宋元四大数学家(宋元四大数学家及著作)

刘徽

刘徽（生卒年不详），山东淄川（或临淄）一带人，魏晋之际的数学家，也是中国古代杰出的数学家。　　刘徽于魏陈留至景元四年（263年）注《九章算术》9卷。并撰有《重差》（《重差》单行，改称《海岛算经》）、《九章重差图》。对先秦至两汉时期中国数学的成就，作了系统的阐发和理论总结，并提出许多创造性的见解，从而把我国古代数学提高到一个新水平。他的割圆术、圆周率近似值、四棱锥体积公式证明、出入相补原理等，都为古代数学的发展做出了杰出的贡献。他处理球体积问题的方法，为祖冲之父子解决这一问题提供了正确途径。《海岛算经》发展了传统的重差术和勾股测量法。　　刘徽主要 在三国时代，可能死于晋初。《九章》原序说，“徽幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探柘之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。”由此可知，刘徽为《九章》作注时年事已较长。后来，宋徽宗大观三年（1109年）礼部太常寺追封古代数学家爵位，封其为“淄乡男”。　　刘徽治学严谨，刻苦自励，自幼到长，研究《九章》，最后为之作序。他孜孜不倦，倾毕生精力，勤于数学研究探索。他不迷信古人，不生吞活剥地背诵经典，而是寻根究底，着力吸收前人成就之精华，发展中国的古代数学。　　刘徽一生集前辈之大成，总起来说，在数学方面的成就可概括为两个方面：一是清理阐发古代数学理论，致力于建立完整的科学理论体系；二是推陈出新，取得一批出色的数学创作。刘徽特别重视和强调数学理论的研究。他认为，数学有应用的一面，也有理论的一面。依据相传的成法解答具体问题是比较容易掌握的，而探索发现数学的真理则是相当艰巨的工作。在他看来，在学习与应用古代数学的基础上，开展理论研究是一项十分重要的任务。他具有高度的抽象概括能力。致毕生精力探讨和总结数学中的普遍原理原则，解决了许多重大的理论关键问题。他在几何学方面的贡献尤为显著。　　《九章算术》是现存最早的中国古典数学名著，它系统总结了先秦至两汉时期中国数学的重大成就，是中国古代数学体系形成的显著标志。全书分为9章，采用问题集形式，收集了246个数学问题和有关解题方法。《九章》涉及的数学理论门类繁多，但原书的编排体系，以及它的算法表达形式，使人难以了解其各种算法的数学原理及其内在的逻辑联系。刘徽的注释是具有高度创造性的科学论文。他一面阐述每个具体算法的理论依据，一面揭示各种算法之间的内在联系，使之成为一严谨、完整的理论体系。　　西汉时期，主张盖天说的天文学派有一种测量太阳高、远的方法，当时的数学家称其为“重差术”，曾作为“算术”中一个科目的名称。可是，到了刘徽时代此术几乎失传。刘徽通过对天文测量原理的深入钻研，使此术得以再现和发展。他运用“类推衍化”的方法，使重差术由重表、累矩的两望（两次测望），发展为“三望”、“四望”。测望问题在古希腊已有发现，但所测只限于一望。欧洲在15、16世纪的著作中，也只有两次测望的记载。可见刘徽在古代测望问题方面的成就是卓著的。

赵爽，又名婴儿，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约182---250年。据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过"算术"。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周序算经》该书写了序言，并作了详细注释。该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。其中一段530余字的"勾股圆方图"注文是数学史上极有价值的文献。他详细解释了《周霸算经》中勾股定理，将勾股定理表述为:"勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。"。又给出了新的证明:"按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。"。"又""亦"二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明。

贾宪，11世纪前半叶中国北宋数学家。贾宪是中国十一世纪上半叶(北宋)的杰出数学家.曾撰《黄帝九章算法细草》(九卷)和《算法古集》(二卷)，都已失传。据《宋史》记载，贾宪师从数学家楚衍学天文、历算，著有《黄帝九章算法细草》、《释锁算书》等书。贾宪著作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，得以保存下来。贾宪的主要贡献是创造了"贾宪三角"和"增乘开方法"。增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的综合除法，其原理和程序都与它相仿。增乘开方法比传统的方法整齐简捷，又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性.增乘开方法的计算程序大致和欧洲数学家霍纳(公元1819年)的方法相同，但比他早770年。

祖冲之（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。祖冲之从小接受家传的科学知识。青年时进入华林学省，从事学术活动。一生先后任过南徐州（今镇江市）从事史、公府参军、娄县（今昆山市东北）令、谒者仆射、长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面，首次将“圆周率”精算到小数第七位，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。

求算圆周率的值是数学中一个非常重要也是非常困难的研究课题。中国古代许多数学家都致力于圆周率的计算，而公元5世纪祖冲之所取得的成就可以说是圆周率计算的一个跃进。 祖冲之是中国古代伟大的数学家和天文学家。祖冲之于公元429年出生在建康（今江苏南京），他家历代都对天文历法有研究，他从小就接触数学和天文知识，公元464年，祖冲之35岁时，他开始计算圆周率。　　在中国古代，人们从实践中认识到，圆的周长是“圆径一而周三有余”，也就是圆的周长是圆直径的三倍多，但是多多少，意见不一。在祖冲之之前，中国数学家刘徽提出了计算圆周率的科学方法－－“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长，用这种方法，刘徽计算圆周率到小数点后4位数。 祖冲之在前人的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，将圆周率推算至小数点后7位数（即3.1415926与3.1415927之间），并得出了圆周率分数形式的近似值。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从查考。如果设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16000多边形，这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！

祖冲之计算得出的圆周率，外国数学家获得的同样结果，已是一千多年以后的事了。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把圆周率π叫做“祖率”。 除了在计算圆周率方面的成就，祖冲之还与他的儿子一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列利”（Cavalieri）原理，但这是在祖冲之以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，数学上也称这一原理为“祖原理”。　　祖冲之在数学领域的成就，只是中国古代数学成就的一个方面。实际上，14世纪以前中国一直是世界上数学最为发达的国家之一。比如几何中的勾股定理，在中国早期的数学专著《周纵算经》（大约于公元前2世纪成书）中即有论述；成书于公元1世纪的另一本重要的数学专著《九章算术》，在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；13世纪时，中国就已经有了十次方程的解法，而直到16世纪，欧洲才提出三次方程的解法。

杨辉（生卒年未详），字谦光，宋钱塘县（今杭州）人。精研数学，被列为宋元四大数学家之一。宋景定二年（1261），著《详解九章算法》，后附《纂类》，共12卷。内有“开方作法本源图”，即二项式定理系数表。这一方法出于北宋贾宪著《释锁算书》，已失传。杨辉在书中不仅记录下来，还作了详尽阐述。这个外形很像一个三角形，后人称之为“杨辉三角”。欧洲著名的“巴斯加三角”与之相同，但比杨辉迟300余年。景定三年，著《日用算法》2卷，把复杂的乘除法改为简便的加减法，非常实用。为适合初学，还编有诗话13首，立图草66问。又采摘古今算术，于咸淳十年（1274）撰《算法通变本末》，分上、中、下3卷。上、中两卷又名《乘除通变算宝》，书内列有“九归”口诀，介绍筹算乘除的各种简捷算法。下卷又名《法算取用本末》，系与史仲荣合撰。十一年，撰《田亩比类乘除捷法》2卷，《续古摘奇算法》2卷。以上7卷，合称《杨辉算法》。朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。他还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。杨辉对中国和世界数学史都作出了杰出贡献。

秦九韶（1208—1268），字道古，四川普州（今安岳）人，嘉定元年（1208）春诞生在普州，绍定二年（1229）十月，秦九韶擢郪县县尉，绍定四年（1231）八月，秦九韶参与魏了翁平抑泸州蛮夷，葺其城楼橹雉堞，绍定五年（1232）八月乙丑进士，绍定六年，秦九韶在魏了翁带领吴潜等督视潼川府路、成都府路时认识吴潜，魏了翁和吴潜同秦九韶去拜望病中的许奕。端平三年（1236）一月，秦九韶擢升湖北蕲州（今湖北蕲春县）通判，嘉熙元年（1237）年秋，秦九韶知和州（今安徽和县）。嘉熙二年（1238），秦九韶回临安丁父忧，秦九韶在杭州丁父忧期中，发现西溪两岸的群众过河很不方便，在西溪上设计修建一座桥，名“西溪桥”，数学家朱世杰为纪念秦九韶，将桥命名为“道古桥”。嘉熙三年（1239），秦九韶在杭州处理完父亲的后事之后，便和母亲、妻子回到湖州西门外父亲早年备置的宅第，继续丁父忧。秦九韶在湖州丁父忧期中，与知庆元府（浙江宁波）吴潜交尤稔，着手改建父亲备置的住宅。淳祐三年六月，吴潜回湖州丁母忧，秦九韶与被夺官的吴潜交往更是密切。淳祐四年（1244），秦九韶以通直郎出任建康（南京）府通判，十一月，秦九韶丁母忧，解官离任，回湖州为近八旬的母亲守灵，将潜心研究、用于实践中的数学成果，著书《数学大略》。此时，吴潜也在湖州丁母忧，两人交往甚犹。淳祐八年（1248），《数学大略》得见于朝。淳祐九年（1249），目录学家陈振孙，在编书目时向秦九韶请教，淳祐十年年（1250），秦九韶卸任建康通判，出任苏州州守。宝祐二年（1254），九韶出任江宁（江苏南京）府知府、沿江制置司参议官，管理江南十府粮道，宝祐四年去职。宝祐六年（1258），秦九韶由贾似道荐于李曾伯为琼州守，凡数月去之。开庆元年（1259）十月，吴潜第二次入相，秦九韶有江东（江苏南京）议幕之除。又除司农丞前去平江（府治在今苏州市）措置米餫，俱以事罢。景定元年（1260），秦九韶知临江军（江西清江县西临江镇，南宋为临江军，辖清江、新喻、等县）。景定二年（1261）六月，秦九韶广东梅州知军州事。咸淳四年（1268）二月，秦九韶在梅州治政近六年左右，得知朝廷为吴潜追复爵禄，了却心中惦念的沉冤，在梅州辞世，时年六十一岁。

秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，又体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。” 德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G•Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。

朱世杰，元代数学家。字汉卿，号松庭。北京附近人。活动时期大约在至元七年（1270）至延祐七年（1320）。著有《算学启蒙》3卷、《四元玉鉴》3卷。《算学启蒙》是当时一部较有影响的启蒙数学书，曾流传到日本和朝鲜。现存的《算学启蒙》就是根据1660年朝鲜刻本于1839年翻刻的。他在数学上的重大成就有：高次方程组（最多可包括4个未知数）的解法，高阶等差级数求和、找差法等。

徐光启（1562年4月24日－1633年11月10日），中国明末科学家，农学家，政治家，中西文化交流的先驱之一。字子先，号玄扈，教名保禄。汉族。南直隶松江府上海县（今上海市）人，天主教徒，并且被称为“天主教三柱石”之首。万历三十二年（1604）进士。通天文、历算，习火器。入天主教，与意大利人利玛窦研讨学问。四十年前，充历书纂修官，与传教士熊三拔共制天、地盘等观象仪。次年遭暴，称病去职，屯耕于天津。四十七年，明军败于萨尔浒，疏请自效，擢河南道御史，练兵通州。熹宗即位，以志不得展，藉病归。天启元年(1621)复职，力请铸红夷炮御敌，后劝魏忠贤革职。崇祯元年（1628）召还，奉敕督领历清军。三年，疏陈垦田、水利、救荒、盐法等拯时急务，擢礼部尚书，奉旨与传教士龙华民、邓玉函、罗雅各等修正历法。五年，以礼部尚书兼殿阁大学士入参机务。崇祯六年(1633年)卒于北京。赠少保，谥文定。著有REN《徐氏庖言》、《诗经六帖》，编著《农政全书》、《崇祯历书》，译《几何原本》、《泰西水法》等。

李善兰（1811—1882），名心兰，庠名善兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔，海宁硖石人。自幼聪颖好学，从陈奂治经学，但偏嗜数学。9岁自学通《九章算术》，14岁通欧几里得《几何原本》前6卷。后到杭州参加科举考试，得《测圆海镜》、《勾股割圆记》等书，带回家中，潜心钻研，造诣日深。在中国传统数学垛积术和极限方法基础上，发明了“尖锥术”，并据此提出“对数论”。这一独创成果受到西方学者的高度评价。清道光二十四年（1844），住在嘉兴陆家，期间结识江浙一带数学家顾观光、张文虎、汪日桢等，经常聚集研究数学问题。并频频与外地的数学家罗士琳、徐有壬等通信，切磋学术。咸丰二年（1852），到上海墨海书馆，结识英国学者伟烈亚力、艾约瑟、韦廉臣等，共同探讨数学。与伟烈亚力合作（伟口述，李笔录）翻译了《几何原本》后9卷、棣么甘《代数学》（我国第一部符号代数学的译本）以及罗密士《代微积拾级》，对西方近代数学作了系统介绍。与此同时，翻译了《重学》、《谈天》、《植物学》，第一次向我国介绍西方近代物理学、天文学、植物学的最新成就。在历时8年的翻译过程中，尽心竭力，译文达七八十万字，其中大量科学名词无先例可参考，善兰反复衡量，仔细斟酌，创译了一大批科学名词，如：代数、函数、指数、微分、积分、轴、坐标、切线、方位、自行、摄动、光行差、分力、合力、质点、细胞等等，一直沿用至今。为我国近代科学的传播和发展作出了贡献。十一年，应曾国藩之邀入安庆军械所，后又至南京主持金陵书局，积极从事与洋务新政有关的科技学术活动。同治三年（1864）七月，向曾国藩提出刻印自己的译著和所有数学书籍的要求，得到允诺。次年由曾国藩亲自书签，《几何原本》在南京出版。翌年，又由曾国藩资助，将所有手稿尽数付印，出版《则古昔斋算学》。在安庆曾国藩军中，善兰还得以安心写作《火器真诀》（我国第一部弹道学著作）。七年，经广东巡抚郭嵩焘推荐，赴京任同文馆天文算学总教习，官至户部郎中、总理衙门章京。十年，发表了我国第一篇关于素数的论文《考根数法》，不仅证明了费尔马定理，而且指出了它的逆定理之不存在。在《垛积比类》中，为解决三角自乘垛的求和问题提出了一个恒等式，后被国际间命名为“李善兰恒等式”。对于“李善兰等式”，著名数学家华罗庚十分推崇，并在《数学归纳法》中加以引用。善兰是我国教育史上第一位数学教授，在同文馆任教的10余年间，悉心培育了100多位科学人才。

李善兰毕生醉心科学。年轻时，洞房花烛之夜，独自一人悄悄登上0进行每天例行的天象观察，至今传为美谈。光绪八年（1882）逝世前几个月，还着手编著《级数勾股》。　　李善兰对训阕词章也有研究，善诗、嗜酒，年轻时常与“鸳湖吟侣”诗友们相唱和。道光二十二年（1842），英国侵略军攻陷乍浦，善兰满怀悲愤写下了控诉侵略者的诗篇《乍浦行》、《刘烈女》、《汉奸谣》等，表达了其爱国热忱。有《则古昔斋遗诗》1卷。　　李善兰的墓在海宁牵罾桥东北。故居尚存。1982年10月，中国科学技术史学会在杭州举行学术讨论会，纪念李善兰对中国近代科学发展作出的杰出贡献。

祖暅，字景烁，范阳遒县(今河北涞水)人。中国南北朝时期数学家、天文学家，祖冲之之子。同父亲祖冲之一起0 解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式，并据此提出了著名的"祖暅原理"。祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出"幂势既同则积不容异"，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理(或刘祖原理)。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利(BonaventuraCavalier)发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅是我国古代最伟大的数学家之一。