直线的方程

直线的一般式方程

[学习目标]1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、

B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程

不同形式的转化.

知识点直线的一般式方程

1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一

次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不

同时为0)叫做直线方程的一般式.

2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－

A

B

，在y轴上的截距为－

C

B

；当B＝0时，

在x轴上的截距为－

C

A

；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－

C

A

，－

C

B

.

3.直线一般式方程的结构特征

(1)方程是关于x，y的二元一次方程.

(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.

(3)x的系数一般不为分数和负数.

*

(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.

思考(1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么

(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗

答(1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；

当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.

故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代

表直线.

(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，

直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.

题型一直线的一般形式与其他形式的转化

例1(1)下列直线中，斜率为－

4

3

，且不经过第一象限的是()

·

＋4y＋7＝0＋3y＋7＝0

＋3y－42＝0＋4y－42＝0

(2)直线3x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于()

B.－5D.－33

答案(1)B(2)D

解析(1)将一般式化为斜截式，斜率为－

4

3

的有：B、C两项.

又y＝－

4

3

x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，

所以只有B项正确.

(2)令y＝0则x＝－33.

,

跟踪训练1一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直

线方程.

解设所求直线方程为

x

a

＋

y

b

＝1，

∵点A(－2,2)在直线上，∴－

2

a

＋

2

b

＝1.①

又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，

∴

1

2

|a|·|b|＝1.②

由①②可得









a－b＝1，

ab＝2，

或









a－b＝－1，

ab＝－2.

解得









a＝2，

b＝1，

或









a＝－1，

b＝－2.

第二个方程组无解.

故所求直线方程为

x

2

＋

y

1

＝1或

x

－1

＋

y

－2

＝1，

即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.

【

题型二直线方程的应用

例2已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：

(1)过点(－1,3)，且与l平行；

(2)过点(－1,3)，且与l垂直.

解方法一l的方程可化为y＝－

3

4

x＋3，

∴l的斜率为－

3

4

.

(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－

3

4

.

又∵l′过点(－1,3)，

由点斜式知方程为y－3＝－

3

4

(x＋1)，

即3x＋4y－9＝0.

|

(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为

4

3

，又l′过点(－1,3)，

由点斜式可得方程为y－3＝

4

3

(x＋1)，

即4x－3y＋13＝0.

方法二(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m

＝－9.

∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.

(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.

将(－1,3)代入上式得n＝13.

∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.

跟踪训练2a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.

%

(1)平行；(2)垂直.

解当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；

当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝

－1＋a

2

，b1＝2；

直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝

1

a

，b2＝－

1

a

.

(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，

得

1

a

＝

－1＋a

2

，a≠－

1

2

，

解得a＝－1或a＝2.

所以当a＝－1或2时，两直线平行.

(2)当两直线垂直时，由k1·k2＝－1，

即

1

a

·

－1＋a

2

＝－1，解得a＝

1

3

.

<

所以当a＝

1

3

时，两直线垂直.

题型三由含参一般式方程求参数的值或取值范围

例3(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足______.

(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.

①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.

(1)答案m≠－3

解析若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.

解方程组









m2＋5m＋6＝0，

m2＋3m＝0，

得m＝－3，

所以m≠－3时，方程表示一条直线.

(2)解①因为已知直线的倾斜角为45°，

(

所以此直线的斜率是1，

所以－

2m2＋m－3

m2－m

＝1，

所以









m2－m≠0，

2m2＋m－3＝－m2－m，

解得









m≠0且m≠1，

m＝－1或m＝1.

所以m＝－1.

②因为已知直线在x轴上的截距为1，

令y＝0得x＝

4m－1

2m2＋m－3

，

所以

4m－1

2m2＋m－3

＝1，

所以









2m2＋m－3≠0，

4m－1＝2m2＋m－3，

解得









m≠1且m≠－

3

2

，

m＝－

1

2

或m＝2.

所以m＝－

1

2

或m＝2.

(

跟踪训练3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.

(1)证明直线方程变形为y－

3

5

＝a













x－

1

5

，

它表示经过点A











1

5

，

3

5

，斜率为a的直线.

∵点A











1

5

，

3

5

在第一象限，

∴直线l必过第一象限.

(2)解如图所示，直线OA的斜率k＝

3

5

－0

1

5

－0

＝3.

∵直线不过第二象限，

。

∴直线的斜率a≥3.

∴a的取值范围为[3，＋∞).

一般式求斜率考虑不全致误

例4设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－(2m－6)＝0，若此直线的斜率为1，

试确定实数m的值.

分析由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分

母不为0.

解由题意，得











－

m2－2m－3

2m2＋m－1

＝1，①

2m2＋m－1≠0.②

由①，得m＝－1或m＝

4

3

.

?

当m＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；

当m＝

4

3

时，②式成立，符合题意.

故m＝

4

3

.

1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为()

≠0≠0·B≠0＋B2≠0

2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

）

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

3.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()

－2y－1＝0－2y＋1＝0

＋y－2＝0＋2y－1＝0

4.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于()

A.－1D.－

1

2

5.已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a＝________.

《

一、选择题

1.直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是()

°°D.－1

2.直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为()

A.－2C.－3

3.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则()

＝0，B>0>0，B>0，C＝0

<0，C＝0>0，C＝0

（

4.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于()

A.－3D.－

1

3

5.直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点()

A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)

6.若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是()

≠±1≠1，a≠2

≠－1≠±1，a≠2

7.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致

是()

~

二、填空题

8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.

9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.

10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.

11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，

P2(a2，b2)的直线方程为________________.

三、解答题

12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.

:

—

13.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.

(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝

0互相垂直

、

当堂检测答案

1.答案D

解析方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.

2.答案C

解析由ax＋by＝c，得y＝－

a

b

x＋

c

b

，

|

∵ab<0，∴直线的斜率k＝－

a

b

>0，

直线在y轴上的截距

c

b

<0.

由此可知直线通过第一、三、四象限.

3.答案A

解析由题意，得所求直线斜率为

1

2

，且过点(1,0).故所求直线方程为y＝

1

2

(x－1)，即x－

2y－1＝0.

4.答案B

解析由两直线垂直，得

1

2

×













－

2

m

＝－1，解得m＝1.

5.答案－3或1

解析两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，所以

a

3

＝

1

a＋2

≠

－2

1

，解得a＝

－3或a＝1.

>

课时精练答案

一、选择题

1.答案B

解析直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选

B.

2.答案D

解析由已知得m2－4≠0，且

2m2－5m＋2

m2－4

＝1，

解得：m＝3.

3.答案D

】

解析通过直线的斜率和截距进行判断.

4.答案D

解析由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay

＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－

1

3

.

5.答案A

解析由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3).所以直线必过点(3,2).

6.答案A

解析因为直线x＋ay＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x＋y＝0，x－y＝0两直线平

行就能构成三角形.所以a≠±1.

7.答案C

解析将l1与l2的方程化为斜截式得：

y＝ax＋b，y＝bx＋a，

【

根据斜率和截距的符号可得选C.

二、填空题

8.答案

3

5

解析由两直线垂直的条件，得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝

3

5

.

9.答案2

解析线段AB的中点为(1,1)，则m＋3－5＝0，即m＝2.

10.答案(－∞，－

1

2

)∪(0，＋∞)

解析当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；

当a≠－1时，直线l的斜率为－

a

a＋1

，

只要－

a

a＋1

>1或者－

a

a＋1

<0即可，

、

解得－1

1

2

或者a<－1或者a>0.

综上可知，实数a的取值范围是

(－∞，－

1

2

)∪(0，＋∞).

11.答案2x＋3y＋4＝0

解析由条件知









2a1＋3b1＋4＝0，

2a2＋3b2＋4＝0，

易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4

＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求.

三、解答题

12.解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为0，当然相等，所以a＝2，

方程即为3x＋y＝0.

当a≠2时，截距存在且均不为0，

所以

a－2

a＋1

＝a－2，即a＋1＝1.

{

所以a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.

(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，

所以









－a＋1＞0，

a－2≤0

或









－a＋1＝0，

a－2≤0，

所以a≤－1.

综上，a的取值范围是a≤－1.

13.解方法一(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，

l2：mx＋3y－2＝0知：

①当m＝0时，显然l1与l2不平行.

②当m≠0时，l1∥l2，需

2

m

＝

m＋1

3

≠

4

－2

.

解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.

(2)由题意知，直线l1⊥l2.

①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直.

②若2a＋3＝0，即a＝－

3

2

时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直.

③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－

a＋2

1－a

，k2＝－

a－1

2a＋3

.

当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，

即(－

a＋2

1－a

)·(－

a－1

2a＋3

)＝－1，

∴a＝－1.

综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.

方法二(1)令2×3＝m(m＋1)，

解得m＝－3或m＝2.

当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，

显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.

同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，

显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.

∴m的值为2或－3.

(2)由题意知直线l1⊥l2，

∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，

解得a＝±1，

将a＝±1代入方程，均满足题意.

故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.

: