布拉美古塔定理

1．中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有)(22222BPAPACAB；

中线长：

2

22222acb

m

a





2．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，则

AC

AB

DC

BD



；（外角平分线定理）

3．正弦定理：

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin



，（其中R为三角形外接圆半径）

4．余弦定理：Cabbaccos2222

5．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一

边作垂线，其延长线必平分对边

6．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，

即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立)．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD

7．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，

则有：MP=QM．

8．欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则

d2=R2－2Rr．

9．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．

10．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；

)

3

,

3

(CBACBA

yyyxxx

G



重心性质：①设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则

1:2:GDAG

；

②设G为△ABC的重心，则

ABCACGBCGABG

SSSS





3

1

③设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交AB于P，交

BC于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则

2;

3

2



AB

KH

CA

FP

BC

DE

AB

KH

CA

FP

BC

DE

④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GCGBGA最小；

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△ABC的

重心）．

11．垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍

（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；

（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；

（4）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，HCABCOABHCBOHACBAO,,

12．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等

内心性质：（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然

（2）设I为△ABC的内心，则

CAIBBAICABIC

2

1

90,

2

1

90,

2

1

90

13．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；

外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等

（2）设O为△ABC的外心，则

ABOC2

或

ABOC2360

（3）





S

abc

R

4

；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和

14．三角形面积公式

CBAR

R

abc

CabahS

aABC

sinsinsin2

4

sin

2

1

2

1

2



))()((cpbpapppr

，

其中

a

h表示

BC

边上的高，

R

为外接圆半径，r为内切圆半径，

)(

2

1

cbap

19·斜率公式

①21

21

yy

k

xx







（

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy）.

②k=tanα(α为直线倾斜角）

20·两条直线的平行和垂直

(1)若

111

:lykxb，

222

:lykxb

①

121212

||,llkkbb;

②

1212

1llkk

.

21·点到直线的距离

00

22

||AxByC

d

AB







(点

00

(,)Pxy,直线l：

0AxByC

).