必修二数学

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高中数学必修二

第一章空间几何体

1.1空间几何体的结构

1、棱柱

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边

形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五

棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

'''''EDCBAABCDE

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平

行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边

形。

2、棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，

由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五

棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相

似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

3、棱台

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定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部

分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五

棱台等

表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD—A'B'C'D'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧

棱交于原棱锥的顶点

4、圆柱

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所

围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半

径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

5、圆锥

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围

成的几何体

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几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图

是一个扇形。

6、圆台

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部

分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③

侧面展开图是一个弓形。

球体

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何

体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半

径。

※空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶

点、轴

1.2空间几何体的三视图和直观图

1、中心投影与平行投影

中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。

平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。

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2、三视图

正视图：从前往后

侧视图：从左往右

俯视图：从上往下

画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等

3、直观图：斜二测画法

斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；

（3）.画法要写好。

用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱

（4）成图

1.3空间几何体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h

为斜高，l为

母线）

chS

直棱柱侧面积

rhS2

圆柱侧

'

2

1

chS

正棱锥侧面积rlS

圆锥侧面积

')(

2

1

21

hccS

正棱台侧面积lRrS)(

圆台侧面积lrrS2

圆柱表

lrrS

圆锥表22RRlrlrS

圆台表

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

VSh

柱

2VShrh

圆柱

1

3

VSh

锥

hrV2

3

1



圆锥

''

1

()

3

VSSSSh

台

''22

11

()()

33

VSSSShrrRRh

圆台

（4）球体的表面积和体积公式：V球=3

4

3

R

；S球面=24R

第二章点、直线、平面之间的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

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平面：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线

在

此平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只

只有一条过改点的公共直线

线线关系：1空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都

适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据

线面位置关系

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα

来表示

aαa∩α=Aa∥α

4、面面关系

平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b

2.2直线、平面平行的判定及其性质

1、线面平行判定

共面直线

=>a∥c

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定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平

面平行，符号表示：

作用：直线与平面的判定定理

2、面面平行

定理：一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平

行，

作用：证面面平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

1、线面垂直

定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面

垂直。

作用：证线面垂直

线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。

※在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的

垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂

直性质易得垂线。

2、面面垂直

（1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

作用：证面面垂直

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面

角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内

分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面

角。

（4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；

反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

（5）求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱

的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两

个面的交线所成的角为二面角的平面角

3、垂直关系的性质定理

①线面垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条

直线平行。

②面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内

垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

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第三章直线与方程

3.1直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别

地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，

倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的

斜率。直线的斜率常用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾

斜程度。

当

90,0

时，

0k

；当

180,90

时，

0k

；当90

时，

k

不存在。

②过两点的直线的斜率公式：

)(

21

12

12xx

xx

yy

k







注意：(1)当21

xx

时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角

为90°；

(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线

上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

3.2直线的方程

①点斜式：

)(

11

xxkyy

直线斜率k，且过点



11

,yx

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用

点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是

x=x1。

②斜截式：

bkxy

，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：

11

2121

yyxx

yyxx







（1212

,xxyy

）直线两点



11

,yx

，



22

,yx

④截矩式：

1

xy

ab



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其中直线

l

与x轴交于点

(,0)a,与y

轴交于点

(0,)b,即l

与x轴、

y

轴的截距

分别为,ab。

⑤一般式：

0CByAx

（A，B不全为0）

注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：

平行于x轴的直线：

by

（b为常数）；平行于y轴的直线：

ax

（a为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线

0

000

CyBxA

（00

,BA

是不全为0的常数）的直线

系：

0

00

CyBxA

（C为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k的直线系：



00

xxkyy

，直线过定点



00

,yx

；

（ⅱ）过两条直线

0:

1111

CyBxAl

，

0:

2222

CyBxAl

的交点的直

线系方程为

0

222111

CyBxACyBxA

（为参数），其中直线2

l

不在直线系

中。

（6）两直线平行与垂直

当111

:bxkyl

，222

:bxkyl

时，

212121

,//bbkkll

；

1

2121

kkll

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

3.3直线的交点坐标与距离公式

1、两条直线的交点

0:

1111

CyBxAl

0:

2222

CyBxAl

相交

交点坐标即方程组









0

0

222

111

CyBxA

CyBxA

的一组解。

方程组无解21

//ll

；方程组有无数解1

l

与2

l

重合

2、两点间距离公式：设1122

(,),AxyBxy，（）

是平面直角坐标系中的两个点，

则22

2121

||()()ABxxyy

3、点到直线距离公式：一点



00

,yxP

到直线

0:

1

CByAxl

的距离

22

00

BA

CByAx

d







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4、两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

第四章圆与方程

4.1圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点

为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程

2

22rbyax

，圆心

ba,

，半径为r；

（2）一般方程

022FEyDxyx

当

0422FED

时，方程表示圆，此时圆心为















2

,

2

ED

，半径为

FEDr4

2

1

22

当

0422FED

时，表示一个点；当

0422FED

时，方程不

表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条

件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来

确定圆心的位置。

4.2直线、圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列

两种方法判断：

（1）设直线

0:CByAxl

，圆

2

22:rbyaxC，圆心

baC,

到l

的距离为22BA

CBbAa

d







，则有

相离与Clrd

；相切与Clrd；

相交与Clrd

（2）设直线0:CByAxl，圆

2

22:rbyaxC

，先将方程联立消

元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有

相离与Cl0；

相切与Cl0

；相交与Cl0

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式

2

00

ryyxx

去解直线与圆相

切的问题，其中



00

,yx

表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

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①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为

2

00

ryyxx

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

2、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之

间的大小比较来确定。

设圆

2

2

1

2

11

:rbyaxC，

2

2

2

2

22

:RbyaxC

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大

小比较来确定。

当

rRd

时两圆外离，此时有公切线四条；

当

rRd

时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一

条；

当

rRdrR

时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切

线；

当

rRd

时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当

rRd

时，两圆内含；当

0d

时，为同心圆。

4.3空间直角坐标系

（1）定义：如图，,,,,OBCDDABC是单位正方体.以A为原点，

分别以OD,O,A,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。

这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）O叫做坐标原点

2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.

3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形

成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指

指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组

(,,)xyz

来

表示，有序实数组

(,,)xyz叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，

记作

(,,)Mxyz

（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做

点M的竖坐标）

（4）空间两点距离坐标公式：2

12

2

12

2

12

)()()(zzyyxxd