高中数学必修二

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第一章：空间几何体

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

一、教学目标

1•知识与技能

(1)通过实物操作，增强学生的直观感知。

(2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

(3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

(4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2.过程与方法

(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3•情感态度与价值观

(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

(2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点

重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具

(1)学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

(2)实物模型、投影仪

四、教学思路

(一)创设情景，揭示课题

1•教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？

这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给

予评价。

2•所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，(展示具有柱、锥、台、球结构

特征的空间物体)，你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的容。

(二)、研探新知

1•引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2•观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共

同特点是什么?

3•组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱

柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻

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两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。

4•教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

5•提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？

请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基

本几何体组成的？

6•以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以

及表示。

7•让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆

柱的表示。

8•弓I导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型

演示引导学生思考、讨论、概括。

（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。

1•有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）

2•棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？

3.课本P8，习题1.1A组第1题。

4•圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如

何旋转？

5•棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？

四、巩固深化

练习：课本P7练习1、2（1）（2）

课本P8习题1.1第2、3、4题

五、归纳整理

由学生整理学习了哪些容

六、布置作业

课本P8练习题1.1B组第1题

课外练习课本P8习题1.1B组第2题

教学反思：

1.2.1空间几何体的三视图（1课时）

、教学目标

1•知识与技能

（1）掌握画三视图的基本技能

（2）丰富学生的空间想象力

2.过程与方法

主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

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3.情感态度与价值观

（1）提高学生空间想象力

（2）体会三视图的作用

二、教学重点、难点

重点：画出简单组合体的三视图

难点：识别三视图所表示的空间几何体

三、学法与教学用具

1.学法：观察、动手实践、讨论、类比

2.教学用具：实物模型、三角板

四、教学思路

（一）创设情景，揭开课题

“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，真实反映出

物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。

在初中，我们已经学习了体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能

画出空间几何体的三视图吗？

（二）实践动手作图

1.讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨

论；

2.教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图

（1）画出球放在长方体上的三视图

（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图

学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。

作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。

3.三视图与几何体之间的相互转化。

（1）投影出示图片（课本P10,图1.2-3）

请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？

（2）你能画出圆台的三视图吗？

（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？

教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。

4•请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。

（三）巩固练习

课本P12练习1、2P18习题1.2A组1

要比较

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（四）归纳整理

请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图

（五）课外练习

1.自己动手制作一个底面是形，侧面是全等的三角形的

棱锥模型，并画出它的三视图。

2.自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的

三视图

教学反思：

1.2.2空间几何体的直观图（1课时）

、教学目标

1•知识与技能

(1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

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(2)采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

2.过程与方法

学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

3.情感态度与价值观

(1)提高空间想象力与直观感受。

(2)体会对比在学习中的作用。

(3)感受几何作图在生产活动中的应用。

二、教学重点、难点

重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。

三、学法与教学用具

1.学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用

斜二测画法画空间几何体的过程。

2.教学用具：三角板、圆规

四、教学思路

(一)创设情景，揭示课题

1.我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱

把实物圆柱放在讲台上让学生画。

2.学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画

好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的容。

(二)研探新知

1.例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键

步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置

一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画

法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

练习反馈

根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。

2.例2,用斜二测画法画水平放置的圆的直观图

教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆

的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因

此需要自己构造出一些点。

教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。

3•探求空间几何体的直观图的画法

(1)例3,用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观

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图。

教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了

事。

(2)投影出示几何体的三视图、课本P15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体？并

用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同

学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。

4•平行投影与中心投影

投影出示课本P17图1.2-12，让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图

形的各自特点。

5.巩固练习，课本P16练习1(1),2,3,4

三、归纳整理

学生回顾斜二测画法的关键与步骤

四、作业

1.书画作业，课本P17练习第5题

2.课外思考课本P16，探究(1)(2)

教学反思：

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

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一、教学目标

1、知识与技能

（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关

系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法

（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。

（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。

3、情感与价值

通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的

积极性。

二、教学重点、难点

重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算

难点：台体体积公式的推导

三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何

体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：实物几何体，投影仪

四、教学设想

1、创设情境

（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公

式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。

（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开

图是怎样的？你能否计算？引入本节容。

2、探究新知

（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图

（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。

3、质疑答辩、排难解惑、发展思维

（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式：

Si台表面积(r'2r2r'lrl)

1

r为上底半径r为下底半径I为母线长

（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。

（2）组织学生分组讨

论：这三个图形的表面由哪些

平面图形构成？表面积如何

求？

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（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高

的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图：

（4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。

（s',s分别我上下底面面积,

4、例题分析讲解

（课本）例1、例2、例3

5、巩固深化、反馈矫正教师投影练习

a怦，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直

21

（答案：——:3am）3

2、棱台的两个底面面积分别是245c怦和80ctf,截得这个棱台的棱锥的高为35cm,

3

求这个棱台的体积。（答案：2325cm）

6、课堂小结

本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。用联系

的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。

7、评价设计

习题1.3A组1.3

径为

1、已知圆锥的表面积为

。

h为台柱高）

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教学反思：

第二章直线与平面的位置关系

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§2.1.1平面

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；

（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法

（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；

（2）让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值

使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点

重点：1、平面的概念及表示；

2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教

学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板

四、教学思想

（一）实物引入、揭示课题

师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，

你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的

活动给予评价。

师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的容。

（二）研探新知

1、平面含义

师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出

来的，但是，几何里的平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示

师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出

平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长（如图）

平面通常用希腊字母a、B、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点

或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打

出投影片）

课本P41图

平面有无数个点，

-A

-B

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点A在平面a,记作：A€a点B在平面a外，记作：B

2.1-4

3、平面的基本性质

教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面

(教师引导学生阅读教材P42前几行相关容，并加以解析)

符号表示为

A€L

B€L

A€a

B€a

=>La

公理1作用：判断直线是否在平面

公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：

A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面a,使A€a、B€a、C€a。

公理2作用：确定一个平面的依据。

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号

表示为：P€aA3=>aAj=L，且P€L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

4、教材P43例1

通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号

5、课堂练习：课本P44练习1、2、3、4

6、课时小结：(师生互动，共同归纳)

(1)本节课我们学习了哪些知识容？(2)三个公理的容及作用是什么?

7、作业布置

(1)复习本节课容;

(2)预习：同一平面的两条直线有几种位置关系?

教学反思:

层.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

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一、教学目标：

1、知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；

（5）异面直线所成角的定义、围及应用。

2、过程与方法

（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；

（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

3、情感与价值

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点

重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。难点：异面直线所成角的计算。

三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板

四、教学思想

（一）创设情景、导入课题

1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面的两条

直线叫做异面直线。

2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）

（二）讲授新课

1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线彳

?'

L平行直线：同一平面，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面，没有公共点。

教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图:

再联系其他相应实例归纳出公理4

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线

平行的依据。

例2的讲解让学生掌握了公理4的运用

（3）教材P47探究

让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。

3、组织学生思考教材P47的思考题

（投影）教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。教师强调：并非所有关于平

面图形的结论都可以推广到空间中来。

相交直线:

同一平面，有且只有一个公共点;

a//b

c//

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4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。

(1)师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点0作直线a'//a、b'//b，我们把

a'与b'所成的锐角(或直角)叫异面直线a与b所成的角(夹角)。

(2)强调：

①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为了简便，点0一般取在两直

线中的一条上；

②两条异面直线所成的角9€(0,J；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b;

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

(三)课堂练习

教材P49练习1、2

充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。

(四)课堂小结

在师生互动中让学生了解：

(1)本节课学习了哪些知识容？

(2)计算异面直线所成的角应注意什么？

(五)课后作业

1、判断题：

(1)a/bc丄a=>c丄b()

(1)a丄cb丄c=>a丄b()

2、填空题：

在体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有________________。

教学反思：

平面与平面之间的位置关系

一、教学目标：

1、知识与技能

(1)了解空间中直线与平面的位置关系;

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（2）了解空间中平面与平面的位置关系；

（3）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法

（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；

（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。

二、教学重点、难点

重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。

难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型

四、教学思想

（一）创设情景、导入课题

教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种

位置关系？（板书课题）

例4（投影）

师生共同完成例4

例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。

2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种

/亠护¥方

位置关糸：

（1）两个平面平行——没有公共点

（2）两个平面相交一一有且只有一条公共直线

用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新容，这两种位置关系用图形表示为

教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。教材P51探究

让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解教材P51练习

学生独立完成后教师检查、指导

（三）归纳整理、整体认识

教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。

（四）作业

1、让学生回去整理这三节课的容，理清脉络。

2、教材P52习题2.1A组第5题

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教学反思：

幺2.1直线与平面平行的判定

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理;

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（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；

2、过程与方法

学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。

3、情感、态度与价值观

（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；

（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。

二、教学重点、难点

重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。

三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。

2、教学用具：投影仪（片）

四、教学思想

（一）创设情景、揭示课题

引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么

样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的容。

2、例1引导学生思考后，师生共同完成

该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。

（三）自主学习、发展思维

练习：教材第57页1、2题

让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。

（四）归纳整理

1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？

直线a与平面a平行吗?

若a有直线b与a平行，

那么a与a的位置关系如何？

是否可以保证直线a与平面a平行?

学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面的一条直线平行,平行。

简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：

则该直线与此平面

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2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。

（五）作业

1、教材第64页习题2.2A组第3题；

2、预习：如何判定两个平面平行？

教学反思:

§.2.2平面与平面平行的判定

、教学目标:

1、知识与技能：理解并掌握两平面平行的判定定理。

2、过程与方法：让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。

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3、情感、态度与价值观：进一步培养学生空间问题平面化的思想。

二、教学重点、难点

重点：两个平面平行的判定。

难点：判定定理、例题的证明。

三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型

四、教学思想

（一）创设情景、引入课题

引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。

（二）研探新知

1、问题：

（1）平面B有一条直线与平面a平行，a、B平行吗？

（2）平面B有两条直线与平面a平行，a、B平行吗？

通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。

两个平面平行的判定定理：一个平面的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a3

b3

aAb=P3〃a•

a//a

b//a-

教师指出：判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2、例2引导学生思考后，教师讲授。

例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。

（三）自主学习、加深认识

练习：教材第59页1、2、3题。

学生先独立完成后，教师指导讲评。

（四）归纳整理、整体认识

1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？

2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。

（五）作业布置

第65页习题2.2A组第7题。

教学反思：

§2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；

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（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。

2、过程与方法

学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。

3、情感、态度与价值观

（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；

（2）进一步体会类比的作用；

（3）进一步渗透等价转化的思想。

二、教学重点、难点

重点：两个性质定理。

难点：（1）性质定理的证明；

（2）性质定理的正确运用。

三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型

四、教学思想

（一）创设情景、引入新课

1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）

学生思考、交流，得出

（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面的所有直线都与这个直线平行；

（2）直线a与平面a平行，过直线a的某一平面，若与平面a相交，则直线a就平行于这条交线。

在教师的启发下，师生共同完成该结论的证明过程。

于是，得到直线与平面平行的性质定理。

定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a//a■

a3a/b

aQ岁b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、例3培养学生思维，动手能力，激发学习兴趣。

例4性质定理的直接应用，它渗透着化归思想，教师应多做引导。

3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面的直线与另一个平面的直线具有什么样的位置关系？

学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。

再问：平面AC哪些直线与B'D'平行？怎么找？

在教师的启发下，师生

Word文档

共同完成该结论及证明过程，于是得到两个平面平行的性质定理。

定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示:

a〃BaAYa

3H=b

教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

4、例5

以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。

（三）自主学习、巩固知识

练习：课本第63页学生独立完成，教师进行纠正。

（四）归纳整理、整体认识

1、通过对两个性质定理的学习，大家应注意些什么？

2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？

（五）布置作业

课本第65页习题2.2A组第6题。

教学反思:

S.3.1直线与平面垂直的判定

、教学目标

Word文档

1、知识与技能

（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；

（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；

（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论。

2、过程与方法

（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；

（2）探究判定直线与平面垂直的方法。

3、情态与价值

培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。

二、教学重点、难点

直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

三、教学设计

（一）创设情景，揭示课题

1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地

面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师

对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地

面上的射影的位置关系引出课题容。

（二）研探新知

1•如果直线L与平面a的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面a互相垂直，记作

L丄a,直线L叫做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时它们唯一公共

点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。

图2-3-1

2、老师提出问题，让学生思考：

（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可

行的方法来判断直线和平面垂直呢？

（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图

△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（

BD、DC与

2.3-2试验：过

L

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桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？

图2.3-2

（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进

行合情推理，获得判定定理：

一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

老师特别强调：a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

（三）实际应用，巩固深化

（1）课本P69例1教学（2）课本P69例2教学

（四）归纳小结，课后思考

小结：采用师生对话形式，完成下列问题：

①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定

定理，体现的教学思想方法是什么？

课后作业：

①课本P70练习2

②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。

思考题：如果一条直线垂直于平面的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这

个结论对吗？为什么？

教学反思：

§2.3.2平面与平面垂直的判定

一、教学目标

1、知识与技能

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂

Word文档

直”的概念;

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；

（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法

（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值

通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中

激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点。

重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。

三、学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）

四、教学设计

（一）创设情景，揭示课题

问题1:平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2:在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们有什么

共同的特征？

（二）研探新知

1、二面角的有关概念

老师展示一纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上

问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）

角二面角

图形

顶点0边B

A

梭l

BM

定义

从平面一点出发的两条射线（半直

线）所组成的图形

从空间一直线出发的两个半平面所组

成的图形

构成射线一点（顶点）一一射线半平面一线（棱）一半平面

Word文档

表示/AOB二面角a-l-B或aAB-3

2、二面角的度量

面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面

角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准

备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面各作一射线（如图2.3-3），

通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

教师特别指出：

（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA丄L”,0B丄L;

（2）/AOB的大小与点0在L上位置无关；

（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？

承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，

获得两个平面互相垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

（三）应用举例，强化所学

例题：课本P.72例3

做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况,教师最后讲评并

板书证明过程。

（四）运用反馈，深化巩固

问题：课本P.73的探究问题

（五）小结归纳，整体认识（1）二面角以及平面角的有关概念；

（2）两个平面垂直的判定定理的容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系?

教学反思：

§、3.3直线与平面垂直的性质

§、3.4平面与平面垂直的性质

一、教学目标

1、知识与技能

做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。

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（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；

（2）能运用性质定理解决一些简单问题；

（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

2、过程与方法

（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；

（2）性质定理的推理论证。

3、情态与价值

通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑

推理能力。

二、教学重点、难点

两个性质定理的证明。

三、学法与用具

（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。

（2）用具：长方体模型。

四、教学设计

（一）创设情景，揭示课题

问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂

直呢？

让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们

一起来观察、研探。（自然进入课题容）

（二）研探新知

1、操作确认

观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—

11111111

ABCD中，棱AA、BB、CC、DD所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平

行）然后进一步迁移活动：已知直线a丄a、b丄a、那么直线a、b一

定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？

2、推理证明

引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法一一反证法,

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然后师生互动共同完成该推理过程，最后归纳得出:

垂直于同一个平面的两条直线平行。

（三）应用巩固

例子：课本P.74例4

做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。

（四）类比拓展，研探新知

类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一

条与地面垂直的直线？

引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑

板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。然后师生互动，共同完成性

质定理的确认与证明，并归纳性质定理：

两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

（五）巩固深化、发展思维

思考1、设平面a丄平面点P在平面a,过点P作平面B的垂线a,直线a与平面a具有什么位置关系？

（答：直线a必在平面a）

思考2、已知平面a、B和直线a,若a丄B,a丄B,aa,则直线a与平面a具有什么位置关系？

（六）归纳小结课后巩固

小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其容各是什么？

（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？

作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；

（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

教学反思:

第三章直线与方程

3.1.1直线的倾斜角和斜率

教学目标：知识与技能

(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

Word文档

(2)理解直线的倾斜角的唯一性.

(3)理解直线的斜率的存在性.

(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.情感态度与价值观

(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生

观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.

(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，

培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精

神.

重点与难点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式•

教学用具：计算机

教学方法：启发、引导、讨论•

教学过程：

(一)直线的倾斜角的概念

我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线•那么，经过一点P的直线I的位置能确定吗？如图，过一

点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见，答案是否定的•这些直线有什么联系呢？

(1)它们都经过点P.(2)它们的’倾斜程度’不同怎样描述这种’倾斜程度’的不同？引入直线的倾斜角的概

念：

当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角a叫做直线I的倾

斜角•特别地，当直线I与X轴平行或重合时，规定a=0°

冋：倾斜角a的取值围是什么？0°WaV「

当直线I与X轴垂直时，a=90°

因为平面直角坐标系的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我

们就可以用倾斜角a来表示平面直角坐标系的每一条直线的倾斜程度

如图，直线a//b//c,那么它们

的倾斜角a相等吗？答案是肯定的•所以一个倾斜角a不能确定一条直线.

Word文档

确定平面直角坐标系的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角a..

(二)直线的斜率：

一条直线的倾斜角a(a^90。)的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,

也就是

k=tana

⑴当直线I与x轴平行或重合时，a=0°,k=tanO°=0;

⑵当直线I与x轴垂直时，a=90°,k不存在.

由此可知，一条直线I的倾斜角a—定存在，但是斜率k不一定存在.

例如，a=45°时k=tan45°=1;

a=135°时k=tan135°tan(。一45°)=-tan45°-1.

学习了斜率之后，我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

(三)直线的斜率公式：

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1丰x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率？

可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，

共同完成斜率公式的推导.(略)

斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1)当X仁x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a=90°,直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分

子与分母不能交换；

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

⑷当y仁y2时，斜率k=0,直线的倾斜角a=0°，直线与x轴平行或重合.

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.

(四)例题:

例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是

锐角.(用计算机作直线,图略)

分析：已知两点坐标，而且x1工x2,由斜率公式代入即可求得k的值；

而当k=tana<0时，倾斜角a是钝角；

而当k=tana>0时，倾斜角a是锐角；

而当k=tana=0时，倾斜角a是0°

略解：直线AB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角a是锐角；

直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角a是钝角；

直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角a是锐角.

例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.分析:要画出

经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k=tan

a=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角再

把所作的这一边反向延长成直线即可.

略解：设直线a上的另外一点M的坐标为（x,y）,根据斜率公式有

仁（y-0）/（x—0）

所以x=y

可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为（1,1）.此时过原点和点

Word文档

M（1,1）,可作直线a.

同理，可作直线b,c,l.（用计算机作动画演示画直线过程）

（五）练习：P911.2.3.4.

（六）小结：

（1）直线的倾斜角和斜率的概念.

（2）直线的斜率公式.

（七）课后作业：P94习题3.11.3.

（八）板书设计：

§3.1.1……

1•直线倾斜角的概念3.例1..练习1练习3

2.直线的斜率

4.例2……练习2练习4

3.1.2两条直线的平行与垂直（）

教学目标

（一）知识教学

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直

（二）能力训练

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结

合能力.

（三）学科渗透

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式激发学生的学习兴

趣.

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用.

Word文档

难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题问题.

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况决好这

个问题.

教学过程

（一）先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念

表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公

式

•现在，我们来研究能否通过

两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.

讨论：两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜

角都为90。，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°,另

一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.

（二）两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直

设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两

条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的

问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？

首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果L1//L2（图1-29）,那么它们的倾斜角相等：

a1=边.（借助计算机，让学生通过度量，感知al，a的关系）

tgai=tga.

即k仁k2.

反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1=k2，那么tga仁tga.

由于0°WaV°,0°WaV°,

--a1=a2.

又•••两条直线不重合，

•••L1//L2.

结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那

么它们平行，即

注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果

k仁k2，那么一定有L1/L2;反之则不一定.

下面我们研究两条直线垂直的情形.

如果L1丄L2,这时a1^a2，否则两直线平行.

设a2Va1（图1-30），甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下

方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

a1=90°+a2.

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即a1M90°，所以代工0°.

反谜来，文哮;k]=-—,即kj*=-1,不失一般性.设0,

可以推出：a仁90°边.L1丄L2.

结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒

数，那么它们互相垂直，即

,转化为研究两条直线的斜率的关系

,在课堂上老师应提醒学生注意解

,而且知道，可以用倾斜角和斜率来

Word文档

注意：结论成立的条件•即如果k1k2=-1,那么一定有L1丄L2;反之则不一定.

(借助计算机，让学生通过度量，感知k1,k2的关系，并使L1(或L2)转动起来，但仍保持L1丄L2,观察k1,

k2的关系，得到猜想，再加以验证•转动时，可使al为锐角，钝角等).

例题

例1已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的

结论•

分析：借助计算机作图，通过观察猜想：BA//PQ,再通过计算加以验证•(图略)

解：直线BA的斜率k仁(3-0)/(2-(-4))=0.5,

直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,

因为k仁k2=0.5,所以直线BA/PQ.

例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形

ABCD的形状，并给出证明•(借助计算机作图，通过观察猜想：四边形ABCD是平行四边形，再通过计算加以验

证)

解同上•

例3已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系•解：直线AB的斜率k仁

(6-0)/(3-(-6))=2/3,

直线PQ的斜率k2=(6-3)(-2-0)=-3/2,因为k1k2=-1所以AB丄PQ.

例4已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),试判断三角形ABC的形状•

分析：借助计算机作图，通过观察猜想：三角形ABC是直角三角形，其中AB丄BC,再通过计算加以验

证•(图略)

课堂练习

P94练习1.2.

课后小结

(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件，判定两

条直线平行或垂直.

(3)应用直线平行的条件，判定三点共线.布置作业

P94习题3.15.8.

板书设计

Word文档

§1-9两条宜繼旳平疔占垂宜

两育犠平fT

两肓抵幸育

例1

PU3

例2例4

321直线的点斜式方程

一、教学目标

1、知识与技能

（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用围；

（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系•

2、过程与方法

在已知直角坐标系确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探

讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3、情态与价值观

通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普

遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

三、教学设想

问题设计意图师生活动

1、在直线坐标系确疋条直线，使学生在已有学生回顾，并回答。然后教师指

应知道哪些条件？

知识和经验的基础

上，探索新知。

出，直线的方程，就是直线上任意一点

的坐标（x,y）满足的关系式。

2、直线l经过点P0（xo,y。），且

培养学生自主学生根据斜率公式，可以得到，

探索的能力，并体

yV。

当xX。时，kyy，即

斜率为k。设点P（x,y）是直线1

会直线的方程，就

是直线上任意一XX。

上的任意一点，请建立x,y与

点的坐标（x,y）yy。k（xx。）（1）

k,x0,y0

之间的关系。

满足的关系式，从教师对基础薄弱的学生给予关

而掌握根据条件注、引导，使每个学生都能推导出

求直线方程的方法。

这个方程。

3、（1）过点Po（Xo,y。），斜率

是

k的直线1上的点，其坐标都满足

使学生了解方程为

直线方程必须满两个

条件。

学生验证，教师引导。

Word文档

方程（1）吗？

问题设计意图师生活动

（2）坐标满足方程（1）的点都在

经过Po（Xo,yo）,斜率为k的直线

l上吗？

使学生了解方程为

直线方程必须满两个

条件。

学生验证，教师引导。然后教师指出

方程（1）由直线上一定点及其斜率确

定，所以叫做直线的点斜式方程，简称

点斜式（pointslopeform）.

4、直线的点斜式方程能否表示坐标平

面上的所有直线呢？

使学生理解直线的点

斜式方程的适用围。

学生分组互相讨论，然后说明理由。

5、（1）X轴所在直线的方程是什

么？y轴所在直线的方程是什么？

（2）经过点F0（Xo,y。）且平行于

x轴（即垂直于y轴）的直线方程是什

么？

（3）经过点Po（Xo,yo）且平行于

y轴（即垂直于x轴）的直线方程是什

么？

进一步使学生理解

直线的点斜式方程的

适用围，掌握特殊直

线方程的表示形式。

教师学生引导通过画图分析，求得问

题的解决。

6、例1的教学。

学会运用点斜式方程

解决问题，清楚用点斜

式公式求直线方程必

须具备的两个条件：

（1）一个定点；

（2）有斜率。同

时掌握已知直线方程

画直线的方法。

教师引导学生分析要用点斜式求直

线方程应已知那些条件？题目那些条件

已经直接给予，那些条件还有待已去

求。在坐标平面，要画一条直线可以怎

样去画。

7、已知直线l的斜率为k，且与

y轴的交点为（0,b），求直线l的方

程。

引入斜截式方程，

让学生懂得斜截式方

程源于点斜式方程，

是点斜式方程的一种

特殊情形。

学生独立求岀直线1的方程：

ykxb（2）

再此基础上，教师给出截距的概

念，引导学生分析方程（2）由哪两个条

件确定，让学生理解斜截式方程概念的

涵。

8、观察方程ykxb，它的

形式具有什么特点？

深入理解和掌握

斜截式方程的特点？

学生讨论，教师及时给予评价。

Word文档

问

题设计意图师生活动

9、直线y

kxb在x轴上的

使学生理解

“截距”与“距离”

两

学生思考回答，教师评价。

截距是什么？

个概念的区别。

10、你如何从直线方程的角度认

体会直线的斜

学生思考、讨论，教师评价、归纳

识一次函数ykxb?一次函

截式方程与一次函数

的关系•

概括。

数中k和b的几何意义是什么？你

能说出一次函数

y2x1,y3x,yx3

图象的特点吗？

11、例2的教学。掌握从直线方

教师引导学生分析：用斜率判断

程的角度判断两两条直线平行、垂直结论。思考（1）

条直线相互平行，或

相互垂直；进一

11//12

时，k1,k2;b1,b2

有何关

步理解斜截式方

系？（2）hI2时，匕*2山1山2

程中k,b的几何

有何关系？在此由学生得出结论：

意义。

11//12k1k2,且b1b2

；

1112k1k21

12、课堂练习第100页练习第1，巩固本节课所学学生独立完成，教师检查反馈。

2，3，4题。过的知识。

13、小结使学生对本节课教师引导学生概括：（1）本节课我

所学的知识有一们学过那些知识点；（2）直线方程

个整体性的认识，的点斜式、斜截式的形式特点和适

了解知识的来龙用围是什么？（3）求一条直线的

去脉。方程，要知道多少个条件？

14、布置作业:第106页第1题巩固深化学生课后独立完成。

的（1）、（2）、

（3）和第3、5题

322直线的两点式方程

一、教学目标

1、知识与技能

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用围；

（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特

点。

3、情态与价值观

Word文档

(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化;

(2)培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

1、重点：直线方程两点式。

2、难点：两点式推导过程的理解。

三、教学设想

问题设计意图师生活动

1、利用点斜式解答如下问遵循由浅及教师引导学生：根据已有的知识，要求

题：深，由特殊直线方程，应知道什么条件？能不能把问

到一般的认题转化为已经解决的问题呢？在此基础

(1)已知直线1经过两点

知规律。使上，学生根据已知两点的坐标，先判断是

学生在已有否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而

R(1,2),P2(3,5),求直线1的方

的知识基础可求出直线方程：

程•上获得新结3

(2)已知两点论，达到温

(1)y2-(X1)

故知新的目2

P1(

X1,X2),P2(X2,y2)其中

的。

y2y1

y*-——(x)

(X1X2,%丫2)，求通过这

X2X1

两点的直线方程。

教师指出：当yy时，方程可以写成

yy1X

------------------(X1hy2)

y2y1X2X1

由于这个直线方程由两点确定，所以我们

把它叫直线的两点式方程，简称两点式

(two-pointform).

使学生懂得教师引导学生通过画图、观察和分析，

2、右点P|(X1,X2),P2(X2,y2)两占式的话

六V、丄JHJ发现当X1X2

时，直线与X轴垂直，所

中有X

1

X

2

，或y1y2

，此

知的两点不

以直线方程为：XX

1

；当y1y2

时，

时这两点的直线方程是什么？满足两点式

的条件时它

的方程形

直线与y轴垂直，直线方程为：yy1

。

式。

问题设计意图师生活动

3、例3教学使学生学会教师引导学生分析题目中所给的条件有什

已知直线l与X轴的交点为

用两点式求

直线方程；

么特点？可以用多少方法来求直线l的方

理解截距式程？那种方法更为简捷？然后由求出直线

A(a,0),与y轴的交点为

源于两点方程：

式，是两点

B(0,b)，其中a0,b0,

式的特殊情

八1

形。

ab

Word文档

求直线1的方程。

教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概

念。

4、例4教学

已知三角形的三个顶点A（-5，

0），B（3，-3），C（0，2），求

BC边所在直线的方程，以及该边上中线

所在直线的方程。

让学生学会

根据题目中所

给的条件，选

择恰当的直线

方程解决问

题。

教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，

选择恰当方法求出边BC所在的

直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础

上，学生交流各自的作法，并进行比较。

5、课堂练习

第102页第1、2、3题。

学生独立完成，教师检查、反馈。

6、小结

增强学生对直

线方种四种形

式（点斜式、

斜截式、两点

式、截距式）

互相之间的联

系的理解。

教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线

方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关

系？

（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条

件？

7、布置作业

巩固深化，培

养学生的独立

解决问题的能

力。

学生课后完成

323直线的一般式方程

一、教学目标

1、知识与技能

（1）明确直线方程一般式的形式特征；

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、过程与方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

1、重点：直线方程的一般式。

2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。

三、教学设想

问题设计意图师生活动

Word文档

1、（1）平面直角坐标系中的每一

使学生理解直线和

二元一次

教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题

（1），即直线存在斜率和直

Word文档

条直线都可以用一个关于x,y

方程的关系。

线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元

一次方程。对于问题(2)，教

的二兀一次方程表示吗？师引导学生理解要判断某一个方程是

(2)每一个关于x,y的二元一

否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转

化为直线方程的某种形式。为此

次方程AxByC0(A，

要对B分类讨论，即当B0时和当

B不冋时为0)都表示条直线B=0时两种情形进行变形。然后由学生

吗？去变形判断，得出结论：

关于x,y的二兀一次方程，它都表

示条直线。

教师概括指出：由于任何一条直线都

可以用一个关于x,y的二兀一次方程

表示；同时，任何一个关于x,y的二

兀次方程都表示条直线。

我1们于把关于关」£y的J—丿元

次方程AxByC0(A,B不

冋时为o)叫做直线的一般式方程，简称一般

式(generalform).

2、直线方程的一般式与其他几种使学生理解直学生通过对比、讨论，发现直线方程

形式的直线方程相比，它有什么线方程的一般的一般式与其他形式的直线方程的一

优点？式的与其他形个不同点是：

问题设计意图师生活动

式的不同点。

直线的一般式方程能够表示平面上的所有直

线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能

表示与x轴垂直的直线。

3、在方程AxByC0

使学生理解二

元一次方程的

系数和常数项

教师引导学生回顾前面所学过的与

中，A,B,C为何值时，方程表

x轴平行和重合、与y轴平行和重合的

示的直线对直线的位置直线方程的形式。然后由学生自主探索

(1)平行于x轴；(2)平行于y

的影响。得到问题的答案。

轴；(3)与x轴重合；(4)与y

重合。

4、例5的教学使学生体会学生独立完成。然后教师检查、评价、

已知直线经过点A(6,-4),把直线方程的反馈。指出：对于直线方程的一般式，

点斜式转化为一般

式，把握直

一般作如下约定：一般按含x项、含y

Word文档

4

斜率为一，求直线的点斜式和

3

一般式方程。

线方程一般式的特

点。

项、常数项顺序排列；X项的系数为正；x,

y的系数和常数项一般不出现分数；无特加要

时，求直线方程的结果写成一般式。

5、例6的教学使学生体会直先由学生思考解答，并让一个学生上

把直线|的一般式方程

线方程的一般黑板板书。然后教师引导学生归纳出由

式化为斜截式，直线方程的一般式，求直线的斜率和截

x2y60化成斜截式，

和已知直线方距的方法：把一般式转化为斜截式可求

求出直线l的斜率以及它在x轴

程的一般式求直线

的斜率和

出直线的斜率的和直线在y轴上的截

与y轴上的截距，并画出图形。

截距的方法。

距。求直线与X轴的截距，即求直线与X轴

交点的横坐标，为此可在方程中令

y=0，解出x值，即为与直线与x轴

的截距。

在直角坐标系中画直线时，通常找出直

线下两个坐标轴的交点。

6、二兀一次方程的每一个解与坐使学生进一步学生阅读教材第105页，从中获得对

标平面中点的有什么关系？直线理解二元一次问题的理解。

与二兀一次方程的解之间有什么方程与直线的

关系？

关系，体会直解坐

标系把直线与方程

联系起来。

7、课堂练习巩固所学知识学生独立完成，教师检查、评价。

第105练习第2题和第3(2)和方法。

问题设计意图师生活动

&小结使学生对直线(1)请学生写出直线方程常见的几

方程的理解有种形式，并说明它们之间的关系。

一个整体的认(2)比较各种直线方程的形式特点

识。

和适用围。

(3)求直线方程应具有多少个条件？

(4)学习本节用到了哪些数学思想方法？

9、布置作业巩固课堂上所学生课后独立思考完成。

第106页习题3.2第10题和学的知识和方

第11题。法。

3.3-1两直线的交点坐标

三维目标

知识与技能：1。直线和直线的交点

Word文档

2.二元一次方程组的解

过程和方法：1。学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

2•掌握数形结合的学习法。

3•组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的

直线系方程。

情态和价值：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的

的联系。

2•能够用辩证的观点看问题。

教学重点，难点

重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

教学方法：启发引导式

在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。引导

学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题

由“数”的运算来解决。

教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学

教学过程：

一•情境设置，导入新课

用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的

关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？

二•讲授新课

1.分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系

已知两直线L1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C2=0

如何判断这两条直线的关系？

教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。

几何兀素及关系代数表示

点AA(a,b)

直线LL:Ax+By+C=0

点A在直线上

直线L1与L2的交点A

课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？

(1)若二元一次方程组有唯一解，L1与L2相交。

(2)若二元一次方程组无解，则L1与L2平行。

(3)若二元一次方程组有无数解，则L1与L2重合。

课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？

2.例题讲解，规表示，解决问题

例题1:求下列两直线交点坐标

Word文档

得x=-2,y=2

所

以

L1

与

L2

的

交

点

坐

标

为

教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行

讲解。

同类练习：书本110页第1，2题。

例2判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。

(1)L1:x-y=0，L2：3x+3y-10=0

(2)L1:3x-y=0，L2：6x-2y=0

(3)L1:3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0

这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。三•启发拓展，灵活应用。

课堂设问一。当变化时，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示何图形，图

形

有何特点？求出图形的交点坐标。

(1)可以一用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经过观察，让

学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。

(2)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。

L1:3x+4y-2=0

L1:2x+y+2=0

解：解方程组

3x4y20

2x2y20

M(-2,2),如图3。3。1。

Word文档

(3)结论，方程表示经过这两条直线L1与L2的交点的直线的集合。

例2已知a为实数，两直线h：axy10,「:xya0相交于一点,

求证交点不可能在第一象限及x轴上.

分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的围

Word文档

又因为a为任意实数时，都有a211>0,故-——1丰0

a1

因为a工1(否则两直线平行，无交点)，所以，交点不可能在x轴上-，得交点(—

a1a21

a1，a1)

四•小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能

进行应用。

五.练习及作业：

1.光线从M(-2,3)射到x轴上的一点P(1,0)后被x轴反射，求反射光线所在的直线方

程。

2.求满足下列条件的直线方程。

经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。

板书设计：略

3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离

三维目标

知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的在联系，，能用代数方法解决几何问题

教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

教学方式：启发引导式。

教学用具：用多媒体辅助教学。

教学过程：

一，情境设置，导入新课

课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式,

____2

平面直角坐标系中两点RP2X2X2

分别为M0,*,M2X2,0

直线PN1与F2N2相交于点Q。

222

在直角VABC中，IPP2IRQ||QP|，为了计算其长度，过点R向x轴作垂线，垂足

为M1为,0过点向y轴作垂线，垂足为N0,y2，于是有

222222

PQM2M1x2x,QP?N1N2y2y1

解：解方程组若

a21

FT>0，

则a>1.当a>1时,

㈠<0，此时交点在第二象限

同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题

y2y1i.7，分别向x轴和y轴作垂线，垂足

Word文档

2|22|2

所以，RP2RQQF2=X2Xiy2

由此得到两点间的距离公式

在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

，例题解答，细心演算，规表达。例1:以知点A（-1，2），B（2,J7），在x轴上求一点，使

PAPB,并求PA的值。

解：设所求点P（X，0），于是有

.x12022,x220.72

由|PA|PB得

22

x2x5x4x11解得x=1o

所以，所求点P（1,0）且|PA1120222近通过例题，使学生对两

点间距离公式理解。应用。

12+0

解法二：由已知得，线段AB的中点为M—,-,直线AB的斜率为

22

k=—=―?

x

_1

322—宀2

2+031

线段AB的垂直平分线的方程是y-=------=?x—-

22-宀2

在上述式子中，令y=0,解得x=1o

所以所求点P的坐标为（1,0）o因此

PA=、1+22+0—22=2,2

同步练习：书本112页第1,2题

三.巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。）

例2证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算

“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用

代数问题解决几何问题的基本步骤。

证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AE边所在的直线为x轴，建立直角坐标

系，有A（0,0）o

设B（a,0）,D（b,c），由平行四边形的性质的点C的坐标为（a+b,c），因为

22222222

2

yi

/22

、_X2X2y2yi

PA

Word文档

ABa2,CD|a2,ADb2c2|BC

2$?22?

ACab+c，ED=b—a+c

2222

999

所以，AB+CD|+AD+BC=2a+b+c2

AC+BD=2a+b+c所以，

222222AB+CD|+AD|+BC|=AC+BD

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。第二

步：进行有关代数运算。

第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。

思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题。

课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问

题，建立直角坐标系的重要性。

课后练习1.：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等

2•在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。

3.（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是一一

。

板书设计：略。

3.3.3两条直线的位置关系

—点到直线的距离公式

三维目标：

知识与技能：1.理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；能力和方法：会用点

到直线距离公式求解两平行线距离-

情感和价值：1。认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题-

教学重点：点到直线的距离公式-

教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.

教学方法：学导式

教具：多媒体、实物投影仪-

教学过程

一、情境设置，导入新课：

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角

公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.

这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线I的距

离。

用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线

Word文档

的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式,思

考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？

复习前面所学。要求学生

两条直线方程如下：

A1x

RyC0

A2x

B?yC20

、讲解新课：

1•点到直线距离公式：

点P(x0,y°)到直线I

:AxBy

|Ax°By°C

C0的距离为：d1

O口J3八.M,-----

—

(1)提出问题

在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(xo,y°)，直线=0或B=0时，以上

公式l:AxByC0,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线I的距离呢？

学生可自由讨论。

(2)数行结合，分析问题，提出解决方案

学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线I的距离d是点P到直线I的垂线

段的长•

这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为

熟悉的问题。

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。

方案一：

设点P到直线I的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ

B

丄I可知，直线PQ的斜率为一(AM0),根据点斜式

A

写出直线PQ的方程，并由I与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出丨PQI,得到点

P到直线I的距离为d-

此方法虽思路自然，但运算较繁•下面我们探讨别

一种方法-

一个曾今解决过的问题，一个自己

Q

P(xo，

yo)

方案二：设AM0,BM0，这时I与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交I于

点R(x「y°);作y轴的平行线，交I于点S(x°,y2),

由AX1By0C0

得x!

Ax0By2C0

By。

A

C

,y2

Ax0C

B

所以，|PR|=|x

0

x

1

Ax°By。C

Word文档

IPSI=IyoAxoBy。C

________AB2

IRSUJPR2PS2---------x|Ax0By0CI由三角形面积公式可知:

|AB|

d•RSI=IPRI•PS|-

Ax0By0C

所以d—0yo-

VAB2

可证明，当A=0时仍适用-

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。意志品质等方面得到了提高。

3•例题应用，解决问题。

例1求点P=(-1,2)到直线3x=2的距离。

例2已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形ABC的面积。解：设AB边上的高为h，则

1SVABC=-AB?h

2

ABJ3121322血,

AB边上的高h就是点C到AB的距离。

AB边所在直线方程为

y3X1

1331

即x+y-4=0。

点C到X+Y-4=0的距离为h

1045

h=-----

11

因此，SVABC=^2^2孚5

2V2

通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,代数运算解

决几何问题的优越性。

同步练习：114页第1,2题。

4.拓展延伸，评价反思。

(1)应用推导两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线h和12的一般式方程为h:AxByC10,

CiC2

I2:AxByC20,则li与12的距离为d

22

-

UA2B2

解:

312

d=—

、、3o2

能逐步体会用

Word文档

证明：设P

0

(x

0

,y

0

)是直线AxByC

2

0上任一点，则点P。到直线

AxoBy0Ci

AxByCi0的距离为d——._-

JA

2

B

2

又Ax

0

By

0

C

2

0

CiC2

即Ax°By0C2,「・d=--------------

JA2B2

2x3yi00的距离.

解法一：在直线I

i

上取一点P(4,0),因为l

i

//l

2

例3求两平行线li:2x3y80,l2:,所以点P到l2的距离等于li与J的距离

243010|22l

于是d)1

v'2232

—Vi3

i3

解法

二

二li//l2又Ci8,C2i0.

8(i0)|

2屈

由两平行线间的距离公式得d

J2232i3

四、课堂练习：

1,已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线

过点(2,3),求该直线方程。-

五、小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到

直线的距离公式-

六、课后作业：

13.求点P(2,-i)到直线2x+3y—3=0的距离.

14.已知点A(a,6)到直线3x—4y=2的距离d=4，求a的值：

i5.已知两条平行线直线li和12的一般式方程为li:AxByCi0,

CiC2

l2:AxByC20,则li与l2的距离为d-----------------------

A2B2

七•板书设计：略

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第四章圆与方程

4.1.1圆的标准方程

三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆

的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问

题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情

和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

1、情境设置:

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它

的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方

程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。(其中a、b、r

都是常数，r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列

出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件

(xa)2(yb)2r①

222

Word文档

化简可得：(xa)(yb)r②

引导学生自己证明(xa)(yb)r为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例(1):写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程，并判断点MM5,7),M2(5,1)

是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

222

探究：点M(xo,y°)与圆(xa)(yb)r的关系的判断方法：

(1)(X。

a)2

(yo

22

b)>r，点在圆外

(2)(X。a)2(yob)2

=r2

，点在圆上

(3)(Xoa)2(yo

22

b)

例(2)：VABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程

222

师生共同分析：从圆的标准方程(Xa)(yb)r可知，要确定圆的标准方

程，可用待定系数法确定a、br三个参数•(学生自己运算解决)

例⑶:已知圆心为C的圆l:xy10经过点A(1,1)和B(2,2)且圆心在l:xy10

上,求圆心为C的圆的标准方程.

师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小•圆心为C的圆经过点A(1,1)

和B(2,2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上,又圆心C在直

线I上，因此圆心C是直线I与直线m的交点，半径长等于CA或CB。

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(教师板书解题过程。)

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例⑶可得出VABC外接圆的标

准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于ab、r的方程组，解方程组得到a、br得值，写出圆的

标准方程.

根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方

程.

练习：课本p

127

第1、3、4题

提炼小结：

1、圆的标准方程。

2、点与圆的位置关系的判断方法。

3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业：课本Pi30习题4.1第2、3、4题

4.1.2圆的一般方程

三维目标：

知识与技能：（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方

程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径•掌握方

22..

程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.

（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方

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程.能用待定系数法求圆的方程。

（3）:培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

22

过程与方法：通过对方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现

2

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及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励

学生创新，勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据

已知条件确定方程中的系数，D、E、F.

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用-

教具：多媒体、实物投影仪-

教学过程：

课题引入：

问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那

么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式一一圆的一般方

程。

探索研究：

请同学们写出圆的标准方程：

222

(x—a)+(y—b)=r，圆心(a,b)，半径r.

把圆的标准方程展开，并整理：

22222x+y—2ax—2by+a+b—r=0.

222

取D2a,E2b,Fabr得

29

xyDxEyF0①

这个方程是圆的方程.

22

反过来给出一个形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得

表示圆？

2222

(1)当D+E—4F>0时，方程②表示(1)当DE4F

-—)为圆心，1―E

2

4F为半径的圆；

22

(xD)2(y|)2

D2E24F

②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是

0时，表示以(-号,

—，即只表示一个

2

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22一,、D

(2)当DE4F0时，方程只有实数解x

,y

点（-D,-E）；

22

22

（3）当DE4F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形-

29

综上所述，方程xyDxEyF0表示的曲线不一定是圆-

只有当D2E24F0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如

2222

xyDxEyF0的表示圆的方程称为圆的一般方程-x1y4

我们来看圆的一般方程的特点：（启发学生归纳）

22

（1）①x和y的系数相同，不等于0.

②没有xy这样的二次项.

（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系

数，圆的方程就确定了.

（3）、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆

的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

知识应用与解题研究:

例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆

心及半径

14x24y24x12y90

24x24y24x12y110

学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的

一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于14x24y24x12y90来说，这

里的

9十“口

D1,E3,F—而不是D=-4,E=12,F=9.

4

例2:求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

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分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而

条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程-

22

解：设所求的圆的方程为：xyDxEyF0

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•/A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解•把它们的坐标代入上

面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组,

例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上

求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程

22

X1y4。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的

条件，求出点M的轨迹方程。

解：设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是

X0,y°由于点B的坐标是4,3且M是线段AB的重点，所以

X04y03

x0,y0,-

①

于是有X02x4,y02y3

,22

即X。1y04

把①代入②，得

p

130

即DEF20

0

4D2EF20

解此方程组，可得：D8,E6,F0-

•••所求圆的方程为：

A,

x2

2

y

8x6y0-

r1

、D2E24F

5;

DF

4,3-

222

得圆心坐标为(4,

-3)

或将x2y28x

6y

0左边配方化为圆的标准方程

而求出圆的半径r5，圆心坐标为(4,-3)-

，(x

4)2(y

3)225,从

a、

y24运动,

..2

因为点A在圆x1y24上运动，所以点A的坐标满足方程

22x1y4,

2X012y。

归纳得出使用待定系数法的一般步骤:

选择标准方程或一般方程；

学生讨论交流，

①、根据提议，

②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

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4.2.1直线与圆的位置关系

、教学目标

1、知识与技能

(1)理解直线与圆的位置的种类；

(2)禾U用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;

(3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

2、过程与方法

设直线l:axbyc0，圆C:x

2

y

2

DxEyF0,圆的半径为r，圆心

2•与标准方程的互化

22

2x412y3

4,整理，得

323

x--

2

2

1.对方程x

2

yDxEy

F0的讨论(什么时候可以表示圆)

课后作业：p

130

习题4.1第2、

3、6题

小结：

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(D,E)到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:

22

(1)当兰dr时,

直线l与圆C相离;

(2)当兰dr时,

直线l与圆C相切;

(3)当兰d

r

时，

直线l与圆C相交;

3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.

二、教学重点、难点：

重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.

难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.

三、教学设想

问题设计意图师生活动

1.初中学过的平面几何中，

直线与圆的位置关系有几类？

启发学生由图

形获取判断直线与圆

的位置关系的直观认

知，引入新课.

师：让学生之间进行讨论、交

流，引导学生观察图形，导入新课.

生：看图，并说出自己的看法.

2•直线与圆的位置关系有哪

几种呢？

得出直线与圆

的位置关系的几何特

征与种类.

师：引导学生利用类比、归纳的思

想，总结直线与圆的位置关系的种类，进

一步深化“数形结合”的数学思想.

问题设计意图师生活动

生：观察图形，禾U用类比的方

法，归纳直线与圆的位置关系.

3•在初中，我们怎样判断直线与圆

的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判

断它们之间的位置关系呢？

使学生回忆

初中的数学知识，培

养抽象概括能力.

师：引导学生回忆初中判断直线与

圆的位置关系的思想过程.

生：回忆直线与圆的位置关系的判

断过程.

4•你能说出判断直线与圆的

位置关系的两种方法吗？

抽象判断直

线与圆的位置关

师：引导学生从几何的角度说

明判断方法和通过直线与圆的方程

Word文档

系的思路与方法.

说明判断方法.

生：利用图形，寻找两种方法

的数学思想.

5.你能两种判断直线与圆的体会判断直师：指导学生阅读教科书上的

位置关系的数学思想解决例1的问线与圆的位置关例1.

题吗？系的思想方法，关生：新闻记者教科书上的例1,

注里与里之间的关

系.

并完成教科书第136页的练习题2.

6•通过学习教科书的例1,你使学生熟悉生：阅读例1.

能总结一下判断直线与圆的位置判断直线与圆的师；分析例1，并展示解答过

关系的步骤吗？位置关系的基本程；启发学生概括判断直线与圆的

步骤.

位置关系的基本步骤，注意给学生留有总

结思考的时间.

生：交流自己总结的步骤.

师：展示解题步骤.

7•通过学习教科书上的例2，进一步深化师：指导学生阅读并完成教科书上

你能说明例2中体现出来的数学思“数形结合”的数的例2，启发学生利用“数形结合”

想方法吗？学思想.

的数学思想解决问题.

生：阅读教科书上的例2,并完成

第137页的练习题.

问题设计意图师生活动

&通过例2的学习，你发现明确弦长的师：引导并启发学生探索直线

了什么？运算方法.

与圆的相交弦的求法.

生：通过分析、抽象、归纳，

得出相交弦长的运算方法.

9•完成教科书第136页的练巩固所学过师：引导学生完成练习题.

习题1、2、3、4.的知识，进一步理生：互相讨论、交流，完成练

解和掌握直线与

圆的位置关系.

习题.

10•课堂小结:

Word文档

教师提出下列问题让学生思考：

(1)通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？

(2)判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么?

(3)如何求出直线与圆的相交弦长？

作业：习题4.2A组：1、3•

4.2.2圆与圆的位置关系

一、教学目标

1、知识与技能

(1)理解圆与圆的位置的种类；

(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；

(3)会用连心线长判断两圆的位置关系.

2、过程与方法

设两圆的连心线长为I，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

(1)当I口「2时，圆C1与圆C?相离；

(2)当Ir

1

r

2

时，圆C

1

与圆C

2

外切；

(3)当|「1辽|IA辽时，圆C1与圆C2相交；

(4)当1Ir1r2|时，圆C1与圆C2切；

(5)当I|「1「2|时，圆G与圆C2含；

3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.

二、教学重点、难点：

重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系.

三、教学设想

问题设计意图师生活动

1.初中学过的平面几何中，结合学生已教师引导学生回忆、举例，并

Word文档

圆与圆的位置关系有几类？

有知识以验，启发学

生思考，激发学生学

习兴趣.

对学生活动进行评价；学生回顾知识点

时，可互相交流.

2.判断两圆的位置关系，你引导学生明教师引导学生阅读教科书中的

有什么好的方法吗？确两圆的位置关相关容，注意个别辅导，解答学生

系，并发现判断和疑难，并引导学生自己总结解题的

解决两圆的位置方法.

问题设计意图师生活动

关系的方法.

学生观察图形并思考，发表自己的解题方

法.

3.例3培养学生“数教师应该关注并发现有多少学

你能根据题目，在同一个直角形结合”的意识.生利用“图形”求，对这些学生应该

坐标系中画出两个方程所表示的给予表扬.同时强调，解析几何是

圆吗？你从中发现了什么？一门数与形结合的学科.

4.根据你所画出的图形，可进一步培养师：启发学生利用图形的特征，

以直观判断两个圆的位置关系.如学生解决问题、分用代数的方法来解决几何问题.

何把这些直观的事实转化为数学析问题的能力.生：观察图形，并通过思考，

语言呢？利用判别式指出两圆的交点，可以转化为两个

来探求两圆的位圆的方程联立方程组后是否有实数

护¥方

^置^关糸.

根，进而利用判别式求解.

5.从上面你所画出的图形，进一步激发师：指导学生利用两个圆的圆

你能发现解决两个圆的位置的其学生探求新知的心坐标、半径长、连心线长的关系

它方法吗？

精神，培养学生

来判别两个圆的位置.

生：互相探讨、交流，寻找解决问

题的方法，并能通过图形的直观性，利用

平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解

题的途径.

6.如何判断两个圆的位置关从具体到一师：对于两个圆的方程，我们

系呢？般地总结判断两应当如何判断它们的位置关系呢？

Word文档

个圆的位置关系

的一般方法.

弓1导学生讨论、交流，说出各自

的想法，并进行分析、评价，补充完善判

断两个圆的位置关系的方法.

7•阅读例3的两种解法，解决第

137页的练习题.

巩固方法，并

培养学生解决问题的

能力.

师：指导学生完成练习题.

生：阅读教科书的例3,并完成第

137页的练习题.

问题设计意图师生活动

&若将两个圆的方程相减，

你发现了什么？

得出两个圆的

相交弦所在直线的方

程.

师：引导并启发学生相交弦所在直

线的方程的求法.

生：通过判断、分析，得出相

交弦所在直线的方程.

9•两个圆的位置关系是否可

以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的

关系的判定呢？

进一步验证

相交弦的方程.

师：引导学生验证结论.

生：互相讨论、交流，验证结

论.

10•课堂小结：

教师提出下列问题让学生思考：

(1)通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？

(2)判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

(3)如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？

作业：习题4.2A组：4、7•

423直线与圆的方程的应用

一、教学目标

1、知识与技能

(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；

(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.

2、过程与方法

Word文档

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几

何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.

3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问

题的能力.

二、教学重点、难点：

重点与难点：直线与圆的方程的应用.

三、教学设想

问题设计意图师生活动

1•你能说出直线与圆的位置启发并引导师：启发学生回顾直线与圆的

关系吗？学生回顾直线与位置关系，导入新课.

圆的位置关系，从生：回顾，说出自己的看法.

而引入新课.

2.解决直线与圆的位置关系，理解并掌握师：引导学生通过观察图形，

你将采用什么方法？直线与圆的位置回顾所学过的知识，说出解决问题

关系的解决办法的方法.

与数学思想.生：回顾、思考、讨论、交流，

得到解决问题的方法.

问题设计意图师生活动

3•阅读并思考教科书上的例指导学生从师：指导学生观察教科书上的

4，你将选择什么方法解决例4的直观认识过渡到图形特征，利用平面直角坐标系求

问题？数学思想方法的解.

选择.

生：自学例4，并完成练习题1、

2.

师：分析例4并展示解题过程，

启发学生利用坐标法求，注意给学

Word文档

生留有总结思考的时间.

4•你能分析一下确定一个圆使学生加深教师引导学生分析圆的方程

的方程的要点吗？对圆的方程的认中，若横坐标确定，如何求出纵坐

识.标的值.

5•你能利用“坐标法”解决例5巩固’坐标

师：引导学生建立适当的平面

吗？法”，培养学生分直角坐标系，用坐标和方程表示相

析问题与解决问应的几何兀素，将平面几何问题转

题的能力.

化为代数问题.

生：建立适当的直角坐标系，

探求解决问题的方法.

6•完成教科书第140页的练使学生熟悉教师指导学生阅读教材，并解

习题2、3、4•平面几何问题与决课本第140页的练习题2、3、4.教

代数问题的转化，师要注意引导学生思考平面几何问

加深“坐标法”的

解题步骤.

题与代数问题相互转化的依据.

7•你能说出练习题蕴含了什反馈学生掌学生独立解决第141页习题

么思想方法吗？握“坐标法”解决4•2A第8题，教师组织学生讨论

问题的情况，巩固

所学知识.

交流.

&小结：对知识进行师：指导学生完成练习题.

(1)利用“坐标法”解决问归纳概括，体会利生：阅读教科书的例3，并完成第

问题设计意图师生活动

题的需要准备什么工作？用“坐标法”解决教师引导学生自己归纳总结所

(2)如何建立直角坐标系，实际问题的作用.学过的知识，组织学生讨论、交流、

才能易于解决平面几何问题？

(3)你认为学好“坐标法”解决问

题的关键是什么？

(4)建立不同的平面直角坐

标系，对解决问题有什么直接的影

探究.

Word文档

响呢？

作业：习题4.2B组：1、2.

3•用待定系数法求圆的方程4•求与圆有关的点的轨迹。