时间的沙漏

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应用力学原理分析沙漏重量随时间变化

关系

沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置，它由两个玻璃球

和一个狭窄的连接管道组成的。通过充满了沙子的玻璃球从上面

穿过狭窄的管道流入底部玻璃球所需要的时间来对时间进行测

量。但沙漏在运行时的重量却不是保持不变的，沙子正在下落的

部分使其变轻，而沙子对底部的撞击却会使其变重，本文将对此

问题展开研究，详细解释沙漏工作过程中其重量变化的问题。

1理论分析

当沙漏工作时沙子会从上部的锥形瓶通过狭窄的通道进入

下部的锥形瓶，可按照其工作顺序逐步将其分解为六个阶段，除

此以外，为了对沙漏工作时的重量和时间的关系进行分析，建立

以下三点假设：（1）沙子的体积相较于锥形瓶的体积足够小。（2）

沙子落入下部锥形瓶后将均匀分散于底部，即忽略其形成的锥形

沙堆的影响。（3）沙子下落的初速度为零，且沙子下落时均匀连

续。

用M表示整个沙漏的质量，D和H分别表示沙漏中间部位

的直径和到底部的高度，ρ表示沙子的密度T表示沙子下落的时

间，Fi表示第i阶段沙漏重量。

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1.1第一阶段与第二阶段

第二阶段是沙漏开始工作，沙子刚好开始下落，但没有落到

底部的过程。此时可将下落的沙子看作是下落的圆柱。设沙子经

过时间T=t1落到底部，沙子末端下落的速度为u，下落过程中

沙子的质量为m。则根据牛顿第二定律可以求出

所以当下落时间为t时，有质量为m的沙子处于完全失重

的状态，此时沙漏整体的重量为

可以看出第二阶段沙漏的重量小于静止时候的重量，且随着

时间的增加会不断减小。

1.2第三阶段与第四阶段

第三阶段是从沙子接触到漏斗底部到这部分刚接触底部的

沙子速度变为零的过程。当沙子刚好接触漏斗底部时，时间为t1，

用F2end表示第二阶段末尾时沙漏重量，将（2）带入（7）中得

由于第三阶段时间极短，所以可将第三阶段看作是沙漏重量

突变的过程，沙漏重量由小于Mg突变到大于Mg。

第四阶段则是从“第一批”落到底部的沙子速度变为零的时

刻开始到沙漏上半部沙子全部漏出去的时刻。由于第四阶段沙漏

所处的状态与第三阶段末尾时刻沙漏所处状态相同，所以

此阶段沙漏重量为常数，保持不变且大于沙漏静止时重量。

沙漏工作时大部分时间处于第四阶段。

1.3第五阶段与第六阶段

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第五阶段是从沙漏上半部分沙子刚好完全流出，到沙子全部

都落到底部速度减为零的过程。这个阶段沙漏的重量同第四阶段

相比，不同之处在于处于下落过程中的沙子在随时间减少。即与

第二阶段正好相反（此阶段越来越多的沙子处于失重状态），沙

子逐渐落到底部，处于失重状态的沙子逐渐减少，由于下落失去

的重量又“回来了”，且重量“恢复”的速率与第二阶段重量减少的

速率相同。此时沙漏的重量F5即为第四阶段重量加上逐渐恢复

的重量。用t2表示第五阶段开始的时刻，则恢复的重量为

第六阶段即为沙漏中沙子全部到达底部之后的阶段，此时沙

漏处于静止状态，重量

2实验与讨论

沙漏中沙子落下后，会在底部形成一个“沙堆”，后续沙子下

落的高度会逐渐减小，且沙子落下后会从“沙堆”上滚落，速度并

不會立即变为零，这将会对实验带来一些误差，所以为了尽可能

使实验趋于理想情况，制做了一个可以调节高度的沙漏，如图5。

实验时将沙漏高度调到最大，漏沙口距离沙漏底部13.97cm，增

大沙子落下的速率，以此减小“沙堆”对实验产生的影响。实验时

是用密度为2.17g/cm3的食用盐来代替沙子，沙漏（不含食盐）

的总重为36.0g。

由于沙漏重量的变化不是很大，即使对于一个很大的120厘

米高的装置，在10秒钟内排空，重量的最大变化也只有49毫

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克。所以不能用通常的物理实验室设备测量。因此使用更精密的

分析天平来测量沙漏的重量，开始称重之前，将分析天平与电脑

连接，通过超级终端将动态的沙漏重量导入到电脑中。实验开始

时将139.7g的食用盐装入装置中，将沙漏放好后，打开沙漏的

漏沙口，让沙漏自由工作，沙漏完全静止后停止称重，将称得的

沙漏重量数据绘制成图，得到沙漏工作过程中实际重量的变化曲

线（图4右）。再将实验过程中的相关参数带入上述理论分析得

到的结论中，用绘图软件绘制了沙漏重量变化的理想曲线。通过

实验曲线与理想曲线的对比，可以看出，实际沙漏工作时重量的

变化与理论分析得到的沙漏重量变化拟合良好，验证出上述理论

分析正确。