少有一个聚点，则（C、D）

（A）*0mE（B）*0mE

（C）

E

可能是可数集（D）

E

可能是不可数集

3、设[,]Eab是不可测集，则

E

的特征函数()

E

Xx是（C、D）

（A）[,]ab上的简单函数（B）[,]ab上的可测函数

（C）

E

上的连续函数（D）[,]ab上的不可测函数

4、设()fx在可测集

E

上不

L

可积，则（B、D）

14

（A）()fz和()fz都在

E

上不

L

可积

（B）()fz和()fz至少有一个在

E

上不

L

可积

（C）()fz在

E

上可能

L

可积

（D）()fz在

E

上一定不

L

可积

5、设()fz是[,]ab的有界变差函数，则（A、D）

（A）()fz在[,]ab上几乎处处连续（B）()fz是[,]ab的连续函数

（C）()fz在[,]ab上不可导（D）()fz在[,]ab上几乎处处可导

三、填空题（将正确的答案填在横线上）

1、设

X

为全集，

A

，

B

为

X

的两个子集，则

AB()AAB

2、设nER

，如果

E

满足

EE





，则

E

是完全集。

3、若开区间(,)ab和(,)cd是直线上开集

G

的两个不同的构成区间，则

(,)(,)abcd。

4、设

A

是无限集，

B

是至多可数集，则

AB

的基数ABA。

5、设

1

E，

2

E为可测集，

2

0mE，则

12

()mEE

1

mE。

6、设()fx是定义在可测集

E

上的有限实函数，若对任意实数

ab

，都有

[()]Exafxb是可测集，则()fx是可测集

E

上的可测函数。

7、设1ER

是孤立点集，则*mE0

。

8、设函数列{()}

n

fx为可测集

E

上的可测函数列，且()()()

n

fxfxxE，则

()

n

fx..ae

()()fxxE不一定成立。

9、设()fx是

E

上的可测函数，则()fx在

E

上的

L

可积的充要条件是()fx在

E

上

勒贝格可积。

10、若()fx是[,]ab上的有界变差函数或绝对连续函数，则()fx[,]ab上的导数

几乎处处存在。

四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）

15

1、可列（数）个F



型集的并集仍为F



型集。（√）

2、无限集中一定存在具有最大基数的无限集。（×）

3、设

E

是可测集，则一定存在开集G，使得EG，且()0mGE。（×）

4、设

1

E和

2

E都是可测集，()fz是

1

E和

2

E上的可测函数，则()fx不一定是

12

EE上的

可测函数。（×）

5、设()fz是可测集

E

上的可测函数，且()d

E

fxx存在（可为），则()fx和()fx至

少有在

E

上

L

可积。（√）

五、简答题

1、简述无穷多个零测集的并集是否必为零测集？

答：不一定为零测集。例如

1

1{}

xR

Rx



，显然{}x为单元素集，为零测集，1R

不是零测

集。

2、1R上的可测集与Borel集的关系？

答：①Borel集是可测集；

②可测集不一定是Borel集；

③可测集一定可以表示成一个Borel集与零测集的差或并。

3、可测集1ER

上的可测函数与连续函数有何关系？

答：①可测集

E

上的连续函数一定是可测函数；

②可测集

E

上的可测函数不一定是连续函数；

③对

E

上的一个可测函数，任取

0

，在可测集

E

中去掉一个测度小于的可测子集

后，可使此可测函数成为连续函数。

六、计算题

1、设

sin[0,1]

()

[0,1]

xexQ

fx

xxQ













，其中Q是有理数集，求

[0,1]

()dfxx。

解：因为{[0,1]}0mQ，所以()..fxxae于[0,1]，于是

[0,1][0,1]

1

()dd

2

fxxxx

2、设

1

2

22

()

1n

nx

fx

nx





，(0,1]E，求lim()

n

n

E

fxdx



。

解：因为

1

2

11

2222

22

11

()

11

2

n

nxnx

fx

nxnx

xx





，而

1

2

1

1

2E

dx

x



所以，由

L

控制收敛定理

16

lim()lim()00

nn

nn

EEE

fxdxfxdxdx





七、证明题

1、证明集合等式：()()ABCACB

证明：（方法1）对任意()xABC，有()xAB且

xC

，即

xA

，

xB

且

xC

所以

xAC

或

xB

，即()xACB。

反之，对任意()xACB，有

xAC

且

xB

，即

xA

，

xC

且

xB

，所以

()xAB且xC，即()xABC，

综上所述，()()ABCACB。

（方法2）()()()()()CCCABCABCACBACBACB。

2、设

0

E是[0,1]中的无理点全体，则

0

E是可测集且

0

1mE。

证明：记

0

Q是[0,1]中的有理点全体，由于

0

Q是可数集，从而

0

Q可测，且

0

0mQ。又

00

[0,1]EQ，所以，

0

E是可测集且

00

[0,1]100mEmmQ。

3、设1ER

，

1,

()

0,E

xE

x

xE















，证明：()

E

x是1R

上的可测函数的充要条件是

E

为可

测集。

证明：充分性：因为()

E

x是1R

上的可测函数，则对任意实数a，1[()]

E

Rxxa

是可测集，特别取

1

2

a，注意到1

1

[()]

2E

RxxE，可得

E

为可测集。

必要性：若

E

为可测集，则()

E

x是1R

上的简单函数，从而为1R

上的可测函数。

4、设()

n

fx为可测集1ER上的可测函数列，若lim|()|0

n

E

n

fxdx



，则在

E

上

0

n

fx。

证明：对任意

0

，由于

[()]

[()]()()

n

nnn

E

Exfx

mExfxfxdxfxdx









所以

17

lim[()]0

n

n

mExfx



，

即在

E

上0

n

fx。

5、设

mE

，若()

n

fx是

E

上一列几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意

0

，存在

0

，只要,eEme，就有|()|(1)

n

e

fxdxn，证明：

lim|()|0

n

E

n

fxdx



。

证明：由题设及Egoroff定理得，对题设中的

0

，存在可测集

FE

，

mF

，在

EF

上()

n

fx一致收敛于0，从而对题设中的

0

，存在

0N

，当

nN

时

|()|,()

n

fxxEF

于是，当

nN

时，并注意到题设的条件，有

|()||()||()|()(1)

nnn

EFEF

fxdxfxdxfxdxmEFmE。

即lim|()|0

n

E

n

fxdx



。

18

《实变函数》期末考试模拟试题（四）

（含解答）

一、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）

1、设

E

是[0,1]中的有理点全体，则（C、D）[考核对典型集合掌握的情况]

（A）

E

是闭集（B）

E

中的每一点都是内点

（C）

E

是可数集（D）

0mE

2、设

E

是[0,1]中的无理点全体，则（C、D）

（A）

E

是可数集（B）

E

是闭集（C）

E

中的每一点都是聚点（D）

0mE

3、若1ER

的外测度为零，则（B、D）[考核零测集的特点]

（A）

E

一定是可数集（B）

E

一定是可测集

（C）

E

不一定是可数集（D）

0mE

4、若1ER

至少有一个内点，则（B、D）[考核典型集的外测度可数性的特点]

（A）*mE可以等于零（B）*0mE（C）

E

可能是可数集（D）

E

是不可

数集

5、设()nmEER，函数列{()}

n

fx为

E

上几乎处处有限的可测函数列，()fx为

E

上几乎处处有限的可测函数，若()()()

n

fxfxxE，则下列哪些结论不一定成立（A、

B、C、D）

[考核可测函数与勒贝格积分的简单综合]

（A）()d

E

fxx存在（B）()fx在

E

上

L

可积

（C）

..()()()ae

n

fxfxxE（D）lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx





6、设[,]Eab是可测集，则

E

的特征函数()

E

Xx是（A、B、C）[考核特征函数的特

点]

（A）[,]ab上的简单函数（B）[,]ab上的可测函数（C）

E

上的连续函数（D）[,]ab上

的连续函数

7、若()fx在可测集

E

上有

L

积分值，则（A、C）[考核勒贝格积分的定义]

（A）()fz和()fz中至少有一个在

E

上

L

可积（B）()fz和()fz都在

E

上

L

可积

（C）()fz在

E

上也有

L

积分值（D）()fz在

E

上一定

L

可积

8、设()fx在可测集

E

上

L

可积，则（B、D）[考核勒贝格积分的定义]

（A）()fz和()fz有且仅有一个在

E

上

L

可积（B）()fz和()fz都在

E

上

L

可

19

积

（C）()fz在

E

上不一定

L

可积（D）()fz在

E

上一定

L

可积

9、设()fz是[,]ab的绝对连续函数，则（A、B、C）[考核绝对连续函数、有界变差函数

的基本性质]

（A）()fz是[,]ab上的连续函数（B）()fz是[,]ab上的一致连续函数

（C）()fz是[,]ab上的有界变差函数（D）()fz在[,]ab上处处可导

10、设()fz是[,]ab的单调函数，则（A、C、D）[考核绝对连续函数、有界变差函数的

基本性质]

（A）()fz是[,]ab的有界变差函数（B）()fz是[,]ab的绝对连续函数

（C）()fz在[,]ab上几乎处处连续（D）()fz在[,]ab上几乎处处可导

二、单项选择题（每题仅有一个正确答案）

1．设

E

是[0,1]中的无理点全体，则

E

是（Ｃ）.[考核对典型集合掌握的情况]

（Ａ）可数集（Ｂ）有限集（Ｃ）不可数集（Ｄ）零测集

2．下面集合关系成立的是（Ａ）.[考核对集合的基本运算掌握的情况]

（Ａ）()ABBAB（Ｂ）()ABBA（Ｃ）()BAAA（Ｄ）

BAA

3．若2ER

至少有一个内点，则有（Ｂ）.[考核对典型集合外测度掌握的情况]

（Ａ）*0mE（Ｂ）*0mE（Ｃ）

0mE

（Ｄ）

0mE

4．设2ER

是开集，则（Ｂ）.[考核开集闭集的基本特征]

（Ａ）

EE





（Ｂ）0EE（Ｃ）EE（Ｄ）

EE





5．设[,]Eab是可测集，则

E

的特征函数()

E

Xx是[,]ab上的（Ａ）.[考核对集合的特征

函数的认识]

（Ａ）简单函数（Ｂ）常函数（Ｃ）连续函数（Ｄ）单调函数

6．设[0,1]Q是有理数集，

1,

()

0,

xQ

Dx

xQ













,则()Dx是[0,1]上的（Ｃ）.[考核目标同上

题]

（Ａ）连续函数（Ｂ）单调函数（Ｃ）简单函数（Ｄ）定积分存在的函数

7．设()fx在可测集

E

上勒贝格可积，则（Ｂ）.[考核勒贝格积分的定义]

（Ａ）()fx和()fx有且仅有一个在

E

上勒贝格可积；（Ｂ）()fx和()fx都在

E

上勒

贝格可积

（Ｃ）()fx和()fx都在

E

上不勒贝格可积；（Ｄ）()()()fxfxfx在

E

上不勒

20

贝格可积

8．设W是[0,1]上的无理数集，c表示连续基数，则（Ｄ）.[考核对典型集合基数和测度掌

握的情况]

（Ａ）Wc（Ｂ）Wc（Ｃ）

0mW

（Ｄ）

1mW

9．设()fx是[,]ab上的单调函数，则()fx是[,]ab上的（Ｄ）.[考核基本的有界变差函数

和绝对连续函数]

（Ａ）连续函数（Ｂ）绝对连续函数（Ｃ）可导函数（Ｄ）有界变差函数

10．设()fx在[,]ab上绝对连续，则()fx在[,]ab上（Ａ）.[考核绝对连续函数的关系的基

本性质]

（Ａ）有界变差（Ｂ）可导（Ｃ）单调（Ｄ）连续可微

三、填空题

1．设

A

，

B

为

X

的两个子集，则

AB

等于CAB

．[考核集合之间的基本关系]

2．设

A

，

B

为两个集合，则

AB

等于()BAA．[考核目标同上]

3．设nER

，如果

E

满足

EE





，则

E

是闭集．[考核开集、闭集的定义]

4．设nER

，如果

E

中的每一点都是内点，则

E

是开集．[考核开集、闭集的定

义]

5．若开区间(,)是直线上开集

G

的一个构成区间，则(,)满足(,)G且

,G．[考核开集的构成区间的定义和特点]

6．设

E

是1R上的开集,若开区间(,)ab满足(,)abE且,abE,则称(,)ab是开集

E

的

构成区间．[考核开集的构成区间的定义和特点]

7．设

A

是无限集，则

A

的基数A大于或等于a（其中a表示可数基数）．[考核可数

集的性质]

8．设

A

是偶数集，则

A

的基数A等于a（其中a表示可数基数）．[考核可数集的性

质]

9．设

1

E，

2

E为可测集，

2

mE，则

12

()mEE大于或等于

12

mEmE．[考核测

度的性质，单调性和次可加性]

10．设

A

，

B

为可测集，则()mAB小于或等于

mAmB

．[考核测度的性质，次可加

性]

11．设()fx是定义在可测集

E

上的实函数，若对任意实数a，都有[()]Exfxa是可测

集，则称()fx是可测集

E

上的可测函数.[考核可测函数的定义]

21

12．设()fx是可测集

E

上的可测函数，则对任意实数a，b(

ab

)，有[()]Exafxb

是

可测集.[考核可测函数的基本性质]

13．设1ER是可数集，则*mE等于0.[考核典型集合的测度和外测度]

14．设[0,1]P是康托集，则mP等于0.[考核典型集合的测度和外测度]

15．设函数列{()}

n

fx为可测集

E

上的可测函数列，且()

n

fx在E上依测度收敛于()fx，

则存在{()}

n

fx的子列{()}

k

n

fx，使得()

k

n

fx在

E

上几乎处处收敛于()fx.[考核函数列

收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的黎斯定理]

16．设

mE

,{()}

n

fx是

E

上的可测函数列，()fx是E上的实函数,若()

n

fx在

E

上几

乎处处收敛于()fx，则()

n

fx在

E

上依测度收敛于()fx.[考核函数列收敛与依测度收

敛的关系的记忆，本题是其中的勒贝格定理]

17．设()fx在[,]ab上黎曼可积，则()fx在[,]ab上勒贝格可积，且它们的积分值相

等．[考核黎曼积分与勒贝格积分的关系]

18．设()fx,()gx都在[,]ab上勒贝格可积，且几乎处处相等,则它们在[,]ab上勒贝格积分

值相等．[考核勒贝格积分的基本性质]

19．若()fx是[,]ab上的绝对连续函数，则()fx是[,]ab上的有界变差函数．[考核有

界变差函数和绝对连续函数的关系]

20．若()fx是[,]ab上的有界变差函数，则()fx可以表示成两个单调函数的和或差．[考

核有界变差函数和单调函数的关系，即约当分解定理]

四、判断说明题（注意这类题不仅要求判断对还是不对，而且还要简单的说明理由）

1．无限个闭集的并集仍为闭集．[考核开集、闭集的性质]

答：不对，因为闭集只对有限的并集运算封闭。

2．无限个开集的交集仍为开集．[考核开集、闭集的性质]

答：不对，因为开集只对有限的交集运算封闭。

3．无限集均含有一个可数子集．[考核可数集的性质]

答：对，因为这是可数集与无限集的关系。

4．无限集都是可数集．[考核无限集的分类]

答：不对，因为无限集还包括不可数集。

5．设

E

是可测集，则一定存在G



型集

G

，使得

EG

，且()0mGE．[考核可测集

22

与G



型集或F



型集的关系]

答：对，因为这是可测集与G



型集的关系。

6．设

E

是可测集，则一定存在F



型集

F

，使得

FE

，且()0mEF．[考核可测集

与G



型集或F



型集的关系]

答：对，因为这是可数集与F



型集的关系。

7．设

E

是测度为零的集，()fz是

E

上的实函数，则()fx不一定是

E

上的可测函数．[考

核可测函数的基本性质]

答：不对，因为零测集上的任何实函数都是可测函数。

8．设

E

是可测集，()fz是

E

上几乎处处为零的实函数，则()fx在

E

上可测．[考核可测

函数的基本性质]

答：对，因为常函数0是可测函数，由可测函数的性质可得()fx在

E

上可测。

9．设()fz是可测集

E

上的非负可测函数，则()fx必在

E

上勒贝格可积．[考核勒贝格积

分的定义]

答：不对，因为可测集

E

上的非负可测函数只能保证有勒贝格积分，不一定能保证勒贝格

可积。

10．设()fz是可测集

E

上的可测函数，则

()d

E

fxx一定存在．[考核勒贝格积分的定义]

答：不对，因为可测集

E

上的可测函数，不一定能定义勒贝格积分，因此不一定能保证

()d

E

fxx存在。

五、简答题（此类题关键是要把要点答出来）

1．简述无穷多个开集的交集是否必为开集？[考核开集、闭集的运算性质]

要点：首先，回答结论：不一定为开集

其次，举出交集为开集的例子和交集不是开集的例子。

2．简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？[考核开集、闭集的运算性质]

要点：首先，回答结论：不一定为闭集

其次，举出并集为闭集的例子和并集不是闭集的例子。

3．可测集

E

上的可测函数与简单函数有何关系？[考核可测函数与简单函数的关系]

要点：1、简单函数是可测函数；2、可测函数不一定是简单函数；3、可测函数一定可表示

成一列简单函数的极限。

4．可测集

E

上的可测函数与连续函数有何关系？[考核可测函数与简单函数的关系]

要点：1、连续函数是可测函数；2、可测函数不一定是连续函数；3、对任意

0

，在

E

中

去掉一个测度小于的可测集后，可测函数能成为连续函数（鲁津定理）。

5．[,]ab上的有界变差函数与单调函数有何关系？[考核单调函数与有界变差函数的关系]

23

要点：1、单调函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是单调函数；3、有界变差函

数能分解成两个单调函数的和或差。

6．[,]ab上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？[考核有界变差函数与绝对连续函数

的关系]

要点：1、绝对连续函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是绝对连续函数。

六、计算题（注意这类题要写出主要步骤）

1．设

2[0,1]

()

0[0,1]

xW

fx

xW













，其中

W

是有理数集，求

[0,1]

()dfxx．[考核简单的

勒贝格积分的计算]

解：因[0,1]W是至多可数集，([0,1])0mW，得()0fx在[0,1]上几乎处处成立。

所以由勒贝格积分的惟一性，

[0,1][0,1]

()d0d0fxxx。

2．设

2

2

sin

()

[0,1]

xxC

fx

xxC













，其中

C

是康托集，求

[0,1]

()dfxx．[考核简单的勒贝

格积分的计算]

解：由康托集为零测集，即

0mC

，得2()fxx在[0,1]上几乎处处成立。所以

231

0

[0,1][0,1]

11

()dd

33

fxxxxx。

注意：上面两题是简单积分的计算，注意利用积分的惟一性。

3．求

0

ln()

limdx

n

xn

ex

n









．[考核勒贝格控制收敛定理的简单应用]

解：因为

ln()

lim0x

n

xn

e

n







，且

ln()ln()ln(11)1

(1)xxxxx

xnxnxnxn

eeeexe

nnnn







而(1)xxe在[0,)勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理

000

ln()ln()

limdlimd0d0xx

nn

xnxn

exexx

nn









。

4．设

22

()sin

1n

nx

fxnx

nx





,[0,1]E,求lim()d

n

n

E

fxx



．[考核勒贝格控制收敛定理的简

单应用]

解：因为

22

lim()limsin0

1n

nn

nx

fxnx

nx





，且

24

2222

1

()sin

112n

nxnx

fxnx

nxnx





而

1

2

显然在[0,1]E勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理

lim()dlim()d0d0

nn

EEE

nn

fxxfxxx



。

注意：上面的两题在计算时，要注意验证勒贝格控制收敛定理的条件。

七、证明题

1．证明：

1212

()()()EEEEEEE．

证明：（方法1）

12121212

()()()()()()cccEEEEEEEEEEEEEE

（方法2）直接用集合相等的定义证明。

2．证明：()()()EBAEBEA．

证明：（方法1）

()()()()()()()cccccEBAEBAEBAEBEAEBEA

（方法2）直接用集合相等的定义证明。

3．设

E

是

R

中的有理点全体，则

E

是可测集且

0mE

．

提示：用外测度的定义证明

证明：因为

E

是可数集，则

12

{,,,,}

n

Errr

对任意

0

，取开区间

11

(,)

22nn

nn

rr





，1,2,n，显然它们把

0

E覆盖住。

于是*

12n

n

mE







。让

0

得，*0mE，从而

0

E是可测集且

0mE

。

4．设2AR

，且*0mA，则

A

是可测集．

提示：用可测集的定义证明。

证明：对任意2TR

，显然

***()()cmTmTAmTA

又**()0mTAmA（因为

TAA

），从而

*()0mTA

所以

****()()()ccmTAmTAmTAmT（因为cTAT

）

所以

***()()cmTmTAmTA，

25

即

A

是可测集。

5．证明：

R

上的实值连续函数()fx必为

R

上的可测函数．

证明：因为对于任意实数a，由连续函数的局部保号性易知，[()]Rxfxa是开集，从

而[()]Rxfxa是可测集。所以()fx必为

R

上的可测函数。

6．证明：

R

上的单调函数()fx必为

R

上的可测函数．

证明：不妨设()fx是单调递增函数，对于任意实数a，记

0

inf[()]Rxfxa，由于

()fx是单调递增函数，00

00

(,)[()]

[()]

[,)[()]

Rxfxa

Rxfxa

Rxfxa



















，显然是

可测集。所以()fx必为

R

上的可测函数。

7．设()fx是可测集nER

上的勒贝格可积函数，{}

n

E为

E

的一列可测子集，

mE

，

如果

lim

n

n

mEmE





，则lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx



．

证明：因为

mE

且

n

EE，所以()

nnn

mEmEEmEmE

从而由题设

lim()lim

nn

nn

mEEmEmEmEmE





又()fx在nER

上的

L

可积，且

()

()()()()

nnnn

EEEEEE

fxdxfxdxfxdxfxdx





()()()()

nnnn

EEEEEE

fxdxfxdxfxdxfxdx

所以由积分的绝对连续性得

lim(()())lim()0

nn

nn

EEEE

fxdxfxdxfxdx





即lim()()

n

n

EE

fxdxfxdx



。

8．设()fx是可测集nER

上的可测函数，则()fx在

E

上勒贝格可积()fx在

E

上

勒贝格可积．

证明：必要性：因为()fx在

E

上

L

可积，则()

E

fxdx和()

E

fxdx

而()()()fxfxfx，所以

()()()

EEE

fxdxfxdxfxdx，

26

即()fx在

E

上

L

可积。

充分性：因为()

E

fxdx，且0()()fxfx，0()()fxfx

则()()

EE

fxdxfxdx，()()

EE

fxdxfxdx。

所以()fx在

E

上

L

可积。

9．设()fx是可测集nAR上的勒贝格可积函数，{}

n

E为

A

中的一列递增可测子集，证

明:

1

lim()d()d

n

n

n

n

E

E

fxxfxx







．

证明：记

()()()

n

nE

fxfxx，其中

1,

()

0,n

n

E

n

xE

x

xE















显然在

1

n

n

E



上，()()()()

n

nE

fxfxxfx，()()

n

fxfx且

1

()()

n

n

n

n

E

E

fxdxfxdx







于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论．

10．设

E

是可测集，且

mE

，若()

n

fx是

E

上一列几乎处处收敛于零的可积函数，

且满足对任意

0

，存在

0

，只要,eEme，就有

|()|(1)

n

e

fxdxn，

证明：

lim|()|0

n

E

n

fxdx



．

证明：由题设及叶果洛夫定理得，对题设中的

0

，存在可测集

FE

，

mF

，

使得,()

n

fx在

EF

上一致收敛于

0

，

从而对题设中的

0

，存在

0N

，当

nN

时

|()|,()

n

fxxEF

于是，当

nN

时，并注意到题设的条件，有

|()||()||()|()(1)

nnn

EFEF

fxdxfxdxfxdxmEFmE

即lim|()|0

n

E

n

fxdx



.

27

《实变函数》期末考试模拟试题（五）

（含解答）

一、判断题（每题2分，共20分）

1、设1ER，若E是稠密集，则cE是无处稠密集。F

2、若

|()|fx

是可测函数，则

()fx

必是可测函数。F

3．设

()fx

在可测集E上可积分，若

,()0xEfx

，则()0

E

fxF

4、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集.T

5、若0mE，则

0Em

F

6、若|()|fx是可测函数，则()fx必是可测函数F

7．设

()fx

在可测集E上可积分，若

,()0xEfx

，则()0

E

fxF

8、任意多个开集之交集仍为开集F

9、由于0,10,10,1，故不存在使0,101和，之间11对应的映射。F

10、可数个零测度集之和集仍为零测度集。T

二、选择题（每题2分，共12分）

1、下列各式正确的是（C）

（A）

1

lim

nk

nnkn

AA





;（B）

1

lim

nk

nkn

n

AA









（C）

1

lim

nn

nnkn

AA





;（D）以上都不对;

2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（D）

（A）

P

c(B)0mP(C)PP'(D)PP



3、设}{

n

E是一列可测集，

12n

EEE，则有（B）。

（A）

1

lim

nn

nn

mEmE













(B)

1

lim

nn

nn

mEmE













（C）

1

lim

nn

nn

mEmE













;（D）以上都不对

4、设}{

n

E是一列可测集，

n

EEE

21

，且

1

mE，则有（A）

28

（A）

n

n

n

n

mEEm





















lim

1

(B)

n

n

n

n

mEEm





















lim

1

（C）

n

n

n

n

mEEm





















lim

1

;（D）以上都不对

5、设f(x)是

],[ba

上绝对连续函数，则下面不成立的是（B）

(A)

)(xf

在

],[ba

上的一致连续函数(B)

)(xf

在

],[ba

上处处可导

（C）

)(xf

在

],[ba

上L可积(D)

)(xf

是有界变差函数

6、设,MN是两集合，则()MMN=（C）

(A)M(B)N(C)MN(D)

三、解答题（每题6分，共18分）

1、设

,

()

1,

xx

fx

x









为无理数

为有理数

，则

()fx

在0,1上是否R可积，是否L可积，

若可积，求出积分值。

解：

()fx

在0,1上不是R可积的，因为

()fx

仅在1x处连续，

即不连续点为正测度集

因为()fx是有界可测函数，所以()fx在0,1上是L可积的

因为()fx与x..ae相等,进一步，



1

0,10

1

()

2

fxdxxdx

2、求极限

1

3

22

0

limsin

1n

nx

nxdx

nx

.

解：设3

22

()sin

1n

nx

fxnxdx

nx





，则易知当n时，()0

n

fx

又

22

|()|

1n

nx

fx

nx





，但是不等式右边的函数，在0,上是L可积的

故有

00

lim()lim()0

nn

nn

fxdxfxdx

3、设

212

1

(0,),(0,),1,2,,

nn

AAnn

n

求出集列{}

n

A的上限集和下限集

解：

lim(0,)

n

n

A





设(0,)x，则存在N，使xN，因此nN时，0xn，即

2n

xA，所

29

以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多

n

A，得lim

n

n

xA



，

又显然lim(0,),lim(0,)

nn

nn

AA



所以

lim

n

n

A





若有lim

n

n

xA



，则存在N，使任意nN，有

n

xA，因此若21nN时，

21

1

,0,00

n

xAxnx

n

即令得，此不可能，所以

lim

n

n

A





四、证明题（每题10分，共50分）

1、试证(0,1)~[0,1]

证明：记

(0,1)

中有理数全体

12

{,,}Qrr,令

()x



1

2

2

()0

()1

(),1,2

(),0,1

nn

r

r

rrn

xxx

































为中无理数，

显然

01[01]是（，）到，上的一一映射

所以(0,1)~[0,1]

2、设()fx是,上的实值连续函数，则对于任意常数

,{|()}aExfxa是闭集。P51

3、设)}({xf

n

为E上可积函数列，eaxfxf

n

n

.)()(lim.于E，且

E

n

kdxxf|)(|，

k为常数，则)(xf在E上可积.P133

4、设()fx在E上积分确定，且()().fxgxae于E，则()gx在E上也积分确

定，且()()

EE

fxdxgxdxP108

5、设在E上)()(xfxf

n

,而..)()(eaxgxf

nn

成立,,2,1n,则有

)()(xfxg

n

P95

30

《实变函数》期末考试模拟试题（六）

（含解答）

1、若N是自然数集，

e

N为正偶数集，则N与

e

N对等。（对）

2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。（对）

3、若

12

,,,

n

AAA是

1R上的有限个集，则下式

1212nn

AAAAAA







成立。（对）

4、任意多个开集的交集一定是开集。（错）

5、有限点集和可列点集都可测。（对）

6、可列个零测集之并不是零测集。（对）

7、若开集

1

G是开集

2

G的真子集，则一定有

12

mGmG。（错）

8、对于有界集

1ER，必有*mE。（对）

9、任何点集E上的常数函数()fx=C，xE是可测函数。（错）

10、由()fx在1,2,

k

Ek上可测可以推出()fx在

1

k

k

EE





上可测。（对）

二、填空

1、区间（0,1）和全体实数R对等，只需对每个0,1x，令()tan()

2

xx





2、任何无限集合都至少包含一个可数子集

3、设

12

,SS都可测，则

12

SS也可测，并且当

12

SS为空集时，对于任意集合T总有

***

1212

[()]()()mTSSmTSmTS

4、设E是任一可测集，则一定存在F



型集F，使

FE

，且()0mEF

5、可测集

nER上的连续函数是可测函数。

6、设E是一个有界的无限集合，则E至少有一个聚点。

7、设π是一个与集合E的点x有关的命题，如果存在E的子集M，适合mM=0，使得π在EM上恒成立，

也就是说，EE[π成立]=零测度集，则我们称π在E上几乎处处成立。

8、E为闭集的充要条件是

'(EE)EE或。

9、设A、B是两个非空集合，若,ABBA，则有A=B。

三、证明

1、证明：若AB，且~AAC，则有~BBC。

证明：由条件易得，

31

()BABA（1）

[()]()BCACBBA（2）

由于()ABA,[()]()ACBBA,

而()AACBAC,

已知~AAC,所以~()AACB.

而~BABA,由（1）（2）得~BBC。

2、设()fx为

1R上的连续函数，则对任意的

1aR，()Efxa、()Efxa为闭集

1()ER

证：先证[()]Efxa是闭集。设

0

x是[()]Efxa的一个极限点，则[()]Efxa中有点列

{}

n

x，使

0

()

n

xxn.

由()

n

xEfxa知()

n

fxa.又由()fx的连续性及极限不等性可得

0

()lim()

n

x

fxfxa



.



0

[()]xEfxa.

即

'([()])[()]EfxaEfxa.

故[()]Efxa为闭集.

4、设n

f是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。

证：显然，{}

n

f的收敛点集可表示为

0

[lim()lim()]

nn

xx

EExfxfx



=

1

1

[limlim]

nn

xx

k

Eff

k







.

由

n

f可测lim

n

x

f



及lim

n

x

f



都可测，所以limlim

nn

xx

ff



在E上可测。

从而，对任一自然数k，

1

[limlim]

nn

xx

Eff

k

可测。故

0

1

1

[limlim]

nn

xx

k

EEff

k







可测。

既然收敛点集

0

E可测，那么发散点集

0

EE也可测。

32

《实变函数》期末考试模拟试题（七）

（含解答）

一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。共10小题，每题1.5分，共10×1.5=15分）

1、中全体子集构成一个代数。（√）

2、存在闭集使其余集仍为闭集。（√）

3、若是可测集，是的可测子集，则。(×)

4、无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。(×)

5、可数个可数集的并集是可数集。（√）

6、、可数个集的交集不一定是集。（×）

7、若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：存在实数，使

是可测集。（×）

8、若是可测集，是的可测子集，则。(×)

9、若是可测集，是上的非负可测函数，则在上一定可积。(×)

10、若是可测集，是上的非负简单函数，则一定存在。(√)

二、选择题。（每道题只有一个答案正确，多选或者不选均为零分，每道题1.5分，共15分）

1、下列集合关系成立的是（A）

（A）()ABBAB（B）()ABBA

（C）()BAAA（D）()BAA

2、若nER是开集，则（B）

（A）

EE





（B）

E

的内部

E

（C）EE（D）

EE





3、设是有理数，则下列正确的是（B）

A．[0,1]；Ｂ．[0,1]；Ｃ．[0,1]；Ｄ．以上都不正确。

4.、设E是nR中的可测集，()fx为E上的可测函数，若()d0

E

fxx，则（A）

33

（A）在E上，()fz不一定恒为零（B）在E上，()0fz

（C）在

E

上，()0fz（D）在

E

上，()0fz

5、设E是1R中的可测集，()x是E上的简单函数，则（D）

（A）()x是

E

上的连续函数（B）()x是

E

上的单调函数

（C）()x在

E

上一定不

L

可积（D）()x是

E

上的可测函数

6、设()fz是[,]ab的单调函数，则（C）

（A）()fz不是[,]ab的有界变差函数（B）()fz不是[,]ab的绝对连续函数

（C）()fz在[,]ab上几乎处处连续（D）()fz不在[,]ab上几乎处处可导

7、若1ER至少有一个内点，则（D）

（A）

*mE可以等于零（B）E是可数集

（C）E可能是可数集（D）

*0mE

8、设E是[0,1]中的无理点全体，则（C）

（A）

E

是可数集（B）

E

是闭集

（C）

E

中的每一点都是聚点（D）0*Em

9、设()fx在可测集E上L可积，则（D）

（A）()fz

和()fz

有且仅有一个在

E

上

L

可积

（B）()fz

和()fz

不都在

E

上

L

可积

（C）()fz在

E

上不一定

L

可积

（D）()fz在

E

上一定

L

可积

10、设[,]Eab是可测集，则E的特征函数()

E

Xx是（B）

（A）在[,]ab上不是简单函数（B）在[,]ab上的可测函数

（C）在

E

上不是连续函数（D）[,]ab上的连续函数

三、填空题（将正确的答案填在横线上，每道题1分，共10分）

1、设X为全集，A，B为X的两个子集，则ABCAB。

34

2、设nER，如果E满足EE



，则E是闭集。

3、若开区间(,)是直线上开集G的一个构成区间，则(,)满足(,)G、

,GG。

4、设A是无限集，则A的基数Aa（其中a表示可数基数）。

5、设

1

E，

2

E为可测集，

2

mE，则

12

()mEE

12

mEmE。

6、设()fx是定义在可测集E上的实函数，若对任意实数a，都有[()]Exfxa

是可测集，则称()fx是可测集

E

上的可测函数。

7、设

0

x是1ER的内点，则*mE0。

8、设函数列{()}

n

fx为可测集E上的可测函数列，且()()()

n

fxfxxE，则由黎斯定理可得，

存在{()}

n

fx的子列{()}

k

n

fx，使得()

k

n

fx..ae

()()fxxE。

9、设()fx是E上的可测函数，则()fx在E上的L积分不一定存在，且()fx在E上不一定L

可积。

10、若()fx是[,]ab上的绝对连续函数，则()fx一定是[,]ab上的有界变差函数。

四、证明题。

1、]1,0[上的全体无理数作成的集合其基数为c

证明：设A为]1,0[中的有理数集，B为]1,0[上的无理数集，则1,0BA,

即c1,0BA

又因为aAc所以B=c

2、开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集仍是闭集。

证明：设A为开集，B为闭集，则

B

CABA

因为B为闭集，所以

B

C为开集

因此A-B为开集；

同上所设有BAB

A

C

又因为A为开集

35

所以为

A

C闭集。

因此B-A为闭集。

3、设A,B

PR且Bm*，若A是可测集，证明）（BAmBmmABAm**)(*

证明：因为A是可测集，所以由卡拉泰奥多里条件得

))((**)(*

A

CBAmABAmBAm））（（)(*ABmmA(I)

)(*)(**

A

CBmABmBm

于是)(**)(*BAmBmABm(II)

将(II)代入(I)得）（BAmBmmABAm**)(*

4、设

qRE，存在两侧两列可测集{

n

A}，{

n

B},使得

n

A

E

n

B且m（

n

A-

n

B）→0，（n→∝）

则E可测.

证明：对于任意i，

in

n

BB



1

，所以EBEB

in

n







-

1



又因为EA

i

，

iii

ABEB

所以对于任意i，)(**

1

EBmEBm

in

n







）（)(*

ii

ABm)(

ii

ABm

令i→∝，由)(

ii

ABm→0得0*

1







）（EBm

n

n



所以EB

n

n





1

是可测的

又由于

n

B可测，有

n

n

B



1

也是可测的

所以)(

11

EBBE

n

n

n

n











是可测的。

36

《实变函数》期末考试模拟试题（八）

（含解答）

一、证明题：

1、设在E上

n

fxfx，而

nn

fxgx..ae成立，1,2n，则有

n

gxfx

2、证明：开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集仍然是闭集。

3.设M是

3R空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明

M

为可

数集.

4.设

nER,

i

EB且

i

B为可测集,1,2i

.根据题意,若有

*0,

i

mBEi,证明E是可测集.

二、选择题：

1.A为可数集，B为有限或可数集，则AB为（A）

A可数集B不可数集C无法确定

2、有C个（C表示连续基数）集的并集，若每个集的基数都是（C）

A

2CBCC2C

3、E为开集的充要条件是（A）

AEE

。

BEE，

CEE

4、A为开集。B为闭集，A-B为（Ａ）

Ａ开集Ｂ闭集Ｃ可开可闭

５、设S1、S2都是可测，

12

SS（B）

A不可测B可测C不确定

6.下列命题错误的是（）

A.开集、闭集都是可测集B．可测集都是Borel集

C．外测度为零的集是可测集D．F



型集、G



型集都是可测集

7.设

n

E是一列递降的可测集合，

12n

EEE，且

1

mE，则有（）

A.

1

lim

nn

n

n

mEmE















B．

1

lim

nn

n

n

mEmE















C．

1

lim

nn

n

n

mEmE















D．以上都不对

8.下列命题错误的是（）

A.若fx在E上可测，则fx在E上也可测

37

B．可测集E上的连续函数是可测函数

C．fx在

E

上

L

可积的充要条件是fx在

E

上可积

D．,ab上任意一有界变差函数fx都可表示为两个增函数之差

9.下列表达正确的是（）

A.max,0fxfxB．fxfxfx

C．fxfxfxD．min,

n

fxfxn





三、填空题：

2、设

1

,2

n

A

n









,1,2n,则

lim

n

n

A





.

3、,,ab,因为存在两个集合之间的一一映射为



.

4、设E是

2R中函数

1

cos,0

0,0

x

y

x

x

















的图形上的点所组成的集合，则

E



，E

.

5、若集合

nER满足

EE





,则E为集.

6、若,是直线上开集

G的一个构成区间,则,满足:



,



.

7、设E使闭区间,ab中的全体无理数集,则mE

.

8、若()

n

mEfx()0fx







,则说()

n

fx在

E

上

.

9、设

nER,

0

nxR

,若



,则称

0

x是

E

的聚点.

10、设()

n

fx是

E

上几乎处处有限的可测函数列,()fx是

E

上几乎处处有限的可测函数,

若0

,有



11、



,则称()

n

fx在

E

上依测度收敛于()fx

.

12、设()()

n

fxfx,xE,则

()

n

fx的子列()

j

n

fx,使得.

四、判断题

1.若

,AB可测,

AB

且

AB

,则

mAmB

.（）

38

2.设E为点集,

PE

,则P是

E

的外点.（）

3.点集

1

1,2,,E

n







的闭集.（）

4.任意多个闭集的并集是闭集.（）

5.若

nER,满足

*mE,则E为无限集合.（）

6.任意无限集合都至少包含一个可数子集。（）

7.设

1

,A

1

,A

……

n

A

……是一列相交的集合，它们的基数都是

c

，则

1

n

n

A







的基数是nc。（）

8.E为闭集的充要条件是

EE

。（）

9.集合的交或并满足交换率、结合率、分配率。（）

10.任意无限集合都至少包含一个可数子集。（）

答案

一．证明答案：

１、证明：设

nnn

EEfg，则

1

1

0

nn

n

n

mEmE

















。

0，

1

nnn

n

EfgEEff















所以

1

nnnn

n

mEfgmEmEffmEff















因为

n

fxfx，所以0limlim0