等比数列练习题

等差等比数列练习题

(含答案)以及基础知

识点

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一、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳：

1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{

1nnnn

adaaa则常数满足



称等差数列；

2°.通项公式：;)()1(

1

dknadnaa

kn



3°.前n项和公式：公式：.

2

)1(

2

)(

1

1d

nn

na

aan

Sn

n









②等比数列：1°.定义若数列q

a

a

a

n

n

n

1}{满足（常数），则}{

n

a称等比数列；2°.通项公式：

;1

1

kn

k

n

n

qaqaa3°.前n项和公式：),1(

1

)1(

1

1

1











q

q

qa

q

qaa

S

n

n

n

当q=1时.

1

naS

n



2．简单性质：

①首尾项性质：设数列,,,,,:}{

321nn

aaaaa

1°.若}{

n

a是等差数列，则;

23121



nnn

aaaaaa

2°.若}{

n

a是等比数列，则.

23121



nnn

aaaaaa

②中项及性质：

1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且

;

2

ba

A





2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且.abG

③设p、q、r、s为正整数，且,srqp

1°.若}{

n

a是等差数列，则;

srqp

aaaa

2°.若}{

n

a是等比数列，则;

srqp

aaaa

④顺次n项和性质：

1°.若}{

n

a是公差为d的等差数列，



n

k

n

nk

n

nk

kkk

aaa

1

2

1

3

12

,,则组成公差为n2d的等差数列；

2°.若}{

n

a是公差为q的等比数列，



n

k

n

nk

n

nk

kkk

aaa

1

2

1

3

12

,,则组成公差为qn的等比数列.（注意：当

q=－1，n为偶数时这个结论不成立）

⑤若}{

n

a是等比数列，

则顺次n项的乘积：

nnnnnnn

aaaaaaaaa

3221222121

,,



组成公比这2nq的等比数列.

⑥若}{

n

a是公差为d的等差数列,

1°.若n为奇数，则,,:(

2

1



nn

aaaaSSnaS

中中中偶奇中

即指中项注且而S奇、S

偶

指所有奇数

项、所有偶数项的和）；

2°.若n为偶数，则

.

2

nd

SS

奇偶

（二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项

公式是项n的一次函数a

n=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函

数S

n=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对

学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能

用课外的需要证明的性质解题.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为

“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或

q

a

，a,aq)”③四数成等

差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,mamamamamamamaa或”④四数成等比数列，可设

四数为“),,,,(,,,3

3

32aqaq

q

a

q

a

aqaqaqa或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.

[例1]解答下述问题：

（Ⅰ）已知

cba

1

,

1

,

1

成等差数列，求证：

（1）

c

ba

b

ac

a

cb

,,

成等差数列；

（2）

2

,

2

,

2

b

c

bb

a

成等比数列.

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，

.

2

,

2

,

2

,)

2

(

4

)(

2

)

2

)(

2

)(2(

;,,

.

)(2

)(

)(2

)(

)1(

),(2

2211

2

2

2

2222

成等比数列

成等差数列

b

c

bb

a

bb

ca

b

ac

b

c

b

a

c

ba

b

ac

a

cb

b

ca

cab

ca

ac

cacab

ac

abacbc

c

ba

a

cb

cabac

bac

ca

bca











































[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”

判断，.

（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为

①

②

①

②

2128，求项数n.

[解析]设公比为24

2128

1024

,

142

531

n

n

aaa

aaaa

q







)1(242

1

1



n

qa

.7,

2

35

2

5

,2)2()1(,2)(

2)1(221281024

2

35

2

5

2

35

2

1

1

2

35

321

1

2

35

321











n

n

qa

nqaaaaa

nn

n

n

得

代入得将

而

（Ⅲ）等差数列{a

n}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：

,17,5,1,,,,

321

21

kkkaaa

n

kkk

其中恰为等比数列

求数列.}{项和的前nk

n

[解析],,,,

171

2

51751

aaaaaa成等比数列

.13

13

13

2}{

,132

)1(2)1(

323

,3

4

}{

,2,0

0)2()16()4(

1

1

11

1

1

1

1

5

1

111

2

1





























nnSnk

k

dkddkaa

daa

a

da

a

a

qa

dad

daddaada

n

n

nn

n

n

nnk

nn

k

k

n

n

n

项和的前

得由

而

的公比数列



[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.

[例3]解答下述问题：

（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，

又成等比数列，求原来的三数.

[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，

设等差数列的三项分别为a－d,a,a+d，则有

.

9

338

,

9

26

,

9

2

50,10,2

,

9

26

10,

3

8

8,064323

168

03232

))(()4(

)32)((

2

2

2

2

2

或原三数为

或得或



































adddd

da

add

dadaa

adada

（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.

[解析]设此四数为)15(15,5,5,15aaaaa,

①

②

①，②

































25

2

125

1

,,

,2551251125

,125))((45004

)()2()15()5()5()15(

22

22222

am

am

am

am

amamamam

amamma

Nmmaaaa

且均为正整数与



解得),(1262不合或aa所求四数为47，57，67，77

[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数

列的问题中是主要方法.

二、等差等比数列练习题

一、选择题

1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）

（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D）不存在

2.、在等差数列

n

a中，4

1

a,且

1

a,

5

a,

13

a成等比数列，则

n

a的通项公式为（）

（A）13na

n

（B）3na

n

（C）13na

n

或4

n

a（D）3na

n

或4

n

a

3、已知cba,,成等比数列，且yx,分别为a与b、b与c的等差中项，则

y

c

x

a

的值为（）

（A）

2

1

（B）2（C）2（D）不确定

4、互不相等的三个正数cba,,成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么

2x，

2b，

2y三个数（）

（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列

（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列

5、已知数列

n

a的前n项和为

n

S,nnS

n

242

12





,则此数列的通项公式为（）

（A）22na

n

（B）28na

n

（C）

12n

n

a（D）nna

n

2

6、已知))((4)(2zyyxxz，则（）

（A）zyx,,成等差数列（B）zyx,,成等比数列（C）

zyx

1

,

1

,

1

成等差数列（D）

zyx

1

,

1

,

1

成等比数列

7、数列

n

a的前n项和1n

n

aS，则关于数列

n

a的下列说法中，正确的个数有（）

①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列④

可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列

（A）4（B）3（C）2（D）1

8、数列1,

16

1

7,

8

1

5,

4

1

3,

2

1

,前n项和为（）

（A）1

2

1

2

n

n（B）

2

1

2

1

1

2

n

n（C）1

2

1

2

n

nn（D）

2

1

2

1

1

2

n

nn

9、若两个等差数列

n

a、

n

b的前n项和分别为

n

A、

n

B，且满足

55

24







n

n

B

A

n

n

，则

135

135

bb

aa





的值为（）

（A）

9

7

（B）

7

8

（C）

20

19

（D）

8

7

10、已知数列

n

a的前n项和为252nnS

n

,则数列

n

a的前10项和为（）

（A）56（B）58（C）62（D）60

11、已知数列

n

a的通项公式5na

n

为,从

n

a中依次取出第3，9，27，…3n,…项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列

的前n项和为（）

（A）

2

)133(nn

（B）53n

（C）

2

3103nn

（D）

2

31031nn

12、下列命题中是真命题的是()

A．数列

n

a是等差数列的充要条件是qpna

n

(0p)

B．已知一个数列

n

a的前n项和为abnanS

n

2

,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

C．数列

n

a是等比数列的充要条件

1n

n

aba

D．如果一个数列

n

a的前n项和cabSn

n

)1,0,0(bba,则此数列是等比数列的充要条件是0ca

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列

n

a，公比1q

875

,,aaa,成等差数列，则公比q=

14、已知等差数列

n

a，公差0d,

1751

,,aaa成等比数列，则

1862

1751

aaa

aaa





=

15、已知数列

n

a满足

nn

aS

4

1

1,则

n

a=

16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为

二、解答题

17、已知数列

n

a是公差d不为零的等差数列，数列

n

b

a是公比为q的等比数列，46,10,1

321

bbb，求公比q及

n

b。

18、已知等差数列

n

a的公差与等比数列

n

b的公比相等，且都等于d)1,0(dd,

11

ba，

33

3ba,

55

5ba,求

nn

ba,。

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

20、已知

n

a为等比数列，

324

20

2,

3

aaa，求

n

a的通项式。

21、数列n

a的前n项和记为

11

,1,211

nnn

SaaSn





（Ⅰ）求

n

a的通项公式；

（Ⅱ）等差数列

n

b的各项为正，其前n项和为

n

T，且

3

15T，又

112233

,,ababab成等比数列，求

n

T

22、已知数列n

a满足

*

11

1,21().

nn

aaanN





（I）求数列n

a的通项公式；

（II）若数列n

b满足12

1

114.4...4(1)()nn

bb

bb

n

anN



，证明：

n

b是等差数列；

数列综合题

一、选择题

题号

1112

答案

BDCAAACADDDD

二、填空题

13.

2

51

14.

29

26

15.n)

3

1

(

3

4



16.63

三、解答题

1

b

=a1,a

2

b

=a10=a1+9d,a

3

b

=a46=a1+45d

由{a

bn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.

∴q=4又由{a

bn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1

∴b

n=3·4n-1-2

18.∴a3=3b3,a1+2d=3a1d2,a1(1-3d2)=-2d①

a5=5b5,a1+4d=5a1d4,∴a1(1-5d4)=-4d②

②

①

,得

2

4

31

51

d

d





=2，∴d2=1或d2=

5

1

,由题意，d=

5

5

,a1=-5。∴an=a1+(n-1)d=

5

5

(n-6)bn=a1dn-1=-

5·(

5

5

)n-1

19.设这四个数为aaqaqa

q

a

2,,,

则















36)3(

216·

aaqaqa

aqa

q

a

②

①

由①，得a3=216,a=6③

③代入②，得3aq=36,q=2∴这四个数为3，6，12，18

20.解:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2=

a3

q

=

2

q

,a4=a3q=2q

所以

2

q

+2q=

20

3

,解得q1=

1

3

,q2=3,

当q

1=

1

3

,a1=18.所以an=18×(

1

3

)n－1=

18

3n－1

=2×33－n.

当q=3时,a

1=

2

9

,所以an=

2

9

×3n－1=2×3n－3.

21.解：(I)由

1

21

nn

aS



可得

1

212

nn

aSn



，两式相减得



11

2,32

nnnnn

aaaaan





又

21

213aS∴

21

3aa

故n

a是首项为

1

，公比为3得等比数列

∴13n

n

a

（Ⅱ）设

n

b的公差为d

由

3

15T得，可得

123

15bbb，可得

2

5b

故可设

13

5,5bdbd

又

123

1,3,9aaa

由题意可得2515953dd

解得

12

2,10dd

∵等差数列

n

b的各项为正，∴0d

∴2d

∴



2

1

322

2n

nn

Tnnn





22（I）：*

1

21(),

nn

aanN





1

12(1),

nn

aa





1

n

a是以

1

12a为首项，2为公比的等比数列。

12.n

n

a

即2*21().

n

anN

（II）证法一：12

1

1144...4(1).nn

bb

bb

n

a



12

(...)

bbbnnb

12

2[(...)],

nn

bbbnnb①

1211

2[(...)(1)](1).

nnn

bbbbnnb



②

②－①，得

11

2(1)(1),

nnn

bnbnb





即

1

(1)20,

nn

nbnb





③

21

(1)20.

nn

nbnb





④

④－③，得

21

20,

nnn

nbnbnb





即

21

20,

nnn

bbb





*

211

(),

nnnn

bbbbnN





n

b是等差数列。