勾股弦

勾股定理逆定理八种证明方法(总

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证法1

作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在

一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.）。过点C作

AC的延长线交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF≌RtΔEBD，

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠BED+∠GEF=90°，

∴∠BEG=180°―90°=90°

又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG是一个边长为c的正方形。

∴∠ABC+∠CBE=90°

∵RtΔABC≌RtΔEBD，

∴∠ABC=∠EBD.

∴∠EBD+∠CBE=90°即∠CBD=90°

又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，BC=BD=a.

∴BDPC是一个边长为a的正方形。

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则

证法2

3

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一

个边长为c的正方形。斜边长为c.再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、

C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作

BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA=90°，QP∥BC，

∴∠MPC=90°，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP=90°，

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°。

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，

∴∠，

又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即

证法3

作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼

成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90°，

∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，

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∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ，

∵∠BCJ+∠CBJ=90°，

∴∠ABG+∠CBJ=90°，

∵∠ABC=90°，

∴G,B,I,J在同一直线上，

。

证法4

作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B

三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE

于点L.

∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，

∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.

∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴即

证法5

5

《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以

下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线

至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面

积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如

下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全

等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意

一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长

的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同

等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证

明如下：设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和

CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行

线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三

角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是线性对应

的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。

因为AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须相等于△FBC。因为A与K

和L是线性对应的，所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G

有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形BDLK必须

有相同的面积BAGF=AB²；。同理可证，四边形CKLE必须有相同的面积

ACIH=AC2；。把这两个结果相加，AB2;+AC2;;=BD×BK+KL×KC。由于

BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由于CBDE是个正方形，因

此AB2;+AC2;=BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第节所提出的

证法6（欧几里得（Euclid）射影定理证法）

6

如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高通过证明三角形相

似则有射影定理如下：

⑴（BD）2;=AD·DC，

⑵（AB）2;=AD·AC，

⑶（BC）2;=CD·AC。由公式⑵+⑶得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC=

（AD+CD）·AC=（AC）2；，图1即（AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就

是勾股定理的结论。图1

证法6

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三

角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间

懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：4×

（ab/2）+（b-a）2;=c2；化简后便可得：a2;+b2;=c2;亦即：

c=(a2;+b2;)1/2勾股定理的别名勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明

珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的

应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研

究，因此有许多名称。中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国

古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为

股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记

载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅

五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓

积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学

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者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，

勾、股各乘并开方除之得邪至日。在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定

理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。在陈子后一二百年，希腊的著名

数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达

哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供

奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．前任美国第二十届总统伽菲

尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。

1周髀算经，文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。

2.陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於《汉学研

究》，1989年第7卷第1期，255-281页。

3.李国伟：论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史

研讨会汇刊》，台湾，1991年7月，227-234页。

4.李继闵：商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1

期，29-41页。

5.曲安京：商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於《数学传播》20卷，

台湾，1996年9月第3期，20-27页

证法7

达芬奇的证法

三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后

仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相

等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这

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么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又

因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。

然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，

因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三

中角A'和角D'都是直角。

证明：第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形

CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S

正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'因为S1=S2

所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'

又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF

所以OF2+OE2=E'F'2

因为E'F'=EF

所以OF2+OE2=EF2勾股定理得证。

证法8

从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：

b(a+b)=1/2c2;+ab+1/2(b+a)(b-a)矩形面积=（中间三角形）+（下

方）2个直角三角形+（上方）1个直角三角形。（简化）2ab+2b2;=c2;

+b2;-a2;+2ab2b2;-b2;+a2;=c2;a2;+b2;=c2;

注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。