极限的运算法则

1

1.3.1极限的四则运算

一、极限运算法则

定理1

lim(),lim(),fxAgxB设

则

(1)lim[()()];fxgxAB(2)lim[()()];fxgxAB

()

(3)lim,0

()

fxA

B

gxB

其中

推论1

).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果

即：常数因子可以提到极限记号外面.

推论2

.)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果

定理2（复合函数的极限）

.)(lim))((lim,)(lim,)(),(U

ˆ

,)(lim,)()())((

000

0

00

0

aufxfaufuxx

uxxuufyxfy

uuxxuu

xx













则又有内

去心邻域且在若复合而成及是由设

二、求极限方法举例

常见方法：a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;

c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.

（一）多项式与分式函数代入法求极限

则有设,)(.11

10n

nnaxaxaxf

n

n

xx

n

xxxx

axaxaxf



1

10

)lim()lim()(lim

000

).(

0

xf

则有且设,0)(,

)(

)(

)(.2

0

xQ

xQ

xP

xf

)(lim

)(lim

)(lim

0

0

0xQ

xP

xf

xx

xx

xx









)(

)(

0

0

xQ

xP



).(

0

xf

.,0)(

0

则商的法则不能应用若xQ

例1).53(lim2

2





xx

x

求

解：)53(lim2

2





xx

x

5lim3limlim

22

2

2



xxx

xx5limlim3)lim(

22

2

2



xxx

xx

52322

.3

例2求.

35

123

lim

2

23

2



xx

xxx

x

解：

35

123

lim

2

23

2



xx

xxx

x3

1

6

3252

122223

2

23









例3求)

14

1

35

1

15

1

3

1

(lim

2



nn

解：





)12)(12(

1

14

1

2nnn



















12

1

12

1

2

1

nn

)12)(12(

1

75

1

53

1

31

1

14

1

35

1

15

1

3

1

2



















nnn



n

nnaxaxa1

0100

2











































































12

1

12

1

7

1

5

1

5

1

3

1

3

1

1

2

1

nn



















12

1

1

2

1

n

.

2

1

12

1

1

2

1

lim)

14

1

35

1

15

1

3

1

(lim

2























nnnn



例4).

21

(lim

222n

n

nnn





求解：当

．是无限多个无穷小之和时,n

先变形再求极限.

2222

21

lim)

21

(lim

n

n

n

n

nnnn











2

)1(

2

1

lim

n

nn

n







)

1

1(

2

1

lim

nn





.

2

1



(二))

0

0

(型消去零因子法求极限

消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法

（1）因式分解

例1.

32

1

lim

2

2

1



xx

x

x

求)

0

0

(型

解：.,,1分母的极限都是零分子时x.)1(后再求极限因子先约去不为零的无穷小x

)1)(3(

)1)(1(

lim

32

1

lim

1

2

2

1









xx

xx

xx

x

xx3

1

lim

1





x

x

x

.

2

1



练习：求

h

xhx

h

33

0

)(

lim





解：原式=

h

xxhxhxxhx

h

])())[((

lim

22

0





])()[(lim22

0

xxhxhx

h





23x

（2）有理化法，将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。

例2.

22

325

lim

2



x

x

x

求解：.,0)22(lim

2

故不能直接用公式计算由于



x

x

)22)(22)(325(

)22)(325)(325(

lim

22

325

lim

22









xxx

xxx

x

x

xx

)42)(325(

)22)(42(

lim

2





xx

xx

x

.

3

2

)325(lim

)22(lim

325

22

lim

2

2

2



















x

x

x

x

x

x

x

练习：求

xx

x

x11

lim

0













0

0

解：原式=

)1()1(

)11(

lim

0xx

xxx

x



x

xxx

x2

)11(

lim

0





2

)11(

lim

0

xx

x







=1

3

（3）变量替换法

例5.

1

1

lim

3

1



x

x

x













0

0

解：令

11,6

6txxttx，时且则

原式=

1

1

lim

2

3

1



t

t

t)1)(1(

)1)(1(

lim

2

1





tt

ttt

t)1(

)1(

lim

2

1





t

tt

t2

3



(三))(型



无穷小因子分出法

为非负整数时有和当nmba,0,0

00







































,,

,,0

,,

lim

0

0

1

10

1

10

mn

mn

mn

b

a

bxbxb

axaxa

n

nn

m

mm

x

当

当

当





无穷小因子分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.

例1.

147

532

lim

23

23





xx

xx

x

求解：

.,,分母的极限都是无穷大分子时x

.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x

3

3

23

23

14

7

53

2

lim

147

532

lim

x

x

x

x

xx

xx

xx













.

7

2



练习：求下列极限

12

423

lim1

3

3





x

xx

x

、

2

3



12

42

lim2

5

4





x

xx

x

、=0

12

13

lim3

3

4





x

xx

x

、



（四）利用无穷小运算性质求极限

1、利用有界函数与无穷小乘积是无穷小

例1求

x

x

x

sin

lim



.

解：,

1

,为无穷小时当

x

x.sin是有界函数而x.0

sin

lim

x

x

x

2、利用无穷小与无穷大的关系（倒数关系）

例2.

32

14

lim

2

1



xx

x

x

求

解)32(lim2

1





xx

x



,0商的法则不能用)14(lim

1





x

x

又

,03

14

32

lim

2

1





x

xx

x

.0

3

0



由无穷小与无穷大的关系,得.

32

14

lim

2

1







xx

x

x

（五）)(型

两个无穷大量相减的问题，我们首先进行通分运算，设法去掉不定因素，然后运用四则运算法则求其极限。

x

x

y

sin



4

也就是说，要将型型或转化为型







0

0

)(。具体有通分法、分子有理化。

例1求)

1

3

1

1

(lim

3

1



xxx

解：原式=

1

31

lim

3

2

1



x

xx

x)1)(1(

)2)(1(

lim

2

1





xxx

xx

x

1

)1(

)2(

lim

2

1









xx

x

x

例2))3((limxxx

x





解：原式=



xxx

xxx

x



)3(

)3(

lim

2

xxx

x

x



)3(

3

lim

1)

3

1(

3

lim







x

x2

3



练习：.)2(1limxxx

x





求

解：)2(1limxxx

x



xx

xxxxx

x





2

)2)(2(1

lim

xx

x

x





2

12

lim.1

1

1

1

1

1

1

2

lim













xx

x

（六）利用左右极限与极限的关系

例1设,

0,

0,1

)(













xbx

xe

xf

x

问b取何值时,)(lim

0

xf

x

存在,并求其值。.

解



)(lim

0

xf

x



2)1(lim

0





x

x

e





)(lim

0

xf

x

bbx

x





)(lim

0

由函数的极限与其左、右极限的关系,得b=2,.2)(lim

0





xf

x

练习：).(lim,

0,1

0,1

)(

0

2

xf

xx

xx

xf

x









求设

解：两个单侧极限为是函数的分段点,0x)1(lim)(lim

00

xxf

xx





,1

)1(lim)(lim2

00





xxf

xx

,1左右极限存在且相等，.1)(lim

0





xf

x

故

（七）复合函数求极限方法

例

0

x

x

e



求

解：0sin,0xux时因为所以，由复合函数求极限法则,1lim

0





u

u

e.1limsin

0





x

x

e

注：这类复合函数的极限通常可写成.1lim0

sinlim

sin

0

0



eee

x

x

x

x

例x

x

x



求解：xx

x

x

x

exlncoscoslimlim





.

1

ln

lncoslim







ee

xx

x

5

1.3.2两个重要的极限

一、1

sin

lim

0



x

x

x

:1

sin

lim

0

使用时须注意对

x

x

x

型；类型是

0

0

)1(推广形式)2(1

)(

)(sin

lim

)x(

0





x

x

xx



或

0)(lim

)x(

0







x

xx



或

其中单位是弧度。x)3(

例1

x

x

x

4sin

lim

0

求解：原式=4.

4

4sin

lim

0x

x

x

=4

例2求

x

x

x

x

xx

tan

lim2

2sin

3sin

lim1

00

、、

解：

x

x

x2sin

3sin

lim1

0

、

x

x

x

x

x

x

x

2

2

2sin

3

3

3sin

lim

0









x

x

x

x

x

x

2

2sin

lim2

3

3sin

lim3

0

0











2

3

12

13









x

x

x

x

x

xx

cos

sin

lim

tan

lim2

00

、

xx

x

xcos

sin

lim

0



xx

x

xxcos

1

lim

sin

lim

00



111

例3求极限

x

x

x

3

sinlim



解：

x

x

x

3

sinlim



)

3

3

3

sin

(lim

x

x

x

x

x





x

x

x3

3

sin

lim3





313

练习：求

3

0

sintan

lim

x

xx

x





解：原式=

3

0

sin

cos

sin

lim

x

x

x

x

x



x

x

xx

x

x

sin

.

cos

cos1

lim

2

0







x

x

x

x

x

x

sin

.

cos

1

.

2

sin2

lim

2

2

0



2

1

cos

1sin

2

2

sin

lim

2

0xx

x

x

x

x







































2

1



二、e

x

x

x





)

1

1(limexx

x





1

0

)1(lim

)1(

:)

1

1(lim)1(lim

1

0

使用须注意对e

x

xx

x

x

x





型；类型是1)1(推广形式)2(

0)(lim,)](1[lim

00

)(

1





xex

xx

x

xx

；



)(lim,]

)(

1

1[lim

00

)(xe

xxx

x

xx







例4.)

1

1(limx

xx





求解：1])

1

1[(lim



x

xx

原式

x

x

x











)

1

1(

1

lim.

1

e



例5x

xx

)

3

1(lim)1(



xx

x

1

)31(lim)2(

0





解：x

xx

)

3

1(lim)1(



3

3])

3

1[(lim

x

xx





3e

.

6

xx

x

1

)31(lim)2(

0





)3(

3

1

)]3(1[lim

0







xx

x

3})]3(1{[lim3

1





xx

x

3e

例634)

2

1

1(lim



x

xx

求

解：34)

2

1

1(lim



x

xx

34)

2

1

1()

2

1

1(lim

xx

x

x





322)

2

1

1(lim])

2

1

1[(lim

xxx

x

x





12e2e

例7x

xx

x

2)

1

2

(lim







求

解：x

xx

x

2)

1

2

(lim







2)1(2)

1

1

1(lim



x

xx

2)1(2)

1

1

1()

1

1

1(lim









xx

x

x

221)

1

1

1(lim])

1

1

1[(lim













xxx

x

x

2e

练习.)

2

3

(lim2x

xx

x







求解14)2(2)

2

1

1(lim



x

xx

原式422)

2

1

1(])

2

1

1[(lim









xx

x

x

.2e

解2x

xx

2)

2

1

1(lim







原式0,x,2

1

x,

2

1





t

t

t

x

且则令

4

2

0

)1(lim





t

t

t原式4

0

2

1

0

)1(lim)1(lim

















tt

t

t

t

=e2

【补充】等价无穷小代换

定理(等价无穷小代换定理)

.limlim,lim~,~



























则存在且设

常用等价无穷小:,0时当x

2

1

~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1,1cos~

2

xxxxxxxexx

例1.

cos1

2tan

lim

2

0x

x

x

求解：.2~2tan,

2

1

~cos1,02xxxxx时当

2

2

0

2

1

)2(

lim

x

x

x

原式

.8

若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小

代换，而不会改变原式的极限．

例2.

arcsin

sin)1(

lim

0x

xx

x





求

解.~arcsin,~sin,0xxxxx时当

x

xx

x

)1(

lim

0







原式)1(lim

0





x

x

.1

注意不能滥用等价无穷小代换。切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷

小不能分别代换.

例3.

2sin

sintan

lim

3

0x

xx

x





求错解.~sin,~tan,0xxxxx时当

3

0)2(

lim

x

xx

x







原式

.0（）

解：,0时当x

,2~2sinxx)cos1(tansintanxxxx

,

2

1

~3x

3

3

0)2(

2

1

lim

x

x

x

原式.

16

1

