三角函数题

1

三角函数1

1.在下列各组角中，终边不相同的一组是()

A．60°与－300°B．230°与950°C．1050°与－300°D．－1000°与80°

2．给出下列命题，其中正确的是()

(1)弧度角与实数之间建立了一一对应的关系

(2)终边相同的角必相等(3)锐角必是第一象限角

(4)小于90°的角是锐角(5)第二象限的角必大于第一象限角

A．(1)B．(1)(2)(5)C．(3)(4)(5)D．(1)(3)

3．一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为()

A.

1

2

(2－sin1cos1)R2B.

1

2

sin1cos1R2C.

1

2

R2D．(1－sin1cos1)R2

4．α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点且cosα＝

2

4

x，则x的值为()

A.3B．±3C．－3D．－2

二、填空题

6．填写下表：

角α的度数－570°

375°

角α的弧度数

4π

5

－3

－

135π

12

角α所在的象限

7.(2008年惠州调研)已知θ∈









π

2

，π

，sinθ＝

3

5

，则tanθ＝________.

8．函数y＝

sinx

|sinx|

＋

cos2x

cosx

－

|tanx|

tanx

的值域是________．

9．已知一扇形的面积S为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？

10．已知点P(3r，－4r)(r≠0)在角α的终边上，求sinα、cosα、tanα的值．

2

同角三角函数的基本关系及诱导公式

一、选择题

1．sin2009°的值属于区间()

A.









1

2

，1

B.









0，

1

2

C.









－1，－

1

2

D.









－

1

2

，0

2．α是第四象限角，tanα＝－

5

12

，则sinα＝()

A.

1

5

B．－

1

5

C.

5

13

D．－

5

13

3．已知f(x)＝2cos

π

6

x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝()

A．0B．2C．2＋3D．3＋3

4．如果sinθ＝m,180°<θ<270°，那么tanθ＝()

A.

m－3

1－m2

B．－

m

1－m2

C．±

m

1－m2

D．－

1－m2

m

二、填空题

6．化简：

1＋2sin20°cos160°

sin160°－1－sin220°

＝________.

7．已知sin(540°＋α)＝－

4

5

，则cos(α－270°)＝__________；若α为第二象限角，则

[sin180°－α＋cosα－360°]2

tan180°＋α

＝________________.

8．已知

tanα

tanα－1

＝－1，则

sinα－3cosα

sinα＋cosα

＝__________；sin2α＋sinαcosα＋2＝__________.

三、解答题

9．化简：

sinnπ＋αcosnπ－α

cos[n＋1π－α]

(n∈Z)．

3

两角和与差、二倍角公式及简单的三角恒等变换

一、选择题

1.









cos

π

12

－sin

π

12







cos

π

12

＋sin

π

12

＝()

A．－

3

2

B．－

1

2

C.

1

2

D.

3

2

2．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝

3

5

，那么cos2β的值为()

A.

7

25

B.

18

25

C．－

7

25

D．－

18

25

3．(2009年上海预考)已知0<α<π，sinα＋cosα＝

1

2

，则cos2α的值为()

A.

7

4

B．－

7

4

C．±

7

4

D．－

3

4

4．(2008年湖南卷)函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间









π

4

，

π

2

上的最大值是()

A．1B.

1＋3

2

C.

3

2

D．1＋3

5．若α为第三象限角，则

cosα

1－sin2α

＋

2sinα

1－cos2α

的值为()

A．3B．－3C．1D．－1

二、填空题

6．(2009年淄博模拟)已知α，β∈









3π

4

，π

，sin(α＋β)＝－

3

5

，sin









β－

π

4

＝

12

13

，则cos









α＋

π

4

＝________.

7．已知α，β均为锐角，且sinα－sinβ＝－

1

2

，cosα－cosβ＝

1

3

，则cos(α－β)＝______.

8.(2009年青岛模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学

家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个

大正方形(如右图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小

的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．

三、解答题

9．已知cos()α＋β

＝

4

5

，cos()α－β

＝－

4

5

，且

3

2

π<α＋β<2π，

π

2

<α－β<π，分别求cos2α和cos2β的值．

10．(2009年培正中学月考)设f(x)＝6cos2x－3sin2x.

(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f(α)＝3－23，求tan

4

5

α的值．

4

三角函数的性质

一、选择题

1．(2008年广东卷)已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是()

A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为

π

2

的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为

π

2

的偶函数

2．函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是()

A.









－π，－

5π

6

B.









－

5π

6

，－

π

6

C.









－

π

3

，0

D.









－

π

6

，0

3．当x∈









－

π

2

，

π

2

时，函数f(x)＝sinx＋3cosx的值域是()

A．[－1,1]B.









－

1

2

，1

C．[－2,2]D．[－1,2]

4．已知－

π

6

≤x<

π

3

，cosx＝

m－1

m＋1

，则m的取值范围是()

A．m＜－1B．3

5．(2009年全国卷Ⅰ)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点









4π

3

，0

中心对称，那么

||φ

的最小值为()

A.

π

6

B.

π

4

C.

π

3

D.

π

2

二、填空题

6．(2008年广东卷)已知函数f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．

7．下面有5个命题：①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.

②终边在y轴上的角的集合是













α





α＝

kπ

2

，k∈Z

.

③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有3个公共点．

④把函数y＝3sin









2x＋

π

3

的图象向右平移

π

6

得到y＝3sin2x的图象．

⑤函数y＝sin









x－

π

2

在[0，π]上是减函数．

其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号)

8．函数y＝sin









－2x＋

π

3

的递减区间是________；函数y＝lgcosx的递减区间是________．

三、解答题

9．求函数y＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递

增区间．

10．是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋a·cosx＋

5

8

a－

3

2

在闭区间









0，

π

2

上的最大值是1？若存在，求

出对应的a值；若不存在，试说明理由．

5

三角函数的图象及其变换

一、选择题

1．(2010年全国卷Ⅰ)为得到函数y＝cos









x＋

π

3

的图象，只需将函数y＝sinx的图象()

A．向左平移

π

6

个长度单位B．向右平移

π

6

个长度单位

C．向左平移

5π

6

个长度单位D．向右平移

5π

6

个长度单位

2.(2009年厦门模拟)函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部

分图象如右图所示，则()

A．ω＝

π

2

，φ＝

π

4

B．ω＝

π

3

，φ＝

π

6

C．ω＝

π

4

，φ＝

π

4

D．ω＝

π

4

，φ＝

5π

4

3．函数y＝sin









2x－

π

3

在区间









－

π

2

，π

的简图是()

4．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R









其中ω>0，

||φ

<

π

2

的最小正周期是π，且f(0)＝3，则()

A．ω＝

1

2

，φ＝

π

6

B．ω＝

1

2

，φ＝

π

3

C．ω＝2，φ＝

π

6

D．ω＝2，φ＝

π

3

5.如右图所示是函数y＝2sin(ωx＋φ)









|φ|≤

π

2

ω＞0

的一段图象，则ω、

φ的值是()

A．ω＝

10

11

，φ＝

π

6

B．ω＝

10

11

，φ＝－

π

6

C．ω＝2，φ＝

π

6

D．ω＝2，φ＝－

π

6

二、填空题

6．将函数y＝f(x)·sinx(x∈R)的图象向右平移

π

4

个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1

－2sin2x的图象，则f(x)可以是__________．

6

7．函数f(x)＝3sin









2x－

π

3

的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①图象C关于直线x＝

11

12

π对称；

②图象C关于点









2π

3

，0

对称；

③函数f(x)在区间









－

π

12

，

5π

12

内是增函数；

④由y＝3sin2x的图象向右平移

π

3

个单位长度可以得到图象C.

8．设函数f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已

知函数y＝sinnx在0，









π

n

上的面积为

2

n

(n∈N*)，则y＝sin3x在









0，

2π

3

上的面积为________.

三、解答题

9．(2010年广东卷)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π)(x∈R)的最大值是1，其图象经过点M









π

3

，

1

2

.

(1)求f(x)的解析式；

(2)已知α、β∈









0，

π

2

，且f(α)＝

3

5

，f(β)＝

12

13

，求f(α－β)的值．

10．(2010年山东卷)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)，(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝

f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

.

(1)求f









π

8

的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，

纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的解析式及其单调递减区间．

7

正、余弦定理及应用

一、选择题

1．(2009年德州模拟)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c

＝2a，则cosB＝()

A.

1

4

B.

3

4

C.

2

4

D.

2

3

2．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，

能够得到的三角形的最大面积为()

A．85cm2B．610cm2C．355cm2D．20cm2

3．(2009年成都模拟)设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，则a2＝b()b＋c

是A＝2B的()

A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而充分条件D．既不充分又不必要条件

4.如右图所示，在山脚A处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平坦地面上前进

600m后测得仰角为原来的2倍，继续在平坦地面上前进2003m后，测得山峰的

仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为()

A．200mB．300mC．400mD．1003m

5．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B

出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()

A.

150

7

分钟B.

15

7

分钟C．21.5分钟D．2.15分钟

二、填空题

6．(2008年山东卷)已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(3，－1)，n

＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.

7．在△ABC中，已知角A、B、C成等差数列，边a、b、c成等比数列，且边b＝4，则S△ABC

＝________.

8．如右图所示，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边取C、D两点观

察．测得CD＝3km，∠ADB＝45°，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠DCB＝45°，

(A、B、C、D在同一平面内)，则A、B两点间的距离为________．

三、解答题

9.(2009年银川模拟)如右图所示，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝

3

4

.

(1)求AB的值；(2)求sin()2A＋C

的值．

10．(2008年全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosB＝－

5

13

，cosC＝

4

5

.

(1)求sinA的值；

(2)设△ABC的面积S△ABC＝

33

2

，求BC的长．

8

角的概念和任意角的三角函数参考答案

1．C2.D3.D

4．解析：∵cosα＝

x

r

＝

x

x2＋5

＝

2

4

x，∴x＝0(舍去)或x＝3(舍去)或x＝－3.答案：C

5．C6.略7．－

3

4

8．{1，－3}

9．解析：设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，周长为C，

则S＝

1

2

lr，∴r＝

2S

l

，∴C＝l＋2r＝l＋

4S

l

≥4S，

又∵0

4πS

l

，∴l<2πS.

当且仅当l＝

4S

l

，即l＝2S<2πS时等号成立．

∴当l＝2S时，周长有最小值4S，

此时，α＝

l

r

＝l×

l

2S

＝

2S2

2S

＝2(rad)．

10．解析：因为x＝3r，y＝－4r，

所以|OP|＝x2＋y2＝5|r|.

(1)当r>0时，则|OP|＝5r，sinα＝－

4

5

，cosα＝

3

5

，tanα＝－

4

3

.

(2)当r<0时，则|OP|＝－5r，sinα＝

4

5

，cosα＝－

3

5

，tanα＝－

4

3

.

同角三角函数的基本关系及诱导公式参考答案

1．D

2．解析：α是第四象限角，tanα＝－

5

12

，则sinα＝－

1

1＋cot2α

＝－

5

13

.答案：D

3．C4.B5.D6.－17．－

4

5

－

3

100

8．－

5

3

13

5

9．解析：①当n＝2k(k∈Z)时，原式＝

sinαcosα

－cosα

＝－sinα；

②当n＝2k－1(k∈Z)时，原式＝

－sinα－cosα

cosα

＝sinα.

10．解析：由sin()3π＋θ

＝lg

1

3

10

，有－sinθ＝lg10－

1

3

＝－

1

3

，⇒sinθ＝

1

3

.

cos()π＋θ

cosθ[]cos()π－θ

－1

＋

cos()θ－2π

sin









θ－

3π

2

cos()θ－π

－sin









3π

2

＋θ

9

＝

－cosθ

cosθ()－cosθ－1

＋

cosθ

cosθ()－cosθ

＋cosθ

＝

1

cosθ＋1

＋

1

1－cosθ

＝

2

1－cos2θ

＝

2

sin2θ

＝2×9＝18.

两角和与差、二倍角公式及简单的三角恒等变换参考答案

1．D2.A3.B4.C

5．解析：∵α为第三象限角，∴sinα<0，cosα<0，

则

cosα

1－sin2α

＋

2sinα

1－cos2α

＝

cosα

|cosα|

＋

2sinα

|sinα|

＝－1－2＝－3.答案：B

6．－

56

65

7.

59

72

8．解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴每一个直角三角形的面积是6，设直

角三角形的两条直角边长分别为a，b，则









a2＋b2＝25

1

2

ab＝6

，

∴两条直角边的长分别为3,4，直角三角形中较小的锐角为θ，cosθ＝

4

5

，

cos2θ＝2cos2θ－1＝

7

25

.答案：

7

25

9．解析：∵

3π

2

<α＋β<2π，

π

2

<α－β<π，

∴sin()α＋β

＝－1－cos2()α＋β

＝－

3

5

，

sin()α－β

＝1－cos2()α－β

＝

3

5

，

所以cos2α＝cos[]()α＋β

＋()α－β

＝cos()α＋β

cos()α－β

－sin()α＋β

sin()α－β

＝

4

5

×









－

4

5

－









－

3

5

×

3

5

＝－

7

25

；

cos2β＝cos[]()α＋β

－()α－β

＝cos()α＋β

cos()α－β

＋sin()α＋β

sin()α－β

＝

4

5

×









－

4

5

＋









－

3

5

×

3

5

＝－1.

10．解析：(1)f(x)＝6

1＋cos2x

2

－3sin2x

＝3cos2x－3sin2x＋3＝23







3

2

cos2x－

1

2

sin2x

＋3

＝23cos









2x＋

π

6

＋3.

10

故f(x)的最大值为23＋3；最小正周期T＝

2π

2

＝π.

(2)由f(α)＝3－23，得23cos









2α＋

π

6

＋3＝3－23，

故cos









2α＋

π

6

＝－1.

又由0<α<

π

2

得

π

6

<2α＋

π

6

<π＋

π

6

，

故2α＋

π

6

＝π，解得α＝

5

12

π.从而tan

4

5

α＝tan

π

3

＝3.

三角函数的性质参考答案

1．D解析：f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝

1

2

sin22x＝

1－cos4x

4

.

2．：D解析：f(x)＝2sin









x－

π

3

，因x－

π

3

∈





－

4

3

π，





－

π

3

故x－

π

3

∈





－

1

2

π，





－

π

3

，则x∈









－

1

6

π，0

.

3．D4.B

5．答案：A解析：∵函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点









4π

3

，0

中心对称．

∴2·

4π

3

＋φ＝kπ＋

π

2

∴φ＝kπ－

13π

6

(k∈Z)，

由此易得|φ|min

＝

π

6

.故选A.

6．π解析：f(x)＝sin2x－sinxcosx＝

1－cos2x

2

－

1

2

sin2x，此时可得函数的最小正周期T＝

2π

2

＝π.

7．答案：①④解析：①y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，正确；②错误；

③y＝sinx，y＝x在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．

8.









kπ－

π

12

，kπ＋

5

12

π

(k∈Z)









2kπ，2kπ＋

π

2

(k∈Z)

9．解析：y＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x

＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x

＝3sin2x－cos2x

＝2sin









2x－

π

6

，

故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；

单调递增区间是









0，

π

3

，









5π

6

，π

.

10．解析：y＝1－cos2x＋acosx＋

5

8

a－

3

2

＝－









cosx－

a

2

2＋

a2

4

＋

5

8

a－

1

2

.

11

当0≤x≤

π

2

时，0≤cosx≤1.

若

a

2

>1时，即a>2，则当cosx＝1时，

y

max

＝a＋

5

8

a－

3

2

＝1⇒a＝

20

13

<2(舍去)，

若0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2，则当cosx＝

a

2

时，

y

max

＝

a2

4

＋

5

8

a－

1

2

＝1⇒a＝

3

2

或a＝－4<0(舍去)．

若

a

2

<0，即a<0，则当cosx＝0时，

y

max

＝

5

8

a－

1

2

＝1⇒a＝

12

5

>0(舍去)．

综合上述知，存在a＝

3

2

符合题设．

三角函数的图象及其变换参考答案

1．C解析：∵y＝cos









x＋

π

3

＝sin









π

2

＋x＋

π

3

＝sin









x＋

5π

6

，∴可由y＝sinx向左平移

5π

6

得到．

2．C3．A解析：f(π)＝sin









2π－

π

3

＝－

3

2

，排除B、D，

f









π

6

＝sin









2×

π

6

－

π

3

＝0，排除C.也可由五点法作图验证．

4．D解析：由T＝

2π

ω

＝π，∴ω＝2.由f(0)＝3⇒2sinφ＝3，∴sinφ＝

3

2

.∵

||φ

<

π

2

，∴φ＝

π

3

.故选

D.

5．C6.f(x)＝2cosx

7．①②③解析：函数f(x)＝3sin









2x－

π

3

的图象为C，

①图象C关于直线2x－

π

3

＝kπ＋

π

2

对称，当k＝1时，图象C关于x＝

11

12

π对称，①正确；

②图象C关于点









kπ

2

＋

π

6

，0

对称，当k＝1时，恰好关于点









2π

3

，0

对称，②正确；

③x∈









－

π

12

，

5π

12

时，2x－

π

3

∈









－

π

2

，

π

2

，∴函数f(x)在区间









－

π

12

，

5π

12

内是增函数，③正确；

④由y＝3sin2x的图象向右平移

π

3

个单位长度可以得y＝3sin









2x－

2π

3

，得不到图象C.④不正确．

所以应填①②③.

8.

4

3

9．解析：(1)依题意有A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)，将点M









π

3

，

1

2

代入得sin









π

3

＋φ

＝

1

2

，而0<φ<π，

∴

π

3

＋φ＝

5

6

π，∴φ＝

π

2

，故f(x)＝sin









x＋

π

2

＝cosx；

(2)依题意有cosα＝

3

5

，cosβ＝

12

13

，而α、β∈









0，

π

2

，

∴sinα＝1－

3

5

2＝

4

5

，sinβ＝1－

12

13

2＝

5

13

，

12

f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝

3

5

×

12

13

＋

4

5

×

5

13

＝

56

65

.

10．解析：(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2







3

2

sinωx＋φ－

1

2

cosωx＋φ

＝2sin









ωx＋φ－

π

6

.

因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，

因此sin









－ωx＋φ－

π

6

＝sin









ωx＋φ－

π

6

.

即－sinωxcos









φ－

π

6

＋cosωxsin









φ－

π

6

＝sinωxcos









φ－

π

6

＋cosωxsin









φ－

π

6

，整理得sinωxcos









φ－

π

6

＝0.

因为ω>0，且x∈R，所以cos









φ－

π

6

＝0.

又因为0<φ<π，故φ－

π

6

＝

π

2

.

所以f(x)＝2sin









ωx＋

π

2

＝2cosωx.

由题意得

2π

ω

＝2·

π

2

，所以ω＝2.故f(x)＝2cos2x.因此f









π

8

＝2cos

π

4

＝2.

(2)将f(x)的图象向右平移

π

6

个单位后，得到f









x－

π

6

的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，

纵坐标不变，得到

f









x

4

－

π

6

的图象．

所以g(x)＝f









x

4

－

π

6

＝2cos









2









x

4

－

π

6

＝2cos









x

2

－

π

3

.

当2kπ≤

x

2

－

π

3

≤2kπ＋π(k∈Z)，

即4kπ＋

2π

3

≤x≤4kπ＋

8π

3

(k∈Z)时，g(x)单调递减，

因此g(x)的单调递减区间为









4kπ＋

2π

3

，4kπ＋

8π

3

(k∈Z)．

正、余弦定理及应用参考答案

1．B解析：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c＝2a，则b＝2a，

cosB＝

a2＋c2－b2

2ac

＝

a2＋4a2－2a2

4a2

＝

3

4

.

2．B解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，

此三角形面积最大，面积为610cm2.

3．A解析：设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a2＝b()b＋c

，

则sin2A＝sinB(sinB＋sinC)，

则

1－cos2A

2

＝

1－cos2B

2

＋sinBsinC，

13

∴

1

2

(cos2B－cos2A)＝sinBsinC，

sin(B＋A)sin(A－B)＝sinBsinC，

又sin(A＋B)＝sinC，∴sin(A－B)＝sinB，

∴A－B＝B，A＝2B，

若△ABC中，A＝2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a2＝b()b＋c

，

所以a2＝b()b＋c

是A＝2B的充要条件．

4．B解析：由条件可得cos(π－4θ)＝

20032×2－6002

2×20032

＝－

1

2

，

∴sin4θ＝

3

2

，∴山峰的高度为2003×

3

2

＝300(m)．

5．A解析：t小时后，甲乙两船的距离为

s2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)cos120°＝28t2－20t＋100.

∴当t＝

20

2×28

＝

5

14

小时＝

5

14

×60分钟＝

150

7

分钟时，甲乙两船的距离最近．

6．

π

6

解析：m⊥n⇒3cosA－sinA＝0⇒A＝

π

3

，由正弦定理得，sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，

sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinC＝sin2C

⇒C＝

π

2

.∴B＝

π

6

.

7．43解析：由A、B、C成等差数列，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，得B＝

π

3

，

由a、b、c成等比数列，得b2＝ac，

∴ac＝16，∴S△ABC

＝

1

2

acsinB＝43.

8．5解析：∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，∠CDA＝30°，

∴∠DAC＝30°⇒AC＝DC＝3.

在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，

∴BC＝

DC·sin75°

sin60°

＝

6＋2

2

，

在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos75°＝5

⇒AB＝5km.

9．解析：(1)由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC

＝4＋1－2×2×1×

3

4

＝2.

那么，AB＝2.

(2)由cosC＝

3

4

，且0

7

4

.由正弦定理，

AB

sinC

＝

BC

sinA

，

14

解得sinA＝

BCsinC

AB

＝

14

8

.所以，cosA＝

52

8

.

由倍角公式sin2A＝2sinA·cosA＝

57

16

，

且cos2A＝1－2sin2A＝

9

16

，

故sin()2A＋C

＝sin2AcosC＋cos2AsinC＝

37

8

.

10．解析：(1)由cosB＝－

5

13

，得sinB＝

12

13

，

由cosC＝

4

5

，得sinC＝

3

5

.

所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝

33

65

.

(2)由S△ABC

＝

33

2

得

1

2

×AB×AC×sinA＝

33

2

，

由(1)知sinA＝

33

65

，故AB×AC＝65，

又AC＝

AB×sinB

sinC

＝

20

13

AB，故

20

13

AB2＝65，AB＝

13

2

.

所以BC＝

AB×sinA

sinC

＝

11

2

.