《生活中的数学》

生活中的数学

巧用连比解题

我们学习完了比的应用，在解答比的应用题

时，应先读懂题目中的前项和后项分别代表什

么，这样才能确解题正确。我们还学习了连比，

可以将两个不同的比合二为一。如甲:乙=3:4，

乙:丙=7:9，那么

甲:乙:丙

3:4

7:9

────—

21:28:36

连比对应用题也有很大作用。这里来考考大

家，看看你是否掌握了连比的应用？

小明与小丽的书籍数量之比为1:2，小华的

书籍是小明的1/3还多3本。小华、小明、小丽书

籍之和为43本，他们各有多少本书？

答案:

从题目中，可以知道“小华的书籍是小明的1/3

还多3本”。如果我们把总本数去掉小华多的3本，

那么小华的书籍是小明的1/3，这句话也可以说

成小华的书籍与小明书籍的比是1:3。所以

小华:小明:小丽

1:3

1:2

----------------

1:3:6

40本图书正好共分成（3+1+6）份，用（43—3）

÷（3+1+6）=4本，求的是1份的本数。再根据连

比，小明有3份，用4×3=12（本）；小华有1份还

多3本，用4×1+3=7（本）；小丽有6份用4×6=24

（本）。

是不是看上去很复杂，但通过将分数与比转

化，然后应用连比的知识就能很快解答了呢？有

时候把题目中的“拌脚石”拿开之后，再去还原，

这样就可以快速正确地解答出题目了。

巧用抽屉原理

任意5个不相同的自然数，其中最少有两个数

的差是4的倍数，这是为什么？

答案：

一个自然数除以4有两种情况：一是整除为0，

二是有余数1、2、3.如果有2个自然数除以4的余

数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数。

把0、1、2、3这四种情况看作4个抽屉，把5

个不同自然数看作5个苹果，必定有一个抽屉里

至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它

们的差一定是4的倍数。所以任意5个不相同的自

然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。

丢番图vs齐天大圣（外一则）

话说唐三藏四人从西天取经回来后，孙悟空

就过着山大王的日子。有一天，悟空觉得非常无

聊就出去玩，路过一个墓园，忽然听有个人在叫

他，就连忙回头，他看见一个长着翅膀的老人便

问：“您是谁？为什么叫我？”老人回答道：

“我是希腊数学家丢番图，我是上帝的信使，大

圣可知我有多少岁吗？你要能答出来，我就带你

去见上帝！”孙悟空听了高兴得不得了，便说：

“好啊，好啊，俺老孙出世五百多年了还从没见

过上帝呢！好吧，出题吧！”话音刚落，他们一

下来到了丢番图的墓碑前，上面写道：他生命的

六分之一是幸福的童年；再活十二分之一，唇上

长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的

七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；

可是儿子只活了父亲全部年龄的一半；儿子死

后，他在极度悲痛活了四年，也与世长辞了。

同学们，这是一道刻在墓碑上的难题，许多

年来吸引了不少数学爱好者，你们也来算一算

吧！

答案：

方法一：丢番图寿84岁。由题意，他的岁数

应是6、12、7、2的公倍数，而这些数的最小公

倍数是84，因为人的年龄目前没有达到168岁的，

所以他的岁数是84岁。

方法二：设丢番图寿X岁。列方程：

X/6+X/7+X/12+5+X/2+4=X解得：X=84

方法三：（5+4）/（1-1/6-1/7-1/12-1/2）=84

巧解分数加法

一道计算题：

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128，你会怎么来

做呢？

答案：

一般解法：先将算式中的每个加数通分，然后

根据同分母分数加法的计算法则进行计算：

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=64/128+32/1

28+16/128+8/128+4/128+2/128+1/128=127/128。

可这种算法太麻烦了，有没有其它简便点的方法

呢？

巧妙的解法：在算式的后面加上1/128，则1

/128+1/128=1/64，1/64+1/64=1/32，

1/32+1/32=1/16，1/16+1/16=1/8，1/8+1/8=1/4，

1/4+1/4=1/2，1/2+1/2=1，即最终的结果为1，所

以原式等于1减1/128的差，即127/128。

年龄问题

我们每个人都有年龄，也常常要根据所学的知

识解决有关年龄的问题。你能从变化多样的条件

中寻求解决的途径吗？让我们从最简单的开始，

将常见的年龄问题整理解答出来。

例1今年许鹏比爸爸小30岁。4年后爸爸的年

龄是许鹏的3倍。问许鹏和爸爸今年各多少岁？

4年后爸爸的年龄是许鹏的3倍，即爸爸的年龄

比许鹏大2倍（3－1＝2倍），刚好是他们年龄的

差（30岁）。所以4年后许鹏的年龄应该是：

30÷（3－l）＝15（岁）；

今年许鹏的年龄是：15－4＝11（岁）；

今年爸爸的年龄是：11＋30＝41（岁）。

例2一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟

弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们

全家人年龄的和是65岁。想想看，今年每人的年

龄是多大？

今年全家四口人年龄之和是100岁，那么十年

前全家人口年龄之和应该减少10×4＝40岁；但

100－65＝35，说明十年前还没有弟弟。这个差

数5，正是弟弟的年龄，从100中减去姐姐和弟弟

年龄就是父母年龄和。由此可知，弟弟今年：

10×4－（100－65）＝5（岁）；

姐姐今年：5＋8＝13（岁）；

父亲今年：（100－5－13＋2）÷2＝42（岁）；

母亲今年；42－2＝40（岁）。

例3一天宋老师对小芳说：“我像你那么大

时，你才1岁。”小芳说：“我长到您这么大时，

您已经43岁了。”问他们现在各有多少岁？

小芳从1岁到她现在年龄，从她现在年龄到宋

老师现在年龄，和宋老师从现在年龄到43岁，这

中间的间隔是相等的，正好都等于他们俩人的年

龄差，所以宋老师与小芳的年龄差是（43－1）

÷3＝14（岁）。可知小芳现在年龄为：1＋14＝

15（岁），宋老师现在年龄为：15＋14＝29（岁）。

例4当问某人的年龄时，他说：“我后天22

岁，可去年过元旦时，我还不到20岁。”这样的

事可能吗？

这是可能的。这个人的生日是元月2日。他说

话时是今年12月31日。这样一来。他去年元旦时

是19岁，1月2日20岁，今年元月1日还是20岁，

元月2日21岁，明年元月2日就是22岁了。

例5有一家祖孙三人正好同一天生日。这一

天他们的年龄加起来正好100周岁。又知道祖父

的岁数正好等于孙子过的月数，父亲过的星期数

恰好等于他儿子过的天数。请你算一算祖孙三人

各有多少岁？

这道题只要弄清“岁数”、“月数”、“星期

数”、“天数”的关系，就可以找到解题线索。

祖父的岁数正好等于孙子过的月数，而一年有

12个月，所以祖父的年龄是孙子的12倍。父亲过

的星期数恰好等于他儿子过的天数，所以父亲的

年龄是儿子的7倍。

由此可知，如果把孙子的年龄作为1份的话，

那么父亲就占7份，祖父占12份。于是可以得到：

孙子的年龄：100÷（1＋7＋12）＝100÷20＝5

（岁）；父亲的年龄：5×7＝35（岁）；祖父的年

龄：5×12＝60（岁）。

《数学课外读物》第八册

乐乐球里的数学

小舒看电视里做的乐乐球的广告，觉得乐乐球

挺有意思，就跟爸爸妈妈说，她想要玩乐乐球。

星期天，爸爸带小舒到玩具店买回了乐乐球。

回到家，她急忙打开塑料袋，拿出来玩。可拿出

记分卡后，她愣住了。心里想：“这怎么记分

呀？”只见记分袋里装的是写着这样一些数的8

张卡片：1、2、2、5、10、10、20、50。小舒急

得喊：“爸爸，快来呀。”“干什么？”爸爸说

着走过来。小舒指着卡片说：“你看这怎么记分

呀？一次得1分，可就这么几张卡片也不够啊，

是不是这袋子里装错了？我们快去商店换吧。”

爸爸不紧不慢地说：“没有错，可以记的，你再

仔细看看动动脑筋。”

小舒皱起眉头，把8张卡片放在桌子上，看着，

一会儿又动手摆了起来。突然眼睛一亮：“对了，

爸爸我知道了。”小舒说：“你看，得1分时用1，

得2分时把1拿回换上2，得3分时再加上1，得4

分时拿回1，换上2，……这样用这8张卡片可以

记100以内的所有分数，真有意思。”小舒高兴

了。爸爸说：“那我考考你，48分怎么记？”小

舒拿起1张写着20的卡片，又拿起2张写着10的卡

片，说：“这就是40。”说完又拿起写着数字5、

2、1的3张卡片说：“这些放在一起不就是48了

吗。”爸爸笑了。

《数学课外读物》

生活中的长方体和正方体

长方体和正方体在我们四周随处可见，而它

们的表面积也运用得十分广泛。如，在你家里地

上铺地砖、木地板，在墙上刷的白漆，用玻璃做

一个长方体的大鱼缸等等，都需要用上长方体、

正方体的表面积。可是，在生活中该如何运用长

方体和正方体的知识呢？

大家恐怕都知道，长方体表面积是“长×宽

×2+宽×高×2+长×高×2”，正方体表面积是

“棱长×棱长×6”。但是在生活中可不能就这

样生搬硬套，因为书上告诉你的是一般情况，生

活中不是这样，有时，可能不用六个面全算。比

如，让你给教室刷漆，人们常识性的只会刷上、

左右、前后五个面，而你把公式套上去后，就可

能连地面也给刷了，这个要注意。下面还有一个

实例。

健身中心新建一个游泳池，该游泳池的长

50m，宽20m，深2.5m（也就是公式中所说的高），

现在让你贴上瓷砖，需要多少瓷砖？

首先，咱们得分析这道题，当然，最好的方

法是联系生活实际，展开想象。既然是游泳池，

肯定要求底面积，那就用长×宽求得底面积，大

家可能会奇怪，为什么不铺上面呢？因为上面是

水，铺上的话就不叫游泳池了。四周肯定也要铺，

用宽×高×2+长×高×2就得出需要铺多少平方

米的地砖了。所以，其最终结果是1625平方米的

地砖。还要注意地砖和游泳池面积的平方米是否

一致，不一致还要换算单位。所以说，在解决实

际问题时，正方体和长方体的表面积公式只是

“半成品”，这其中的很多情况是需要你仔细思

考的。

涂色的正方体

通过学习，大家知道什么是长方体和正方体

的表面积，也知道了怎么求表面积。不过下面的

问题不是和求面积相关的，我们换个角度来考考

你对正方体的认识。

一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了

红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。在这些

小正方体中：

（1）三个面涂有红色的有多少个？

（2）两个面涂有红色的有多少个？

（3）一个面涂有红色的有多少个？

（4）六个面都没有涂色的有多少个？

下面我们结合图示，分别来看看这几个问

题。

（1）三个面都涂有红色的小正方体在大正

方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面

涂有红色的有8个。

（2）两个面都涂有红色的小正方体在大正方体

的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，所

以两个面涂有红色的有8×12=96个。

（3）一个面都涂有红色的小正方体在大正方体

的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有6个面，

所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。

(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两

种算法：

1.1000－8－96－384=512（个）；

2.8×8×8=512（个）。

火柴盒里的连比

一天晚上，小亮的家里停电了，左等右等也

不来电，小亮和姐姐感到枯燥极了，就要求爸爸

出道题考考他们。爸爸说：“既然你们有兴趣，

就给你们出道题吧！把361根火柴放进三个盒里，

使第一盒火柴的根数的3/4等于第二盒的1/3，第

二盒的等于第三盒的2/5，问三个盒中各有几根

火柴？”

小亮一听完题目就说：“这题不难，碰到这

个量的几分之几等于那个量的几分之几，我用比

例的方法就能解。瞧，第一盒的根数×3/4＝第

二盒的根数×1/3，根据比例的基本性质，得到：

第一盒的根数：第二盒的根数＝1/3∶3/4

＝4∶9，

同样道理，第二盒的根数：第三盒的根数＝

3/5∶2/5＝3∶2＝9∶6，所以第一盒的根数：第

二盒的根数：第三盒的根数＝4∶9∶6。然后就

可以解出来了，姐姐，你说怎么样？”姐姐说：

“我可以用更巧的方法解。先把3/4和1/3变成

3/4和3/9，也就是说把第一盒火柴和第二盒火

柴分别平均分成4和9份，然后各取3份，这两个3

份同样多，这说明其中的一份也同样多，这样第

一盒火柴是第二盒火柴的4/9；同样道理，第三

盒火柴是第二盒火柴的2/3。所以第二盒是361÷

（1＋4/9＋2/3）＝171（根），第一、三盒火柴

的根数也就可以解出来了。是不是比你的简

单？”

小亮这才明白：在解题的时候，要选择最佳

思路，力求简洁、灵活！

失踪的正方形

同学们一定看过刘谦表演的魔术，今天老师也

给你们表演一个数学小魔术。请同学们一起参与

进来。

在一张正方形纸板上，按图一画上7×7=49个

小正方形，然后沿图示直线剪切成5个小块。当

你按照图二将这5小块纸板重新拼起的时候，你

会发现不可思议的事情发生了：中间居然出现了

一个洞！图一的正方形是由49个小正方形组成

的。图二中却只有48个小正方形。哪一个小正方

形没有了？它到哪儿去了？

魔术揭秘：

原来5个小块图形中最大的两块2和3对换了一

下位置以后，被那条对角线切开的每个小正方形

都变得高比宽大了一点点。这就意味着这个大正

方形已经不再是严格的正方形，它的高增加了，

从而使得面积增加了，所增加的面积恰好等于这

个方洞的面积。

生活中的几何图形

江苏省姜堰市三水学校六（4）班吴璐璐

曾经以为生活是一根线段，简捷而单调，两个

端点就是家和学校。每天清晨，在紧张的自行车

铃声中，背着书包，跨进学校的大门，开始了一

天的学习旅程；傍晚，伴随着“回家”的萨克斯

乐声，我收拾起零乱的文具，背着越发沉重的书

包回家。

随着年龄的增大，我逐渐知道了：生活其实是

个多边形，复杂而又丰富。

果园里，灿烂的桃花，娇艳的杏花，雪白的梨

花下，不时传来银铃般的欢笑声，我们的身影与

花相映，人比花娇，花比人艳。恩，生活是个三

角形！

书城里，我努力搜寻着自己的目标，那一部部

长方形的“大块头”都是我的挚爱。啊，生活还

是个四边形！

田野里，和朋友们一起嬉戏，捉蝴蝶，听虫鸣，

赏花开……这时，我忽然感到：生活是五角形、

六边形……

在这么多形状中，我最喜欢圆形。

圆，所有图形中最美的图形，最富有创造性，

最富有人情味，最富有诗意的图形。

我追求完美。什么事都要求尽善尽美，就像圆

一样。所有学科我都要争做第一，语、数、外，

理所当然，甚至就连女孩子们最怕的体育我也要

一争高下。

我富于想象、创造。每一道数学思考题我都想

别出心裁，都想得出与老师不一样的解决方法，

就像圆一样，一个圆心，无数的半径。因为只有

不停地想象，不断地创新，我们的未来才更宽广！

我广交朋友。“手拉手”的小伙伴，我有一大

堆。陕西、昆明，都有我的朋友，每到属于我们

的节日，我们都会给对方一份真挚的祝福，即使

远在天涯海角。“海内存知己，天涯若比邻”，

就像圆心与圆上的点一样，心心相印。

“但愿人长久，千里共婵娟”，人们祈盼团圆，

追求团圆；“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此

事古难全。”人不可能事事圆满，就像圆心是固

定的，而半径是无穷的，是要我们自己去努力拓

展的。

让我们用无限的半径去画出属于我们自己的圆

吧！朋友，相信你一定能成功！

倒推转化巧拿硬币

听说过拿硬币游戏吗？如果没听过，就先来

熟悉一下拿硬币游戏的规则吧！拿硬币游戏是一

个两个人玩的游戏，要求每个参加者轮流拿走若

干硬币，谁拿到最后一枚硬币谁就算赢。下面我

们来实际进行一次拿硬币的游戏。

游戏1：桌上放着15枚硬币，两个游戏者（你

和你的一位同学）轮流取走若干枚。规则是每人

每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁

就赢得全部15枚硬币。

游戏开始了，你一定在想：有没有能保证你

赢的办法呢？若有，这办法又是什么呢？现在你

把自己想象成处于即将赢的状态，该你取硬币

了，而且桌面上硬币恰好不超过5枚，这时，你

可以一次拿走桌上的所有硬币，成为赢者。现在，

你能不能从这样的终点状态往前推，找出一个状

态，使得只要你的对手处在这一状态，那么无论

他拿走几枚硬币，你都会处于理想的获胜状态？

不难发现，如果你的对手处于桌面有6枚硬币的

状态，那么无论他拿走几枚（从1枚到5枚）硬币，

桌上都会剩下至少1枚至多5枚硬币，这样胜利一

定属于你。也就是说，谁拿走第（15－6＝）9

枚硬币，谁将获胜。于是，游戏1获胜情况就与

下面游戏2结果相同。

游戏2：桌上放着9枚硬币，两个游戏者(你和

你的一位同学)轮流取走若干个。规则是每人每

次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁就

赢得15枚硬币。

由对游戏1的倒推分析，我们不难知道，游戏

2的获胜情况与下面游戏3结果相同。

游戏3：桌上放着3枚硬币，两个游戏者（你

和你的一位同学）轮流取走若干个。规则是每人

每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁

就赢得15枚硬币。

在游戏3中，你只要第一个从桌上拿走3枚硬

币便可赢。可见，你要在游戏1中取胜，只要第

一个取走桌面上的3枚硬币便一定能赢。

想一想：利用上面的最佳战略方法和你的小

朋友做下面的游戏：桌上放30枚硬币，两个游戏

者（你和你的一位同学）轮流取走若干个。规则

是每人每次至少取2枚，至多取6枚，谁拿到最后

一枚谁就赢得全部30枚硬币。

相信你，准赢。

买西瓜的学问

1个大西瓜vs.3个小西瓜

去年夏天某日，一个卖西瓜的人在不停地叫

喊着：“1个大西瓜10元钱，买3个小的也是10

元钱。”这时过来一位细心的顾客，他拿了两种

西瓜，目测大西瓜直径约8寸，小西瓜直径约5

寸。

可是他也犯了难，到底买哪种更合算呢？

让我们来帮帮他吧！

首先，我们从体积上来比一比，球的体积公

式是4/3πr3，或1/6πD3。r是半径，D是直径。

求它们体积比时，可省去1/6和π。因此，

大西瓜体积∶3个小西瓜体积之和

＝[8×8×8]∶[(5×5×5)×3]

＝512∶375

由此可见，买3个小西瓜是很吃亏的。

1个大西瓜vs.4个小西瓜

那么，假如再多给你一个小西瓜即一共4个，

你会买大西瓜还是小西瓜呢？

这时从体积上看两种情况相差不多了。但如

果考虑瓜皮的多少，还是买大西瓜合算。这是由

于球的表面积公式为πD2，所以，

大西瓜的表面积∶4个小西瓜的表面积之和

＝[π×8×8]∶[(π×5×5)×4]

＝64∶100

由此可知，4个小西瓜合在一起的瓜皮，几

乎比大西瓜的瓜皮多一倍。所以综合起来考虑，

还是买一个大西瓜合算。

乌鸦喝水的秘密

我们知道，长方体的体积等于长乘以宽再乘

以高，正方体的体积等于棱长的立方。可是你想

过没有，要想知道一只鸡蛋的体积是多少，应该

怎么来求？

面对这个问题，你或许会一筹莫展，因为鸡

蛋的外形不规则，没有现成的公式可用。

其实，这个问题也很简单。《乌鸦喝水》这

篇文章你一定读过。乌鸦发现瓶子里有水，但是

瓶口太小，水面又太低，怎么办呢？聪明的乌鸦

发现周围有小石子，于是衔来石子，放入瓶中。

每放进一块小石子，水面就会上升一次；投进的

石子体积越大，水面上升得就越高。这是因为投

入的石子有“体积”，要占据一定的空间，于是，

它就把与它体积相等的水“挤”上去。也就是

说，被“挤”上去的水的体积恰好等于投进石子

的体积。

石头的体积难以求出，那是因为它的形状很

不规则。如果我们能计算出被它“挤”上去的水

的体积，那么事情就好办多了。只要我们用一个

长方体器皿，就很容易算出被“挤”出来的水的

体积了。

假设这个长方体器皿底面是边长4厘米的正

方形，放入石头后水面上升了2厘米，那么，石

头的体积是4×4×2＝32（立方厘米）。到这里，

你一定会高兴地叫起来：“那我也会求鸡蛋的体

积了。”

乌鸦的聪明之处，在于它借助小石子，使瓶

中的水面上升，从而喝到了它想喝的水。

人类的聪明之处，在于从乌鸦喝水想出了

“等量代换”的妙计。

最小公倍数在生活中的应用

以前，小明一直以为学了最小公倍数这种知

识枯燥无味，整天和求几和几的最小公倍数这样

的问题打交道，真是烦死人，总觉得学习这些知

识在生活中没有什么用处。然而，有一件事却改

变了他的看法。

有一天小明和爸爸一起乘公共汽车去青少

年宫。他们俩坐的是3号车，快要出发的时候，1

号车正好和他们同时出发，此时爸爸看着这两辆

车，突然笑着对他说：“小明，爸爸出个问题考

考你，好不好？”小明胸有成竹地回答道：

“行！”“那你听好了，如果1号车每3分钟发车

一次，3号车每5分钟发车一次。这两辆车至少再

过多少分钟后又能出发呢？”稍停片刻，小明

说：“爸爸你出的这道题不能解答。”爸爸疑惑

不解的看着他：“哦，是吗？”“这道题还缺一

个条件：1号车和3号车起点是同一个地方。”爸

爸听了他的话，恍然大悟地拍了一下脑袋，笑着

说：“我也有糊涂的时候，出题不够严密，还是

小明想得周全。”小明和爸爸开心地哈哈大笑起

来，此时爸爸说：“好，现在假设在同一个起点

站，你说有什么方法来解答？”小明想了想脱口

而出“15分钟，因为3和5是互质数，求互质数的

最小公倍数就等于这两个数的乘积（3×5＝15）

所以15就是它们的最小公倍数。也就是这两辆车

至少再过15分钟同时出发。”爸爸听了夸奖道：

“答案正确！100分。”“耶！”听了爸爸的话，

小明高兴地举起双手。

从这件事中小明就懂得了一个道理：数学知

识在生活中无处不在。

伸手指说数

课间，同学们经常会玩一种伸手指说数的游

戏。这种游戏规则是这样的：两人各伸出一只手，

一只手只有5个指头，任意出几个指头。一边出

手，一边说数，如果谁说的数正好等于两个人伸

出的指头数的和，谁就算赢。有人认为，这完全

没有规律，赢都是靠运气，双方赢的机会相同。

其实，仔细分析，其中还和学过的数学知识密切

相关呢。

下面先分析甲出0时的情况，乙可能出0、1、2、

3、4、5，和就是乙出的手指数；

甲出1时，乙可能出0、1、2、3、4、5中的任

意一个，出不同的手指，和也不同，最后的和是

乙每次出的手指数加1。

甲乙两人手指的组合形式，还有以下24种：

甲出2，乙出0、1、2、3、4、5，和是2、3、4、

5、6、7；

甲出3，乙出0、1、2、3、4、5，和是3、4、5、

6、7、8；

甲出4，乙出0、1、2、3、4、5，和是4、5、6、

7、8、9；

甲出5，乙出0、1、2、3、4、5，和是5、6、7、

8、9、10。

从上面我们可以看出，在这些组合中，指头和

为0、10的情况各一种；和为1、9的各两种；和

为2、8的各3种；和为3、7的各4种；和为4、6

的各5种，和为5的共6种。可见，和为5的组合最

多，也就是说，说5赢的机会相对较多。因为不

管对方出几个指头，你都可以和它凑成和为5。

除此之外说别的数则不然，比如说2，对方要出2

个以上指头，你怎么出也不行；再如说8，对方

要出3个以下指头，你怎么也无济于事。

你看，数学到处都有，只要你留心，在你的身

边处处都可以用到数学知识。

充满数学的旅途

爸爸和聪聪一块到一个城市旅游，他们来到长

途汽车站。车出站没多久，就已经通过9公里指

示牌。爸爸指一指那匆匆后移的计程牌对聪聪

说：“在你已经看到的1，2，…，9这9个数字中，

任取8个随意排列都可组成一个8位数。在这许许

多多8位数中，有些能被12整除，有些则不能。

你能在所有那些可被12整除的8位数中写出最大

的和最小的吗？”

聪聪起初感到无从下手，但冷静一想，只用

了一些算术知识就解决了。下面我们一块来看看

聪聪的解决思路吧。

聪聪注意到以下4件事：第一，数被12整除

的条件是它既被3整除，也被4整除；第二，数被

3整除的条件是：它的各位数字之和被3整除；第

三，数被4整除的条件是它的十位和个位所成的

两位数被4整除；第四，在1，2，…，9这9个数

码中取定几个用种种次序排列而组成的多位数，

要求这个多位数最大，则大的数字应尽可能放在

高位；反之，要求这个多位数最小，则小的数字

应尽可能放高位。

由于1，2，…，9这9个数字之和是45，弃去

3，6或9以后所剩8个数字之和都可被3整除。于

是，弃去最小的3，再从大到小排列并调整最后

两位的位置，使之所成的两位数能被4整除，即

得符合爸爸要求的最大的8位数98765412。类似

地，弃去9再从小到大排列并使最后两位所成的

两位数能被4整除，得到最小的12345768。

数学与音乐

音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学

是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物。那么，

“多情”的音乐与“冷酷”的数学也有关系吗?

我们的回答是肯定的。甚至可以说音乐与数学是

相互渗透，互相促进的。

孔子说的六艺“礼、乐、射、御、书、数”，

其中“乐”指音乐，“数”指数学。即孔子就已

经把音乐与数学并列在一起。我国的七弦琴(即

古琴)取弦长l，7/8，5/6，4/5，3/4，2/3，3/5，

1/2，2/5，1/3，1/4．1/5，1/6，1/8得所渭的13个

徽位，含纯率的1度至22度，非常自然，足很理

想的弦乐器。我国著名古琴家查阜西早就指出，

要学好古琴，必须对数学有一定素养。

世界著名波兰作曲家和钢琴家肖邦很注意

乐谱的数学规则、形式和结构，有位研究肖邦的

专家称肖邦的乐谱“具有乐谱语言的数学特

征”。

数学的抽象美，音乐的艺术美．经受了岁月

的考验，相互的渗透。如今，有了数学分析和电

脑的显示技术，眼睛也可辨别音律，成就是多么

激动人心啊!对音乐美更深的奥秘至今还缺乏更

合适的数学工具加以探究，还有待于音乐家和数

学家今后的合作和努力。

生活中的几何图形

江苏省姜堰市三水学校六（4）班吴璐璐

曾经以为生活是一根线段，简捷而单调，两个

端点就是家和学校。每天清晨，在紧张的自行车

铃声中，背着书包，跨进学校的大门，开始了一

天的学习旅程；傍晚，伴随着“回家”的萨克斯

乐声，我收拾起零乱的文具，背着越发沉重的书

包回家。

随着年龄的增大，我逐渐知道了：生活其实是

个多边形，复杂而又丰富。

果园里，灿烂的桃花，娇艳的杏花，雪白的梨

花下，不时传来银铃般的欢笑声，我们的身影与

花相映，人比花娇，花比人艳。恩，生活是个三

角形！

书城里，我努力搜寻着自己的目标，那一部部

长方形的“大块头”都是我的挚爱。啊，生活还

是个四边形！

田野里，和朋友们一起嬉戏，捉蝴蝶，听虫鸣，

赏花开……这时，我忽然感到：生活是五角形、

六边形……

在这么多形状中，我最喜欢圆形。

圆，所有图形中最美的图形，最富有创造性，

最富有人情味，最富有诗意的图形。

我追求完美。什么事都要求尽善尽美，就像圆

一样。所有学科我都要争做第一，语、数、外，

理所当然，甚至就连女孩子们最怕的体育我也要

一争高下。

我富于想象、创造。每一道数学思考题我都想

别出心裁，都想得出与老师不一样的解决方法，

就像圆一样，一个圆心，无数的半径。因为只有

不停地想象，不断地创新，我们的未来才更宽广！

我广交朋友。“手拉手”的小伙伴，我有一大

堆。陕西、昆明，都有我的朋友，每到属于我们

的节日，我们都会给对方一份真挚的祝福，即使

远在天涯海角。“海内存知己，天涯若比邻”，

就像圆心与圆上的点一样，心心相印。

“但愿人长久，千里共婵娟”，人们祈盼团圆，

追求团圆；“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此

事古难全。”人不可能事事圆满，就像圆心是固

定的，而半径是无穷的，是要我们自己去努力拓

展的。

让我们用无限的半径去画出属于我们自己的圆

吧！朋友，相信你一定能成功！

规矩与方圆

我国考古学者曾发掘出公元2世纪汉朝的浮雕

像，其中有女娲手执规，伏羲手执矩的图像。在

司马迁所写的《史记》中，也提到夏禹治水的时

候“左准绳（左手拿着准绳）”，“右规矩（右

手拿着规矩）”。在甲骨文里，就发现有规和矩

这两个字。其中规字很像一个人手执圆规在画

图，矩字像两个直角，可以说极尽象形文字之妙。

“规”，就是圆规，是用来画圆的工具；“矩”

很像现在的直角尺，是用来画方形的工具。正如

俗话所说：“不以规矩不能成方圆。”

据数学史家考证，人类最早是用树杈来画圆

的。这种原始圆规由于半径固定不变，只能画一

种大小的圆。因为圆有许多重要的性质，人类很

早就认识了圆，使用了圆。

把车轮做成圆形的，是因为圆周上的点到圆心

的距离相等，车子行驶起来平稳；还因为圆轮在

滚动时摩擦力小，车子走起来省力。

把碗和盆做成圆形的，一方面是圆形物体制作

起来比较容易，又没棱没角不易损坏；另一方面

是用同样大小的材料作碗，数圆形的碗装东西最

多。

把桶盖和下水道盖做成圆形的，是因为圆形的

盖子，不管你怎样盖法都不会掉进里面去。而方

形和椭圆形的盖子。盖得不合适，就会掉进去。

有的拱形门和屋顶做成半圆形的，是因为圆形

拱门抗压能力强。

突破习惯思维的束缚

有些问题用我们习惯思维的方式似乎是难以

解决的，如果我们能突破常规去思考，就能使思

维“豁然开朗”，而使问题迎刃而解。请看下面

的例子。

图1-1中有9个点，试—笔画出4条直线，把这9

个点连接起来（从何处起头都行，直线可以交叉，

但不能重合）。

一笔画出4条直线，难以穿过9个点。这是由于

我们不易想到将直线延伸到9个点的范围界限之

外。如果能突破这种习惯思维方式的束缚，则如

图1-2便可一笔画出4条直线使之通过这9个点。

图1-1图1-2

下面我们看这个问题，在一张纸上，挖击一个

直径为2厘米的圆（如图17一12），并要让您将一

块直径为3厘米的硬币穿过去。你觉得这可能

吗？应该怎么做？

答案

我们只需将这张纸沿着圆的一条直径折起来

（如图1-3），再将半圆弧ACB拉直成线段ACB

（如图1-4），则线段ACB的长为厘米，而>3，

故可将直径为3厘米的硬币穿过去。

图1-3图1-4

读心术的秘密

数学有什么用处呢？枯燥的数字，巧合般的题

目设计，似乎和实际生活相距甚远。其实，要让

数学发挥用处，限制不在数学本身，而在数学的

使用者上。让我们看看，勤于思考，勇于实践的

数学使用者们，是如何让数学在生活中处处发挥

作用的。

在现在的网络游戏中，有一个“吉普赛人祖传

的神奇读心术”。据说它能测算出你的内心感

应。游戏是这样的：任意选择一个两位数（或者

说，从10～99之间任意选择一个数），把这个数

的十位与个位相加，再把任意选择的数减去这个

和。

例如：你选的数是23，然后2+3=5，然后

23-5=18。在游戏的图表中找出与最后得出的数

相应的图形，并把这个图形牢记心中，然后点击

网页上的水晶球。你会发现，水晶球所显示出来

的图形就是你刚刚心里记下的那个图形。水晶球

让你神奇的感应到它是如何来读你的心了！你玩

过这个游戏吗？到底是什么原因呢？

原来这实际上是一个数学游戏。当任何一个两

位数减去它的各位数字之和的时候，我们注意到

个位数字相互消去了。所以实际上是十位数字的

10倍减去它的一倍，必然是十位数字的9倍，也

就是说所得的数肯定是9的倍数。

证明：设一个两位数十位是X，个位是Y，则

此两位数为10X+Y，十位数与个位数之和为

X+Y，那么（10X+Y）－（X+Y）=9X。故此数

必是9的倍数。所以游戏的图表中，只要将所有9

的倍数的对应的图片都放成同一张，那么水晶球

只需要显示一个图案就可能了。

类似的数字游戏是很多的，往往使用的数学知

识也不复杂。只要遇到之后多分析，多思考，你

也会发现这些游戏的小秘密。

戏说颠倒

浙江有两个县，一个是观钱塘潮的胜地海宁，

另一个则是距离它不远的宁海。它们名称中的两

个汉字正好互相颠倒！这种现象在外国地名中恐

怕是绝无仅有的。其实中国这种现象还不是个别

的，比如西安－安西（甘肃西部），武宁（江西）

－宁武（山西），子长（陕西）－长子（山西），

丰南（河北）－南丰（江西，有特产南丰蜜桔）。

在我国几千个县里，类似这样的例子还不少。

不少书法爱好者知道汉字里有“颠倒十三太

保”的说法。原来，有13个常用字，把它们上下

颠倒过来看，仍然是一个汉字，有些甚至和原来

的字一模一样。这13个字就是：一，十，中，田，

王，由，甲，口，日，士，干，非，車。它们的

形状是完全对称的。当然如果你把“車”写成简

体的“车”，一颠倒，就不是什么字了。

由此联想到现在全世界通用的阿拉伯数字，其

中也可以分为三类：

第一类是上下颠倒后保持原状的，它们是：0，

1，8。

第二类是上下颠倒后互相转换的，例如：6和9。

第三类是颠倒后，面目全非的，例如2，3，4，

5，7。

另外，许多画家对颠倒头像也十分感兴趣，常

有名作问世。下面是一个愁眉苦脸的男人，大概

遇到什么不开心的事。不过你不用替他着急，只

要把图形颠倒过来一看，他又变得眉开眼笑了。

与颠倒图形相比，转成直角的风景或动物插图更

难构思。下面的另一幅图片就是一幅名作，叫

“鸭变兔”。你把图片顺时针转90°看看？

数学与音乐

音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学

是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物。那么，

“多情”的音乐与“冷酷”的数学也有关系吗?

我们的回答是肯定的。甚至可以说音乐与数学是

相互渗透，互相促进的。

孔子说的六艺“礼、乐、射、御、书、数”，

其中“乐”指音乐，“数”指数学。即孔子就已

经把音乐与数学并列在一起。我国的七弦琴（即

古琴）取弦长l、7/8、5/6、4/5、3/4、2/3、3/5、

1/2、2/5、1/3、1/4、1/5、1/6、1/8得所谓的13个

徽位，含纯率的1度至22度，非常自然，是很理

想的弦乐器。我国著名古琴家查阜西早就指出，

要学好古琴，必须对数学有一定素养。

著名作曲家和钢琴家肖邦很注意乐谱的数学

规则、形式和结构，有位研究肖邦的专家称肖邦

的乐谱“具有乐谱语言的数学特征”。

数学的抽象美，音乐的艺术美，经受了岁月的

考验，相互的渗透。如今，有了数学分析和电脑

的显示技术，眼睛也可辨别音律，成就是多么激

动人心啊!对音乐美更深的奥秘至今还缺乏更合

适的数学工具加以探究，还有待于音乐家和数学

家今后的合作和努力。

十五的诀窍

当一个农村集市开张时，除了耕牛，所有的人

都很兴奋。

今年，王财主开办了一个叫“十五”的新游

戏，他说：“村民们请留步，游戏的规则非常简

单。我们只是把硬币放在这些1至9的数字上，谁

先放都无所谓。你们放铜币，我放银币。谁先放

了三个相加等于15的不同数字，谁就可得到案子

上所有的钱。”

让我们看一个典型的玩法。一位妇人先把一枚

铜币放在7上。由于7已被放上，其他人就不能再

放了。对其它数字也是如此。王财主把一枚银币

放在8上。妇人下一次将把铜币放在2上，这样再

放一次6，三个数字相加为15，就可以赢了。但

王财主把一枚银币放在6上，破坏了她的打算。

下一次他放在1上就可以赢了。妇人看出了这一

威胁，先把一枚铜币放在1上破坏王财主的赢势。

王财主将下一枚银币放在4上时暗自得意。妇人

看到他下一次放在5上就会赢，还得再破坏他。

于是她把铜币放在5上。但王财主放在3上也赢

了。因为8+4+3=15。可怜的妇人输掉了4个硬币。

镇长先生觉得这个游戏很有意思。经过长时间

的观察，他断定王财主利用了一种秘密系统，使

他不可能输，除非他想输。

解决此游戏的诀窍在于认识到这在数学上等

同于划井游戏。为欣赏这一魔方的奇妙．让我们

列出三个不同数字（除0外）相加等于l5的表，

一共有8组：

1+5+9=15

1+6+8=15

2+4+9=15

2+5+8=15

2+6+7=15

3+4+8=15

3+5+7=15

4+5+6=15

现在仔细观察独特的3—3数字魔方：

294

753

618

注意共有8行：3组横行，3组纵行，2组斜行。

每一行确定的3组数字之和均为15。因此，每一

个赢的组合都是魔方中的一横、一纵或一斜行。

现在很容易看出，每次游艺比赛实际上相当于划

井游戏，谁先把自己的棋子占满一横、一纵或一

斜行，谁就取胜。

在进行15游戏时，如果玩得正确就不会输。如

果两个对手都玩得正确，则游戏结果就是平局。

然而设盘者的对手由于不知道是在玩划井游戏，

因而处于十分不利的地位。这就使设盘者很容易

设置对己有利的骗局。

比如：

充满数学的旅途（一）

爸爸和聪聪一块到一个城市旅游，他们来到

长途汽车站。车出站没多久，就已经通过9公里

指示牌。爸爸指一指那匆匆后移的计程牌对聪聪

说：“在你已经看到的1，2，…，9这9个数字中，

任取8个随意排列都可组成一个8位数。在这许许

多多8位数中，有些能被12整除，有些则不能。

你能在所有那些可被12整除的8位数中写出最大

的和最小的吗？”

聪聪起初感到无从下手，但冷静一想，只用了

一些算术知识就解决了。下面我们一块来看看聪

聪的解决思路吧。

聪聪注意到以下4件事：第一，数被12整除的

条件是它既被3整除，也被4整除；第二，数被3

整除的条件是：它的各位数字之和被3整除；第

三，数被4整除的条件是它的十位和个位所成的

两位数被4整除；第四，在1，2，…，9这9个数

码中取定几个用种种次序排列而组成的多位数，

要求这个多位数最大，则大的数字应尽可能放在

高位；反之，要求这个多位数最小，则小的数字

应尽可能放高位。

由于1，2，…，9这9个数字之和是45，弃去3，

6或9以后所剩8个数字之和都可被3整除。于是，

弃去最小的3，再从大到小排列并调整最后两位

的位置，使之所成的两位数能被4整除，即得符

合爸爸要求的最大的8位数98765412。类似地，

弃去9再从小到大排列并使最后两位所成的两位

数能被4整除，得到最小的12345768。

伸手指说数

下课了，同学们经常会玩一种伸手指说数的游

戏。这种游戏规则是这样的：两人各伸出一只手，

一只手只有5个指头，任意出几个指头。一边出

手，一边说数，如果谁说的数正好等于两个人伸

出的指头数的和，谁就算赢。有人认为，这完全

没有规律，赢都是靠运气，双方赢的机会相同。

其实，仔细分析，其中还和学过的数学知识密切

相关呢。

下面先分析甲出0时的情况，乙可能出0、1、2、

3、4、5，和就是乙出的手指数；

甲出1时，乙可能出0、1、2、3、4、5中的任

意一个，出不同的手指，和也不同，最后的和是

乙每次出的手指数加1。

甲乙两人手指的组合形式，还有以下24种：

甲出2，乙出0、1、2、3、4、5，和是2、3、4、

5、6、7；

甲出3，乙出0、1、2、3、4、5，和是3、4、5、

6、7、8；

甲出4，乙出0、1、2、3、4、5，和是4、5、6、

7、8、9；

甲出5，乙出0、1、2、3、4、5，和是5、6、7、

8、9、10。

从上面我们可以看出，在这些组合中，指头和

为0、10的情况各一种；和为1、9的各两种；和

为2、8的各3种；和为3、7的各4种；和为4、6

的各5种，和为5的共6种。可见，和为5的组合最

多，也就是说，说5赢的机会相对较多。因为不

管对方出几个指头，你都可以和它凑成和为5。

除此之外说别的数则不然，比如说2，对方要出2

个以上指头，你怎么出也不行；再如说8，对方

要出8个以下指头，你怎么也无济于事。

你看，数学到处都有，只要你留心，在你的身

边处处都可以用到数学知识。