初一数学题

基础巩固篇

第一讲有理数

重点分析：

1.回顾以前学过的关于“数”的知识，进一步理解自然数、分数的产生和发展的实际背景，

通过学生身边的例子体验自然数与分数的意义以及它们在计数、测量、排序、编码等方面的

应用.

2.从相反意义的量的表示，理解正数、负数的概念，理解有理数产生的必然性、合理性.

3.有理数的分类：按有理数的整分性可以分为整数和分数；按有理数的正负性可以分为正有

理数、负有理数和零.

难点分析：

1.分数都可以化为小数，有些小数(有限小数和无限循环小数）可以化为分数.

2.相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量(必须是同一

类量，数量大小可以不相等）.

下列说法中，正确的是(）.

①0是整数；②0是有理数；③0是自然数；④0是正数；⑤0是负数；⑥0是非负数．

A.①②③⑥B.①②⑥C.①②③D.②③⑥

思路点拨0是自然数，是整数，不是正数也不是负数，但属于非负数，根据题意描述进行

判断即可．

解题过程①②③⑥正确，0不是正数也不是负数，所以④⑤错误，故选A．

方法归纳本题考查了有理数的定义，注意掌握0这个特殊的数，它是自然数，也是整数，

它既不是正数也不是负数．

易错误区数扩大到有理数范围后，注意0的特殊性，特别注意0是整数，0既不是正数，

也不是负数，但它是非负数．

把下列各数填入相应的大括号里：

-3，0.2，3.14，8，0，-2，20,

1

4

,-6.5，17%，-2

1

8

.

整数：{…}；

分数：{…}；

正数：{…}；

负数：{…}；

自然数：{…}；

负有理数：{…}．

思路点拨有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分

数，根据以上内容判断即可．

解题过程整数：{-3，8，0，-2，20，…}；

分数：{0.2，3.14,

1

4

,-6.5，17%，-2

1

8

，…}；

正数：{0.2，3.14，8，20,

1

4

,17%，…}；

负数：{-3，-2，-6.5，-2

1

8

，…}；

自然数：{8，0，20，…}；

负有理数：{-3，-2，-6.5，-2

1

8

，…}．

方法归纳本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解本题的关键.注意：有理数包

括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分数．

易错误区本题数据比较多，大部分数据承担多种角色，所以要注意不重不漏.

(1）已知4个矿泉水空瓶可以换1瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，若不付钱，最多可以

喝瓶矿泉水.

(2）师生共52人外出春游，到达后，班主任把买矿泉水的钱给班长，要他给每人买一瓶矿

泉水.班长到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水.班长只

要买瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.

思路点拨(1）看15里面有几个4，再看余下的空瓶包含几个4，把个数相加即可.(2）因为

5个空瓶=1个空瓶+1瓶的水，可知4个空瓶可以换1瓶的水，因此花4瓶的钱可以喝到5

瓶水，所以花40瓶的钱可以喝到50瓶水，还差2瓶单买.

解题过程(1）15÷4=3(组)……3(瓶)，可先换3瓶矿泉水，喝完后还剩3+3=6个空瓶，拿

出4个空瓶换1瓶矿泉水，还剩3个空瓶，找人借1个空瓶凑齐4个空瓶换1瓶矿泉水，喝

完还剩1个空瓶，再把这个空瓶还给那个人，故最多可以喝5瓶矿泉水.

(2）52÷5=10（组）……2（瓶）；4×10+2=42（瓶）.∴班长只要买42瓶矿泉水，就可以保

证每人一瓶.

方法归纳本题考查的知识点是推理与论证，题（2）关键要抓住“5个空瓶可换1瓶矿泉

水”这个条件，据此得出“买4瓶就可以喝到5瓶水”这一结论，然后再列式计算.

易错误区换来的矿泉水喝完又是空瓶，可以继续换.

（1）若m＞0，n＜0，|n|＞|m|，用“＜”号连接m，n，|n|，-m，请结合数轴解答.

（2）由小到大排列下列各分数：

6

11

，

10

17

，

12

19

，

15

23

，

20

33

，

60

91

.

思路点拨（1）首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据

当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来即可.

（2）本题是比较分数的大小，常规方法是通分，将分母化成相同的数，再比较分子的大小，

但本题通分比较复杂，而如果先把分子通分，即化成分子相同的分数，再比较分母的大小就

比较简单了.

解题过程（1）如图，∴n＜-m＜m＜|n|.

方法归纳本题考查的是有理数的大小比较，比较有理数的大小通常有数轴法、作差法、作

商法、分类讨论法等，题（1）利用数轴法比较，题（2）是比较多个分数的大小，可以通分

比较大小，通分既可以通分母，也可以通分子.

易错误区（1）注意：当n<0时，|n|=-n，关键要知道各个数表示的点所在的位置.（2）分

子的最小公倍数是60，通分子与通分母的方法一样，但要注意分子相同的情况下分母越大

分数值越小.

分子为1、分母是等于2或大于2的自然数的分数叫做分数单位.早在三千多年前，古埃及人

就利用分数单位进行书写和计算.将一个分数拆分为几个不同的分数单位之和是一个古老且

有意义的问题.例如：.

(1）仿照上例，分别把分数

5

8

和

3

5

拆分成两个不同的分数单位之和.

58=；35=.

(2）在上例中，

3

4

=

1

4

+

1

2

，又因为

1

2

=

3

6

=

12

6



=

1

6

+

2

6

=

1

6

+

1

3

，所以

3

4

=

1

4

+

1

6

+

1

3

，即

3

4

可以写成三个不同的分数单位之和.按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的

分数单位之和.根据这样的思路，探索分数

5

8

能写成哪些两个以上的不同的分数单位之和.

思路点拨(1）由分数单位的意义可知，将一个分数拆分为几个不同的分数单位之和，就是

利用同分母分数的加法或约分的性质，把这个分数拆成两个同分母分数，使其中一个分子是

1，另一个分数的分子能整除分母.(2）只要根据分数单位的转化方法，把其中一个分数单位

利用分数的性质继续拆分即可.

解题过程(1）.

(2）.(答案不唯一)

方法归纳本题考查了分数性质的灵活应用、同分母分数的相加以及约分方法，也考查了学

生的观察能力.

易错误区分子为1、分母是等于或大于2的自然数的分数叫做分数单位，最大的分数单位

是

1

2

.

请根据各数之间的关系，找规律填空.

(1）

(2）

(3）

思路点拨(1）观察图形中的数可知：(9+6）×1=15；(6+7）×4=52；(5+8）×3=39；由此

可得，每个三角形中：(上面的数+左下的数）×右下的数=中间的数.(2）根据图形中的数可

知：中间的数=上下数之差，左边的数=中间的数×右边的数，由此即可解答.(3）观察每组

图形中三个数的特点可知：下边的数由三部分组成，最左边的数字是右上方的数的十位上的

数字，最右边的数字是左上方的数的个位上的数字，中间的数字是左上方的数的十位上的数

字与右上方的数的个位上的数字之和，由此即可解答.

解题过程(1）(11+3）×2=28.故？=28.

(2）61-56=5，5×3=15.故△=5，？=15.

(3）最左边的数字是6，最右边的数字是8，中间的数字是1+1=2，所以这个数是628.故？

=628.

方法归纳本题主要考查了学生通过对特例进行分析从而归纳总结出一般规律的能力.对于

找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部

分的变化规律后直接利用规律求解.

易错误区规律的确定通常至少要三个特例，从一个或两个特例中总结出的结论不一定正

确，所以归纳出的一般规律要进行检验，使每一个特例都满足规律.

拓展训练

A组

1.小军家的门牌号是256号，其中自然数的应用属于(）.

A.计数B.测量C.标号D.排序

2.下列说法中，错误的有（）.

①-247是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理

数；⑤0是最小的有理数；⑥3.14不是有理数．

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.超市某品牌食品包装袋上“质量”标注：500g±20g.下列待检查的各袋食品中质量合格的

是（）.

A.530gB.519gC.470gD.459g

4.比较-1

3

5

，

12

13

，-1

2

3

，

17

15

的大小，结果正确的是（）.

5.一个纸环链，按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则

被截去部分纸环的个数可能是(）.

A.2018B.2019C.2020D.2021

(第5题）

6.在下表适当的空格里面画上“√”.

有理数整数分数正整数负分数自然数

-7

-3.14

0

2

3

7.气象台记录了某地本周七天的气温变化情况(如下表），其中正号表示的数据是比前一天上

升的温度，负号表示的数据是比前一天下降的温度.已知上周日气温为3℃，根据表中数据，

请你判断该地本周最低气温是℃.

星期一二三四五六日

气温变化（℃）+2-4-1-2+3-5-3

8.某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y（℃）与向上攀登

的高度x（km）的几组对应值如下表：

向上攀登的高度x（km）0.51.01.52.0

气温y（℃）2.0-0.9-4.1-7.0

若每向上攀登1km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.5km时，

登山队所在位置的气温约为℃.

9.将一列数排成如图所示的形式，按此规律排下去，那么第10行从左边数第9个数

是.

（第9题）

10.在奥运五环图案内，分别填写五个数a，b，c，d，e，如，其中a，b，

c是三个连续偶数(a＜b＜c），d，e是两个连续奇数(d＜e），且满足a+b+c=d+e，例如

.请你在0～20之间选择另一组符合条件的数填入五环图案内.

11.把下列各数填入相应的大括号里：

1，-0.1，

1

4

，-789，|-25|，0，-（+20），-3.14，-590，-

1

2

，0.81.

非负整数：{…};

负分数：{…};

正有理数：{…}.

B组

12.下列说法中，正确的有(）.

①整数就是正整数和负整数；②零是整数，但不是自然数；③分数包括正分数、负分数；④

正数和负数统称为有理数；⑤一个有理数，它不是整数就是分数.

A.1个B.2个C.3个D.4个

13.一种“拍7”的游戏规定：把从1起的自然数中含7的数称作“明7”，把7的倍数称作

“暗7”，那么在1~100的自然数中，“明7”和“暗7”共有(）.

A.22个B.29个C.30个D.31个

14.已知数a在数轴上的位置如图，则a，-a，

1

a

，-

1

a

的大小关系是（）.

（第14题）

A.-

1

a

＜-a＜

1

a

＜aB.

1

a

＜a＜-

1

a

＜-a

C.-a＜-

1

a

＜

1

a

＜aD.

1

a

＜a＜-a＜-

1

a

15.已知下列各数：-3.14，24，+17，-7

1

2

,

5

16

,-0.01，0，其中整数有个，负分数有

个，非负数有个．

16.分子是1、分母是等于或大于2的自然数的分数叫做分数单位，如

1

2

,

1

3

,

1

4

，…，某些分

数单位可以拆分成两个分母是相邻自然数的分数单位的差，如

1

6

=

1

2

-

1

3

,

1

12

=

1

3

-

1

4

,

1

20

=

1

4

-

1

5

，则在分数单位

1

2

,

1

3

,

1

4

,…,

1

100

中，不能按上述要求拆分

的有个.

17.如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1个单位长度）上沿着网格线运动，它从

A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫.规定：向上向右走为正，向下向左走为负.如果从A

到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（-1，+2），其中第一个数表示左右方

向，第二个数表示上下方向．

（1）图中从A到C可以记为A→C（，），从B到C可以记为B→C

（，）.

（2）从D到可以记为D→（-4，-2）.

（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，则该甲虫走过的路程长度为个单位长

度.

（4）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+1，+3），（+3，-2），（-2，+1），请在

图中标出P的位置．

(第17题）

18.把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，…，

我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素.如果一个所有元素均为有理数的集合

满足：当有理数x是集合的一个元素时，2020-x也必是这个集合的元素，这样的集合我们

又称为黄金集合.例如{0，2020}就是一个黄金集合.

（1）集合{2020}(填“是”或“不是”，下同)黄金集合，集合{-1，2021}黄

金集合.

（2）若一个黄金集合中最大的一个元素为4020，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，

请直接写出答案；如果不存在，请说明理由.

（3）若一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24200＜M＜24300，则该集合共有几个元

素？说明你的理由．

走进重高

1.【泸州】在-2，0，

1

2

，2四个数中，最小的是（）.

A.-2B.0C.

1

2

D.2

2.【聊城】悉尼、纽约与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数

表示同一时刻比北京时间晚的时数）：

城市悉尼纽约

时差（时）+2-13

北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是（）.

A.6月16日1时，6月15日10时

B.6月16日1时，6月14日10时

C.6月15日21时，6月15日10时

D.6月15日21时，6月16日12时

3.南水北调工程中线自2014年12月正式通水以来，沿线多座大中城市受益，河南、河北、

北京及天津四个省（市）的水资源紧张态势得到缓解，有效促进了地下水资源的涵养和恢复.

若与上年同期相比，北京地下水的水位下降记为负，回升记为正，记录从2013年底以来，

北京地下水水位的变化得到下表：

下列关于2013年以来北京地下水水位的说法，不正确的是（）.

A.从2014年底开始，北京地下水水位的下降趋势得到缓解

B.从2015年底到2016年底，北京地下水水位首次回升

C.2013年以来，每年年底的地下水位与上年同比的回升量最大的是2018年

D.2018年9月底的地下水水位低于2012年底的地下水水位

4.实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，

然后用这些相对高度计算出山的高度.下表是某次测量数据的部分记录（用A-C表示观测点

A相对观测点C的高度），根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是m.

A-CC-DE-DF-EG-FB-G

90m80m-60m50m-70m40m

5.规定[a]表示不超过a的最大整数，例如[4.3]＝4.若m＝[π+1]，n＝[2.1]，则[m+

9

4

n]在此

规定下的值为.

6.2018年国庆节放假七天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织，其中闻名于世的“三

孔”，在10月1日的游客人数就已经达到了10万人，接下来的六天中，每天的游客人数变

化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：

（1）10月3日的游客人数为万人.

（2）这七天，游客人数最多的是多少万人？最少呢？

（3）这7天参观的总人数约为多少万人？

高分夺冠

1.10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数

的真分数）”，则这10个有理数的和为(）.

A.

1

2

B.

11

18

C.

7

6

D.

5

9

2.已知a＝20212021×999，b＝20202020×1000，则a与b的大小关系是ab.

3.记|a，b|的值为a，b两数中最大的数，例如|3，5|＝5.若m满足|2，2-m|＝3-2m，则m＝.

4.找规律，在空格里填上合适的数.

(第4题）

5.某路公交车从起点出发经过A，B，C，D四站到达终点，途中上下乘客情况如下表(正数

表示上车的人数，负数表示下车的人数）：

起点ABCD终点

上车的人数181512750

下车的人数0-4-5-9-12

(1）到终点站下车的有多少人？填在表格中相应位置.

(2）车行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多？站和站.

(3）若每人乘坐一站需买票0.5元，问该车出车一次能收入多少钱？要求写出算式.

第二讲数轴和绝对值

重点分析：

1.数轴的三要素：原点、单位长度、正方向.

2.理解有理数可以用数轴上的点表示，数轴上的点不一定表示有理数.

3.相反数：实数a与－a互为相反数，零的相反数仍是零.若a，b互为相反数，则a+b＝0.

4.倒数：若两个实数的乘积为1，就称这两个实数互为倒数，零没有倒数.

5.绝对值的几何意义：表示这个数在数轴上所对应的点到原点的距离或数轴上点与点之间的

距离.

6.比较有理数大小的两种基本方法：利用数轴比较大小；利用法则比较大小.

难点分析：

1.数轴涉及数和形两个方面，是解决许多数学问题的重要工具.

2.绝对值具有非负性，去绝对值问题往往会涉及较复杂的符号问题.

若有理数m在数轴上对应的点为M，且满足|m|＞1且m＜0，则下列数轴表示正确的是(）.

A.B.

C.D.

思路点拨根据绝对值的意义得到m在原点的左侧，且离原点的距离大于1，然后利用数轴

表示数的方法对各选项进行判断．

解题过程∵|m|＞1，m＜0，∴m＜-1.故选D．

方法归纳本题考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的三要

素：原点、单位长度、正方向．

易错误区注意绝对值的几何意义是指数轴上的点与原点的距离，或点与点之间的距离．

已知a是最大的负整数的相反数，|b+4|＝2，且|c-5|+|d+3|＝0.

（1）写出a，b，c，d的值.

（2）计算|a+c|+|b|-|d|的值.

思路点拨（1）根据有理数的概念求出a，根据绝对值的性质求出b，再根据非负数的性质

列方程求解即可得到c，d.（2）将a，b，c，d的值代入代数式进行计算即可得解.

解题过程（1）∵a是最大的负整数的相反数，∴a＝1.

∵|b+4|＝2，∴b+4＝2或b+4＝-2.

∴b＝-2或b＝-6.

∵|c-5|+|d+3|＝0，∴c-5＝0，d+3＝0，解得c＝5，d＝-3.

∴a＝1，b＝-2或-6，c＝5，d＝-3.

（2）|a+c|+|b|-|d|＝|1+5|+|-2|-|-3|＝6+2-3＝5，或|a+c|+|b|-|d|＝|1+5|+|-6|-|-3|

＝6+6-3＝9，

∴|a+c|+|b|-|d|的值为5或9.

方法归纳本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；还考

查了绝对值的性质和有理数的概念.

易错误区由|b+4|＝2得到的b的值有两个，所以本题需要分类讨论，特别注意不要漏解.

如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，点A表示-4，点G表示8.

(1）点B表示的有理数是，表示原点的是点.

(2）图中的数轴上另有点M到点A、点G的距离之和为13，则这样的点M表示的有理数

是.

(3）若相邻两点之间的距离不变，将原点取在点D，则点C表示的有理数是，此时

点B与点表示的有理数互为相反数.

思路点拨(1）先根据数轴上两点之间的距离公式求出点A到点G的距离，再求出相邻两点

之间的距离即可解答.(2）设点M表示的有理数是m，根据数轴上两点之间距离的定义即可

求出m的值.(3）根据相邻两点间的距离是2可求出点C的坐标，再根据相反数的定义即可

求出结论.

解题过程(1）∵数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示-4，点

G表示8，∴AG=｜8+4｜=12.∴相邻两点之间的距离=

12

6

=2.

∴点B表示的有理数是-4+2=-2，点C表示的有理数是-2+2=0.

故答案为：-2，C.

(2）设点M表示的有理数是m，则｜m+4｜+｜m-8｜=13，∴m=-4.5或m=8.5.

故答案为：-4.5或8.5.

(3）若将原点取在点D，∵每两点之间的距离为2，∴点C表示的有理数是-2.

∵点B与点F在原点D的两侧且到原点的距离相等，

∴此时点B与点F表示的有理数互为相反数.

故答案为：-2,F.

方法归纳本题考查的是数轴的特点及数轴上两点之间距离的定义，熟知数轴上两点之间的

距离公式是解答本题的关键.

易错误区第(2）题中A，G两点间的距离为12，所以数轴上到点A、点G距离之和为13

的点M在线段AG外，这样的点有两个.

如图，数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c，其中点A、点B两点

间的距离AB的长是2019，点B、点C两点间的距离BC的长是1000.

（1）若以点C为原点，直接写出点A，B所对应的数.

（2）若原点O在A，B两点之间，求|a|+|b|+|b-c|的值.

（3）若O是原点，且OB＝19，求a+b-c的值.

思路点拨（1）根据数轴的定义可求点A，B所对应的数.（2）先根据绝对值的性质求得

|a|+|b|＝2019，|b-c|＝1000，再代入计算即可求解.（3）分两种情况：原点O在点B的左

边；原点O在点B的右边，进行讨论即可求解.

解题过程（1）点A所对应的数是-1000-2019＝-3019，点B所对应的数是-1000.

（2）当原点O在A，B两点之间时，|a|+|b|＝2019，|b-c|＝1000，|a|+|b|+|b-c|＝2019+1000

＝3019.

（3）若原点O在点B的左边，则点A，B，C所对应的数分别是a＝-2000，b＝19，c＝1019，

则a+b-c＝-2000+19-1019＝-3000.

若原点O在点B的右边，则点A，B，C所对应的数分别是a＝-2038，b＝-19，c＝981，

则a+b-c＝-2038+（-19）-981＝-3038.

方法归纳本题主要考查了数轴及绝对值，解题的关键是能把数和点对应起来，也就是把

“数”和“形”结合起来，在学习中要注意培养数形结合的数学思想.

易错误区一方面要正确找到表示数的点在数轴上的位置，另一方面要注意位置不确定的情

况下要分类讨论.

（1）如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．

若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数

为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所

对应的数为5（单位：cm），由此可得木棒的长为cm.

（2）由题（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：

问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现

在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大，我就116岁了，是老寿星了，哈哈!”

请求出爷爷现在多少岁了.

思路点拨（1）本题关键是正确识图，由数轴观察知木棒的3倍长是20-5=15（cm），则此

木棒长为5cm.(2）在求爷爷的年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类

似地，爷爷是小红那么大时看作当点B移动到点A时，此时点A所对应的数为-34，小红是

爷爷这么大时看作当点A移动到点B时，此时点B所对应的数为116，所以可知爷爷比小红

大［116-（-34）］÷3=50(岁)，从而可求得爷爷的年龄．

解题过程（1）如图1，观察数轴可知木棒的3倍长是20-5=15（cm），则此木棒长为5cm．故

答案为：5．

图1图2

（2）如图2，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似地爷爷是小红那么大时

看作当点B移动到点A时，此时点A所对应的数为-34；小红是爷爷那么大时看作当点A移

动到点B时，此时点B所对应的数为116．

∴爷爷比小红大［116-（-34）］÷3=50（岁），则爷爷的年龄为116-50=66（岁）．故爷爷现

在66岁．

方法归纳本题考查了数轴的应用和数形结合思想，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看

作一个整体（木棒AB）．

易错误区解题时要用好数轴，在数轴上准确地画图，注意所使用的线段AB的实际意义．

观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，回答下

列各题.

(1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？

(2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则点A与点B两点间的距离可以

表示为.

(3）结合数轴求得｜x-2｜+｜x+3｜的最小值为，取得最小值时x的取值范围

为.

(4）满足｜x+1｜+｜x+4｜>3的x的取值范围为.

思路点拨(1）通过观察容易得出结论.(2）在数轴上找到点B所在的位置，点A可以位于

数轴上的任意位置，分三种情况进行分类讨论.(3）(4）根据(2）中的结论，利用数轴分析.

解题过程(1）相等.

(2）结合数轴，分以下三种情况：

当x≤-1时，距离为-x-1

当-1

当x>0时，距离为x+1

综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为x+1.

(3）｜x-2｜，即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离；｜x+3｜=｜

x-(-3）｜,即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离.

如图，x在数轴上的位置有三种可能：

图1图2图3

图2符合题意，∴｜x-2｜+｜x+3｜的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2.

(4）同理｜x+1｜表示数轴上x与-1之间的距离，｜x+4｜表示数轴上x与-4之间的距离.

∴本题即求当x在什么范围内时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3.

借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1.

方法归纳借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上的距离问题，反之，有关数轴上

的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实

上，｜a-b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的两点之间的距离.这是一个很有

用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3）(4）这两道难题.

易错误区｜a-b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b这两点之间的距离，｜

a+b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数-b这两点之间的距离.

拓展训练

A组

1.如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是(）.

(第1题）

A.点B与点DB.点A与点CC.点A与点DD.点B与点C

2.符号语言“|a|＝-a（a≤0）”所表达的意思是（）.

A.正数的绝对值等于它本身B.负数的绝对值等于它的相反数

C.非正数的绝对值等于它的相反数D.负数的绝对值是正数

3.如图，点A表示的有理数是a，则a，-a，1的大小顺序为(）.

A.a＜-a＜1B.-a＜a＜1C.a＜1＜-aD.1＜-a＜a

4.如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别

对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.4cm”对应的数轴上的数为（）.

A.5.4B.-2.4C.-2.6D.-1.6

5.已知点A在数轴上的位置如图，则点A表示的数的相反数是.

6.如图，数轴上点Q、点P、点R、点S和点T分别表示五个数，如果点R和点T表示的数

互为相反数，那么这五个点所表示的数中，点对应的数绝对值最大.

7.推理题.

(1）5的相反数是-5，-5的相反数是，那么-x的相反数是,m+12n的相反

数是.

(2）数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系4=12(2+6），那么到点

100和到点999距离相等的点表示的数是，到点m和点-n距离相等的点表示的数

是.

(3）数轴上点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系5=9-4，那么点10和点-3之

间的距离是，点m和点n之间的距离是.

8.阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当a≥0

时，｜a｜=a；当a<0时，｜a｜=-a.根据以上阅读完成：

(1）｜3.14-π｜=.

(2）计算：|1-

1

2

|+|

1

2

-

1

3

|+|

1

3

-

1

4

|+…+|

1

99

-

1

100

|.

9.已知|x-2|+|y+3|+|z-5|＝0，求：

（1）x，y，z的值.

（2）|x|+|y|+|z|的值.

10.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示-3和2的两点之间的距离

是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.如果表示数a

和-2的两点之间的距离是3，那么a=.

（2）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值．

11.有理数a，b，c在数轴上的对应点如图，且a，b，c满足条件10｜a｜=5｜b｜=2｜c｜

=10.

(1）求a，b，c的值.

(2）求｜a-2b｜+｜b-2c｜+｜c-2a｜的值.

(第11题）

12.如图1，已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别为a，b，c，且c-b＝b-a，点C

对应的数是10.

（1）若BC＝15，求a，b的值.

（2）如图2，在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左

运动，运动速度为每秒2个单位长度，点Q向右运动，运动速度为每秒1个单位长度，N为

OP的中点，M为BQ的中点.

①用含t的代数式表示PQ，MN.

②在点P，Q的运动过程中，PQ与MN存在一个确定的等量关系，请指出它们之间的关系，

并说明理由.

B组

13.对于任何有理数a，下列一定为负数的是(）.

A.-(-3+a）B.-aC.-｜a+1｜D.-｜a｜-1

14.有理数a，b在数轴上的对应位置如图，则下列四个选项正确的是（）.

A.a＜b＜-b＜-aB.a＜-b＜-a＜bC.a-b＞0D.-a+b＞0

15.如图，圆的周长为4个单位长度.在该圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让

圆周上表示数字0的点与数轴上表示数-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，

则数轴上表示数-2020的点与圆周上表示数字（）的点重合．

A.0B.1C.2D.3

16.根据给出的数轴，解答下面的问题.

(第16题）

(1）请你根据图中A，B(在－2，－3的正中间）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数

A：，B：.

(2）在数轴上画出与点A的距离为2的点(用不同于A，B，M，N的其他字母表示），并写出

这些点所表示的数：.

(3）若经过折叠，点A与－3表示的点重合，则点B与数表示的点重合.

(4）若数轴上M，N两点之间的距离为9(M在N的左侧），且M，N两点经过(3）中的折叠后

重合，那么M，N两点表示的数分别是：M，N.

17.如图，从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达点A，再向左移动4cm到达点B，然后

向右移动10cm到达点C.

（1）用1个单位长度表示1cm，请你在题中所给的数轴上表示出A，B，C三点的位置.

（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA＝cm.

（3）若点B以每秒3cm的速度向左移动，同时点A，C分别以每秒1cm，5cm的速度向右移

动，设移动时间为t（s）（t＞0），试探究CA-AB的值是否会随着t的变化而变化,请说明理

由.

（第17题）

18.当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值.

(1)|x+1|+|x-2|+|x-3|.

(2)|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-1|.

(3)|x-2|+|x-4|+|x-6|+…+|x-20|.

走进重高

1.【娄底】已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是

（）.

.Q

（第1题）（第2题）

2.【贵阳】如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反

数，则图中点C对应的数是（）.

A.-2B.0C.1D.4

3.【福建】已知A，B，C是数轴上的三个点，且点C在点B的右侧，点A，B表示的数分别

是1，3，如图.若BC＝2AB，则点C表示的数是.

（第3题）（第5题）

4.如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称|b-a|为绝对误差，

||ba

a



为相对误

差.现有一零件实际长度为5.0cm，测量结果是4.8cm，则本次测量的相对误差是.

5.如图，数轴上点A表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度

至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长

度至点A3……按照这种移动方式进行下去，点A2019表示的数是.

6.已知数轴上两点A，B，其中点A表示的数为-2，点B表示的数为2，若在数轴上存在一点

C，使得AC+BC＝n，则称点C为点A，B的“n节点”.例如：若点C表示的数为0，有AC+BC

＝2+2＝4，则称点C为点A，B的“4节点”.

请根据上述规定回答下列问题：

（1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为-4，求n的值.

（2）若点D是数轴上点A，B的“5节点”，请你直接写出点D表示的数：.

（3）若点E在数轴上（不与点A，B重合），满足BE=

1

2

AE，且此时点E为点A，B的“n节

点”，求n的值.

图1图2图3

（第6题）

高分夺冠

1.如图，在数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB＝BC＝3CD.若A，

D两点表示的数分别为-5和6，E为线段BD的中点，则中点E表示的数为（）.

A.0B.1C.2D.3

2.已知a在数轴上的位置如图所示，则

|1|

||1

a

a





的值为．

(第3题）

3.如图，正方形的周长为8个单位.在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正

方形上表示数字6的点与数轴上表示-3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形

上，则数轴上表示2021的点与正方形上表示数字的点重合．

4.【归纳】

（1）观察下列各式的大小关系：

|-2|+|3|＞|-2+3|，|-6|+|3|＞|-6+3|，|-2|+|-3|＝|-2-3|，|0|+|-8|＝|0-8|.

归纳：|a|+|b||a+b|（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）.

【应用】

（2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，求m的值.

【延伸】

（3）当a，b，c满足什么条件时，|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|.

5.已知x1，x2，…，x2020都是不等于0的有理数，请你探究以下问题：

（1）若y1=1

1

||x

x

，则y1=.

（2）若y2=1

1

||x

x

+2

2

||x

x

，则y2=.

（3）若y3=1

1

||x

x

+2

2

||x

x

+3

3

||x

x

，求y3的值.

（4）由以上探究可知,y2020=1

1

||x

x

+2

2

||x

x

+…+2020

2020

||x

x

,共有个不同的值；在y2020这些

不同的值中，最大的值和最小的值的差等于，y2020的这些所有的不同的值的绝对值

的和等于．

第三讲有理数的加减

重点分析：

1.有理数加法法则：(1）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加.(2）绝对值不等的异号

加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个

数相加得0.(3）一个数同0相加，仍得这个数.

2.加法交换律:a+b=b+a，两个数相加，交换加数的位置，和不变.加法结合律:a+b+c=(a+b）

+c=a+(b+c），三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

3.有理数减法法则：减去一个非零的数，等于加上这个数的相反数.其中，两变：减法运算

变加法运算，减数变成它的相反数；一不变：被减数不变.可以表示成：a－b=a+(－b）.

难点分析：

1.在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而

确定用哪一条法则.在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后就不会出

错了.

2.在进行有理数加法运算时，一般采取：(1）互为相反数的先加(抵消）.(2）同号的先加.(3）

同分母的先加.(4）能凑整数的先加.(5）异分母分数相加，先通分，再计算.

计算：(1）-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28.

(2）(-3

2

3

)-(-2

3

4

)-(-1

2

3

)-1.75.

思路点拨(1）注意运算过程中的简便方法，让能够凑成整十的两个数相结合.(2）首先化

简，然后利用有理数的加法法则和加法的交换律进行计算.

解题过程(1）原式=(-6-8-2-4.72-5.28）+(3.54+16.46）=-26+20=-6.

(2）原式=-3

2

3

+2

3

4

+1

2

3

-1

3

4

=(-3

2

3

+1

2

3

)+(2

3

4

-1

3

4

)=-2+1=-1.

方法归纳在计算时要灵活运用运算定律使运算更加简便.

易错误区当使用运算定律后不能使运算更简便的，就按一般运算顺序计算.

若|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，且|a+b-c|＝a+b-c，求a+b+c的值.

思路点拨根据绝对值先求出a，b，c的值，再进行分类讨论，即可解答.

解题过程∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，

∴a＝±1，b＝±2，c＝±4.

∵|a+b-c|＝a+b-c，∴a+b-c≥0.

∴

∴a+b+c的值为-1或-5或-3或-7.

方法归纳本题考查了绝对值的定义及有理数的加减运算，解答时要注意对a，b，c值的限

制以及分类讨论.

易错误区本题根据a+b-c的结果为非负数进行分类讨论时，要做到不重不漏.

用简便方法计算:

(1）111.1+(-12）+0.9.(2）(+13）+(-21）+(+28）+(-10）.

(3）4.33+(-7.52）+(-4.33）.(4）

5

6

+(-

1

7

)+(-

1

6

)+(-

6

7

).

思路点拨(1）能凑整的先凑整，简称凑整结合法.(2）把正数与负数分别结合在一起再相

加，简称同号结合法.(3）有相反数的先把相反数相加，简称相反数结合法.(4）遇到分数，

先把同分母的数相加，简称同分母结合法.

解题过程(1）原式=111.1+0.9+(-12）=112+(-12）=100.

(2）原式=［(+13）+(+28）］+［(-21）+(-10）］=(+41）+(-31）=10.

(3）原式=(-7.52）+［(+4.33）+(-4.33）］=(-7.52）+0=-7.52.

(4）原式=[

5

6

+(-

1

6

)]+[(-

1

7

)+(-

6

7

)]=

2

3

+(-1）=-

1

3

.

方法归纳认真观察算式的特点，合理利用简便计算规则：①凑整结合法；②同号结合法；

③相反数结合法；④同分母结合法.

易错误区不是所有的计算都有简便方法的.

某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为

负，一天中七次行驶记录如下表（单位：km）：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

-3+8-9+10+4-6-2

（1）在第次记录时距A地最远.

（2）求收工时距A地多远.

（3）若每千米耗油0.3升，每升汽油需7.2元，问检修小组工作一天需汽油费多少元？

思路点拨（1）分别计算出每次距A地的距离，进行比较即可.（2）收工时距A地的距离

等于所有记录数字的和的绝对值.（3）所有记录数的绝对值的和乘0.3升，就是共耗油数，

再乘汽油单价即可.

解题过程（1）由题意得，第一次距A地|-3|＝3（km），第二次距A地-3+8＝5（km），第

三次距A地|-3+8-9|＝4（km），第四次距A地|-3+8-9+10|＝6（km），第五次距A地

|-3+8-9+10+4|＝10（km），而第六次、第七次是向相反的方向又行驶了共8km，∴在第五次

记录时距A地最远.故答案为：五.

（2）根据题意得，|-3+8-9+10+4-6-2|＝2(km)，∴收工时距A地2km.

（3）根据题意得，检修小组走的路程为|-3|+|+8|+|-9|+|+10|+|+4|+|-6|+|-2|＝42（km），

42×0.3×7.2＝90.72（元）.∴检修小组工作一天需汽油费90.72元.

方法归纳本题主查考查正负数在实际生活中的应用及有理数的加减混合运算，要将实际问

题中的数量关系正确地用算式表示出来.

易错误区注意题（3）与题（2）的区别，题（3）是求油耗，需要求路程，即需要求绝对

值的和.

问题：能否将1，2，3，4，…，10这10个数分成两组，使它们的差为5？

解：1+2+3+…+10＝55，要使差为5，需将这10个数分成两组，一组的和为30，另一组的和

为25，然后把它们相减.

下面给出一种分法，例如：（6+7+8+9）-（1+2+3+4+5+10）＝5.

应用：在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数前面任意添上“+”号或“-”号.

（1）能否使它们的和等于-7？

（2）能否使它们的和等于-2？若能，给出一种分法；若不能，请说明理由.

思路点拨（1）要让其计算的和为-7，10个数的和是负奇数，相邻的数分为5组，每组两

个数相减得-1，5组得-5，与-7相差-2，可考虑选择两组相邻奇数与相邻偶数相减求和.（2）

根据数的和的奇偶性原则，一组数的和的奇偶性是不变的，1+2+3+…+10＝55是一个奇数，

即可得出答案.

解题过程（1）能使它们的和等于-7，例如：1-2+3-4+5-6+7-9+8-10＝-7.

（2）不能.理由如下：

∵1+2+3+…+10＝55是一个奇数，

∴无论怎样分，结果不可为偶数.

方法归纳本题考查了有理数的加减混合运算法则及整数和的奇偶性的运用.

易错误区本题要灵活运用整数的奇偶性解题：一组整数的和、差的奇偶性永远不变.另外

题(1)中要灵活分组，多次尝试，准确计算.

观察下列等式：，将以上三个等式两边分别

相加得：.

(1）猜想并写出：=.

(2）直接写出下列各式的计算结果：

①=.

②）=.

(3）探究并计算：.

(4）计算：.

思路点拨（1）观察可得分子为1、分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数

之差，即.(2）根据此规律把各分数转化，再进行分数的加减运

算.(3）先提出

1

4

，然后按照前面的运算方法计算即可.(4）先提出

1

2

，然后按照前面的方

法计算即可.

方法归纳本题考查了关于数的变化规律：通过观察数之间的变化规律，得到一般性的结论，

再利用此结论解决问题.

易错误区(3）(4）要注意观察算式的特点，转化为第(2）题中的运算方法.

在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：

a#b#c=．

如：（-1）#2#3==5.

（1）计算：4#（-2）#（-5）=.

(2）计算：3#（-7）#（

11

3

）=.

(3）在-

6

7

，-

5

7

，…，-

1

7

，0,

1

9

,

2

9

，…，

8

9

这15个数中：

①任取三个不同的数作为a，b，c的值，进行“a#b#c”运算，求所有计算结果的最小值.

②若将这15个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#b#c”运算，得到五个不同的结果，

由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，那么五个结果之和的最大值是．

思路点拨（1）（2）根据题中所给出的新运算法则列式计算即可.(3）①分a＜b+c与a≥b+c

两种情况把原式化简，即可得出最小值.②将

1

9

，

2

9

，…，

8

9

分别赋予b，c，同时赋予a

四个负数，最后一组a=0，b，c赋予两个负数即可．

方法归纳本题考查的是有理数的加减混合运算，根据题意列出有理数相加减的式子是解答

本题的关键．

易错误区本题是新定义运算题，阅读量较大，不易理解，要综合文字和算式准确理解题意．

拓展训练

A组

1.下面的数中，与－3的和为0的是(）.

A.3B.-3C.

1

3

D.-

1

3

2.下列结论中，不正确的是(）.

A.若a＞0，b＜0，且a＞|b|，则a+b＜0

B.若a＜0，b＞0，且|a|＞b，则a+b＜0

C.若a＞0，b＞0，则a+b＞0

D.若a＜0，b＜0，则a+b＜0

3.把(+5）-(+3）-(-1）+(-5）写成省略括号的和的形式是(）.

A.-5-3+1-5B.5-3-1-5C.5+3+1-5D.5-3+1-5

4.绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（）.

A.7B.-7C.0D.5

5.若|a|+|b|＝|a+b|，则a，b的关系是（）.

A.a，b的绝对值相等

B.a，b异号

C.a+b的和是非负数

D.a，b同号或a，b其中一个为0

6.若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，则x-y的值是（）.

A.2或12B.2或-12C.-2或12D.-2或-12

7.若在1，2，3，…，2022这些数前任意添加一个正号或者负号，则(）.

A.它们的和是奇数

B.它们的和是偶数

C.若有奇数个负号，则它们的和是奇数；若有偶数个负号，则它们的和是偶数

D.若有奇数个负号，则它们的和是偶数；若有偶数个负号，则它们的和是奇数

8.计算的结果为．

9.计算：

（1）（-3.6）+（+2.5）.（2）-

3

7

-（-3

1

2

）-2

4

7

+

1

2

.

（3）（-49）-（+91）-（-5）+（-9）.（4）-5-（-11）+2

1

3

-（-

2

3

）.

（5）3

1

2

-（-

1

3

）+2

2

3

+（-

1

2

）.（6）

2

5

-|-1

1

2

|-（+2

1

4

）-（-2.75）.

（7）（-7）-（-11）+（-9）-（+2）.（8）（-4

1

4

）-（+5

1

3

）-（-4

1

4

）．

10.王先生到某中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作-1，王先生从1

楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，-3，+10，-8，+12，-7，-10.

（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼.

（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位

置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？

11.已知｜ab-2｜与｜a-1｜互为相互数，试求下式的值：

.

12.在班级元旦联欢会上，主持人邀请李强、张华两位同学参加一个游戏，游戏规则是每人

每次抽取四张卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数；如果抽到黑色卡片，那么减

去卡片上的数，比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小的为同学们唱歌.李强抽到如图

1的四张卡片，张华抽到如图2的四张卡片.李强、张华谁会为同学们唱歌？

(第12题）

B组

13.定义新运算：对任意有理数a，b，都有ab=

1

a

+

1

b

.例如,23=

1

2

+

1

3

=

5

6

,那么3⊕（-4）

的值是（）.

A.-

7

12

B.-

1

12

C.

1

12

D.

7

12

14.若a+b+c＝0，且|c|＞|b|＞|a|，则下列说法中可能成立的是（）.

A.a，b为正数，c为负数

B.a，c为正数，b为负数

C.b，c为正数，a为负数

D.a，b，c均为负数

15.对于实数a，b，如果a＞0，b＜0且|a|＜|b|，那么下列等式中成立的是（）.

A.a+b=|a|+|b|B.a+b=-（|a|+|b|）

C.a+b=-（|a|-|b|）D.a+b=-（|b|-|a|）

16.在实际生活中，八点五十五通常可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚，受此启发，

我们设计了一种新的加减计数法.例如：7写成13，13=10-3；191写成209，209=200-9；3651

写成4351，4351＝4000-350+1＝3651.按这个方法请计算：23125＝.

17.规定一种新运算：a※b＝(a＋1）－(b－1），右边的运算是正常的加减运算.例如：(－5）

※(－2）＝(－5＋1）－(－2－1）＝(－4）－(－3）＝－4＋3＝－1，由以上规定计算：(0※1）

＋(1※2）＋(2※3）＋(3※4）＋…＋(2019※2020）=.

18.小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数a，加“*”键，再输入数b，就可

以得到运算：a*b=（a-b）-|b-a|．

（1）求（-3）*2的值.

（2）求（3*4）*（-5）的值．

19.把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，例如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们

称之为集合，其中的数称为集合的元素.如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，

有理数8-a也是这个集合的元素，这样的集合我们称其为好的集合.

（1）请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合.

（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子.

20.从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：

(1）如果n=8，那么S的值为.

（2）根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为S=2+4+6+8+…+2n=.

(3）根据上面的规律计算102+104+106+…+2022的值(写出计算过程）.

走进重高

1.【赤峰】|（-3）-5|等于（）.

A.-8B.-2C.2D.8

2.【铜仁】计算的值为（）.

A.

1

100

B.

99

100

C.

1

99

D.

100

99

3.【江西】中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将

算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数.如图，根据刘徽的这种表示法，

观察图1，可推算图2中所得的数值为.

4.【六盘水】计算1+4+9+16+25+…的前29项的和是.

5.古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数.

我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：

7

12

=

1

3

+

1

4

.

（1）请将

11

30

写成两个埃及分数的和的形式：.

（2）若真分数

13

x

可以写成两个埃及分数的和的形式，请写出两个x不同的取值：.

6.阅读材料：对于可以按如下计算：

上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算：（-2020

5

6

）+（-2019

2

3

）+4040

3

4

+

（-1

1

2

）.

高分夺冠

1.将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行

从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大.当数字2，4固定在图中所示

的位置时，按规则填写空格，所有可能出现的结果有（）.

A.4种B.6种C.8种D.9种

2.数学上，为了简便，把从1到n的连续n个自然数的乘积记作n!，即n!=1×2×3×…×(n-1）

×n，将上述n个自然数的和记作k=，即k=1+2+3+…+n，则i的

值为.

3.如图的号码是由14个数字组成的，把每一个数字写在下面的方格中，若任意相邻的三个

数字之和都等于14，则x的值等于.

4.计算:

（1）

1

2

+（

1

3

+

2

3

）+（

1

4

+

2

4

+

3

4

）+…+（

1

99

+

2

99

+…+

97

99

+

98

99

）.

（2）1-2+3-4+5-6+…+2019-2020+2021.

5.对于任意有理数a，b，定义运算如下：a*b=a+b-

2021

2

，a*b*c=a+b+c-

2021

2

×2,…，计

算1*2*3*4*…*2020*2021的值．

6.将九个数填在3×3（3行3列）的方格中，如果满足每一横行、每一竖列和每条对角线上

的三个数之和都相等，这样的图称为“广义的三阶幻方”.如图1就是一个满足条件的广义

三阶幻方.图2、图3的广义三阶幻方中分别给出了三个数．

（1）请直接将图2、图3的其余6个数全填上.

（2）就图3加以说明这样填写的理由．

图1图2图3

(第6题）

第四讲有理数的乘除

重点分析：

1.有理数乘法法则：

(1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘.

(2）任何数同0相乘，都得0.

2.有理数乘法运算律:

(1）乘法交换律：a×b=b×a.

(2）乘法结合律：(a×b）×c=a×(b×c）.

(3）分配律：a×(b+c）=a×b+a×c.

3.有理数除法法则：

(1）除以一个数等于乘这个数的倒数(注意：0没有倒数）.

(2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除.

难点分析：

1.几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数为奇数时，积为

负；当负因数的个数为偶数时，积为正.

2.几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.

3.乘积为1的两个有理数互为倒数.

如图是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下列问题．

（1）解题过程中有两处错误：

第1处是第步，错误原因是；

第2处是第步，错误原因是.

(2）请写出正确的解答过程．

思路点拨（1）首先根据有理数四则混合运算的运算顺序，从第一步到第二步，先计算除

法，再计算乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的

运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是符号错误.(2）根据有理数除法、乘法的运算

方法，从左向右，求出算式的值是多少即可．

解题过程（1）根据分析，可得：

第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；

第2处是第三步，错误原因是符号错误．

方法归纳本题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答本题的关键是要明确：

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．

易错误区运算顺序和符号是有理数运算中最常见的两类错误，尤其是符号，运算时一定要

先确定符号．

对于有理数a，b，定义运算“※”：a※b=a·b-a-b-2.

(1）计算(-2）※3的值.

(2）填空：4※(-2）(-2）※4(填“＞”“＜”或“=”）.

(3）我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律.那么，由(2）的计算结果，你认

为这种运算“※”是否满足交换律？请说明理由.

(1）将a=-2，b=3代入运算公式a※b=a·b-a-b-2，即可得到(-2）※3

的值.(2）运用运算公式分别计算出4※(-2）和(-2）※4的值即可比较大小.(3）是否满足

交换律关键是利用公式分别计算出a※b和b※a的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看

看是否相等.

(1）(-2）※3=(-2）×3-(-2）-3-2=-9.

(2）4※(-2）=4×(-2）-4-(-2）-2=-12.

(-2）※4=(-2）×4-(-2）-4-2=-12.

故答案为：=.

(3）这种运算“※”满足交换律.

理由是：∵a※b=a·b-a-b-2，

b※a=b·a-b-a-2=a·b-a-b-2，

∴a※b=b※a.∴这种运算“※”满足交换律.

本题主要考查了有理数的运算，还考查了运用乘法交换律和加法交换律

证明公式的性质.

第(3）题中说明该运算满足交换律时不能用特殊值法，这样证明不全面.

（1）原式第一、三项结合，第二、四项结合，约分即可得到结果.(2）

原式利用乘法分配律计算即可得到结果.(3）原式第一项因式变形后，利用乘法分配律计算

即可得到结果.(4）原式逆用乘法分配律即可得到结果．

本题考查了有理数的乘法法则和简便运算，熟练掌握运算法则是解本题

的关键．

题（4）是逆用乘法分配律，特别要注意添加括号时各项符号的变化．

在计算时先对整式进行观察，选择合适的方法有利于提高解题效率.

在除法运算中，当除数是多个数时，不能应用分配律.

现有7个数：-1，-2，-2，-4，-4，-8，-8，将它们填入图1（3个圆两两相交分成

7个部分）中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为m，如图2给出了一种填法，

此时m＝64，在所有的填法中，m的最大值为.

图1图2

观察图形可知，这7个数分别可能被乘了1次、2次或3次.要使每个圆内

部的4个数之积相等且最大，-8，-8必须放在被乘两次的位置，与-8，-8同圆的只能是-1，

-2，其中-2放在中心位置，可得m＝128.

观察图形可知，这7个数分别可能被乘了1次、2次或3次.要使每个圆

内部的4个数之积相等且最大，-8，-8必须放在被乘两次的位置，与-8，-8同圆的只能是

-1，-2，其中-2放在中心位置，如图.

∴m＝（-8）×（-8）×（-1）×（-2）＝128.

本题考查有理数的乘法，关键是找出圆内各个部分的特点从而得到各部

分可能的数值，先确定两个-8的位置，再去确定图中其他各个部分的数值.

本题的题意不容易理解，同时要注意计算每个圆内部4个数之积时各个

部分的数被乘的次数，多比较、多尝试可以求得正确答案.

（1）分三种情况讨论：一是a，b同为正数；二是a，b同为负数；三是a，

b一正一负.（2）仿照题（1）分四种情况讨论即可求解.（3）根据已知得到b+c＝-a，a+c

＝-b，a+b＝-c，a，b，c两正一负，利用(2)的结论进一步计算即可求解.

（1）已知a，b是有理数，ab≠0，

①当a＜0，b＜0时，

a

a

+

b

a

=-1-1＝-2.

②当a＞0，b＞0时，

a

a

+

b

b

=1+1＝2.

③当a，b异号时，

a

a

+

b

b

=1-1=0.

∴

a

a

+

b

b

=±2或0.

（2）已知a，b，c是有理数，abc≠0，

①当a＜0，b＜0，c＜0时，

a

a

+

b

b

+

c

c

=-1-1-1＝-3.

②当a＞0，b＞0，c＞0时，

a

a

+

b

b

+

c

c

=1+1+1＝3.

③当a，b，c两负一正时，

a

a

+

b

b

+

c

c

=-1-1+1＝-1.

④当a，b，c两正一负时，

a

a

+

b

b

+

c

c

=-1+1+1＝1.

∴

a

a

+

b

b

+

c

c

=±1或±3.

（3）∵a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，

∴b+c＝-a，a+c＝-b，a+b＝-c，a，b，c两正一负.∴

a

a

+

b

b

+

c

c

=1.

∴

a

Cb

+

b

Ca

+

c

ba

＝-

a

a

-

b

b

-

b

b

=-1.

本题考查了有理数的乘除以及绝对值，利用绝对值的性质求出xx的值

可求得结果，要注意xx的值的不确定性.

分类讨论是本题的难点，利用x的正负来确定xx的值有多种情况，保证

分类不重不漏是关键.

已知a，b，c为有理数.

(1）如果ab＞0，a+b＞0，试确定a，b的正负.

(2）如果ab＞0，abc＞0，bc＜0，试确定a，b，c的正负.

由有理数的运算法则即可判断所求字母的正负性.

(1）∵ab＞0，∴a，b同号.又∵a+b＞0，∴a，b都为正数.

(2）∵ab＞0，∴a，b同号.又∵abc＞0，∴c＞0.

又∵bc＜0，∴b，c异号，即b＜0，故a＜0.

∴a，b为负数，c为正数.

积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因

数有偶数个时，积为正.

解决此类判断正负的问题，单个条件无法判断时，要综合几个所给条件

考虑.

拓展训练

A组

1.下列说法中，错误的是(）.

A.任何有理数都有倒数B.互为倒数的两个数积为1

C.互为倒数的两个数同号D.2和12互为倒数

2.计算(-1）÷(-5）×













5

1

的结果是(）.

A.-1B.1C.-

25

1

D.-25

3.下列说法中，不正确的是(）.

A.一个数（不为0）与它的倒数之积是1

B.一个数与它的相反数之和为0

C.两个数的商为-1，这两个数互为相反数

D.两个数的积为1，这两个数互为相反数

4.若2019×24＝m，则2019×25的值可表示为（）.

A.m+1B.m+24C.m+2019D.m+25

6.若有理数a，b，c满足a+b+c＞0，且abc＜0，则a，b，c中正数有（）个.

A.0B.1C.2D.3

7.若

b

a

=2，

c

b

=6，则

c

a

=.

8.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，那么式子

36

1833





cd

ba

的值是.

9.学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题.

计算：

16

15

71×(-8），看谁算得又对又快.下面是前两名同学给出的解法：

小强：原式=-

16

1151

×8=-

16

9208

=-575

2

1

;

小莉：原式=













16

15

71×(-8）=71×(-8）+

16

15

×(-8）=-575

2

1

.

(1）对于以上两种解法，你认为谁的解法比较好？其理由是什么？对你有何启发？

(2）此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来.

10.计算:

(1）-1+5÷













6

1

×(-6）.(2）

2

1

1×

7

5

-













7

5

×

2

1

2+-













2

1

×

7

5

.

11.如图，小明有5张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题.

（1）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？

（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？

（第11题）

12.某公司去年1～3月份平均每月盈利2万元，4～6月份平均每月亏损1.6万元，7～10

月份平均每月亏损1.4万元，11～12月份平均每月盈利3.4万元(假设盈利为正，亏损为负）.

(1）去年该公司是盈利还是亏损？

(2）去年该公司平均每月盈利(或亏损）多少万元？

B组

13.下列结论：①若|x|＝2，则x一定是2；②若干个有理数相乘，若负因数的个数是奇数，

则乘积一定是负数；③若|a+b|＝a-b，则a≥0，b＝0或a＝0，b≤0；④若a，b互为相反数，

则ab=-1.其中正确的说法的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

14.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，

F（n）=n2k[其中k是使F（n）为奇数的正整数]，两种运算交替重复进行，例如:取n＝24，

则：

若n＝13，则第2020次“F”运算的结果是（）.

A.1B.4C.2020D.42020

15.已知a，b为任意非零有理数，则

a

a

+

b

b

+

ab

ab

的可能取值是(）.

A.-3或1B.3或1或-1C.1或3D.-1或3

16.已知有理数a，b满足ab＜0，|a|＞|b|，2（a+b）＝|b-a|，则ba的值为.

17.小华在课外书中看到这样一道题：

计算：

36

1

÷

4

1

+

12

1

-

18

7

-

36

1

+)

36

1

18

7

12

1

4

1









÷

36

1

.

她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关

系，她顺利地解答了这道题.

（1）前后两部分之间存在着什么关系？

（2）先计算哪部分比较简便？请计算比较简便的那部分.

（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果.

（4）根据以上分析，求出原式的结果.

18.教室里一般都装日光灯来照明，已知每根灯管每小时的平均耗电量约为0.04千瓦时（俗

称为度），而1千瓦时电的价格是0.75元.设教室每天平均开灯10小时，请计算并回答以下

问题：

（1）若每所中小学平均有30间教室，每间教室配有12根灯管，则一所中小学所有教室一

天的耗电量是多少千瓦时？

（2）某市约有500所中小学，一年若按210个工作日（即上学时间）计，则每年该市中小

学所有教室的照明电费约为多少元？

19.1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=

2

1

n(n+1)，其中n

是正整数.

现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）＝？

观察下面三个特殊的等式：

1×2=

3

1

（1×2×3-0×1×2）；

2×3=

3

1

（2×3×4-1×2×3）；

3×4=

3

1

（3×4×5-2×3×4）.

将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=

3

1

×3×4×5＝20.

读完上述材料，请你思考后回答下列问题：

（1）直接写出下列各式的计算结果：

①1×2+2×3+3×4+…+10×11＝.

②1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝.

（2）探究并计算：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）＝.

（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12＝.

走进重高

1.【大庆】已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（）.

A.a＞0，b＞0B.a＜0，b＞0

C.a，b同号D.a，b异号，且正数的绝对值较大

2.【赤峰】若正整数x，y满足（2x-5）（2y-5）＝25，则x+y等于（）.

A.18或10B.18C.10D.26

3.若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝

4×3×2×1，…，则50！48！的值为（）.

A.

48

50

B.49！C.2450D.2！

5.已知非零有理数m，n满足

m

m

+

n

n

=-2，则

mn

mn

=.

6.【杭州】计算6÷











2

1

，方方同学的计算过程如下：原式＝6÷-12+6÷13=-12+18＝6.

请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程.

7.在1，-2，3，-4，-5中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b.

（1）求ab的值.

（2）若|x-a|+|y+b|＝0，求（-x-y）·y的值.

高分夺冠

1.某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用这种药品的剂量范围是(）.

(第1题）

A.15mg～30mgB.20mg～30mg

C.15mg～40mgD.20mg～40mg

2.已知a1=

321

1



×

2

1

=

3

2

，a2=

432

1



+

3

1

=

8

3

，a3=

432

1



+

4

1

=

15

4

，…，依据上述

规律，则a99==．

3.如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度为12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时

瓶中水面高度是20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为(瓶底的厚度不计）.

(第3题）

4.一本书的页码是连续的自然数：1，2，3，4，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码

加了两次，得到不正确的结果2020，则这个被加了两次的页码是.

5.一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：这个自然数的末

三位与末三位以前的数字组成的数之差能被13整除.例如：判断383357能不能被13整除，

这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383-357

＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”.

（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由.

（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个

四位数为“间同数”.

①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除.

②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值

与最小值之差.

6.分析判断：

(1）如果ab＜0，a＜b，试确定a，b的正负.

（2）如果ab<0，a+b<0，｜a｜>｜b｜，试确定a，b的正负.

（3）如果ab＜0，abc＜0，bc<0，试确定a，b，c的正负.

第五讲有理数的乘方及混合运算

重点分析：

1.乘方可以看作乘法的特殊情况.规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，

负数的偶次幂是正数.互为相反数的两数的奇次幂仍互为相反数，它们的偶次幂则相等.

2.有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号的，则先算括号里

面的.

3.准确数和近似数是应用有理数解决实际问题所必需的.

4.科学计数法：把一个实数表示成±a×10n(1≤a＜10，n为整数）的形式.

难点分析：

有理数的混合运算需要运用多种法则，较复杂的符号判别和运算顺序是本讲的难点.

(1）先算括号内或者直接运用乘法分配律来计算都可以.(2）先相乘，再

加减或者直接逆用乘法分配律来计算.(3）先算乘方，再算乘除，最后相加减.

对于有理数的混合运算首先要仔细观察所求式子，看是否能运用运算律

使运算简便，然后按照有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号

的要先算括号里面的.

对于(1）(2）小题运用乘法分配律时要注意运算符号；(3）小题注意-22

表示2个2相乘的相反数，其结果为-4.

比较6111，3222，2333的大小.［提示：amn=(am)n］

由于3个幂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数

111，所以可将3个幂都转化为指数是111的幂的形式，然后只需比较它们的底数即可.

∵3222=(32）111=9111，2333=(23）111=8111，

又∵9111＞8111＞6111，

∴3222＞2333＞6111.

本题主要考查了幂的大小的比较方法.一般说来，比较几个幂的大小，

可以把它们的底数变为相同，或者把它们的指数变为相同，再分别比较它们的指数或底数.

当幂的底数和指数都不同时，不能直接比较出大小.

阅读理解：

已知（ab）2=a2b2，（ab）3=a3b3，（ab）4=a4b4.

（1）用特例验证上述等式是否成立.

(2）通过上述验证，猜一猜：（ab）100=，归纳得出：（ab）n=.

(3）上述性质可以用来进行运算，反之仍然成立，即：anbn=（ab）n.

应用上述等式计算：-

4

1

2019×42020．

（1）任取一组a,b的值代入进行计算即可.(2）根据（1）中的各数的值找

出规律即可解答.(3）逆用（2）中的规律计算即可．

（1）令a=2，b=3，

则（2×3）2=22×32=36，（2×3）3=23×33=216，（2×3）4=24×34=1296，故（ab）n=anbn.

（2）a100b100anbn

本题考查的是有理数的乘方及规律的归纳总结.解答本题的关键是根据

（1）中各数的特点找出规律，再根据此规律进行解答．

幂的运算要特别注意概念，弄清底数、指数和运算法则，还要注意结果

的符号．

我们常用的数是十进制数，如4657=4×103+6×102+5×101+7×100，十进制数要

用10个数码(又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用的是二进制数，

只要2个数码：0和1，如二进制数110=1×22+1×21+0×20，相当于十进制数中的6；

110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，相当于十进制数中的53.那么二进制中的数

101011等于十进制数中的哪个数？(提示：非零有理数的零次幂都为1)

认真观察给出的两个式子：110=1×22+1×21+0×20和

110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，得出规律再计算即可.

101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=32+0+8+0+2+1=43.

解答本题的关键是找出规律，按照规律进行计算.

最右边的数字乘20，不是乘21，20=1.

若a，b，c均为整数，且｜a-b｜2021+｜c-a｜2020=1，则｜a-c｜+｜c-b｜+｜b-a｜

的值为(）.

A.1B.2C.3D.2021

本题可分类讨论，分别计算｜a-b｜=1，｜c-a｜=0和｜a-b｜=0，｜c-a｜

=1这两种情况下所求代数式的值，然后得到结果.

∵a，b，c均为整数，且｜a-b｜2021+｜c-a｜2020=1，

∴｜a-b｜=1，｜c-a｜=0或｜a-b｜=0，｜c-a｜=1.

当｜a-b｜=1，｜c-a｜=0时，可得c=a，

∴｜a-c｜+｜c-b｜+｜b-a｜=｜a-a｜+｜a-b｜+｜b-a｜=0+1+1=2；

当｜a-b｜=0，｜c-a｜=1时，可得b=a，

∴｜a-c｜+｜c-b｜+｜b-a｜=｜a-c｜+｜c-a｜+｜a-a｜=1+1+0=2；

综上可知：｜a-c｜+｜c-b｜+｜b-a｜的值为2.

故选B.

本题主要考查了绝对值和非负数的性质，关键是要分类讨论.

互为相反数的两个数的绝对值相等，即｜a-b｜=｜b-a｜.

若a，b，c在数轴上的对应点如图，且|a|＝|b|.

（1）计算：100-99a-99b.

（2）确定（a-b）（b-c）（a-c）的符号.

（3）化简：|a|-|a+b|+|c-a|+|c-b|.

（1）先由图判断出a，b，c的符号，再根据|a|＝|b|这一条件计算即可.

（2）先确定a-b，b-c，a-c的符号，从而可以判断（a-b）（b-c）（a-c）的符号.（3）根据

a，a+b,c-a,c-b的符号，先去绝对值符号，再化简即可.

由图可知，a＞0，b＜c＜0.

∵|a|＝|b|，∴a＝-b.

（1）100-99a-99b＝100-99（-b）-99b＝100+99b-99b＝100.

（2）∵a-b＞0，b-c＜0，a-c＞0，

∴（a-b）（b-c）（a-c）＜0.

∴（a-b）（b-c）（a-c）的符号为“-”.

（3）|a|-|a+b|+|c-a|+|c-b|＝a-0+a-c+c-b＝2a-b.

本题考查了有理数的混合运算以及数轴的知识，解题的关键是利用数轴

判断出各整式的符号，再计算就简单了.

题（3）中需要先确定绝对值中的数（或式）的符号，再根据绝对值的意

义及有理数的运算法则计算即可.

阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22020的值.

解：设S＝1+2+22+23+24+…+22020①，

将等式两边同时乘2得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，

②-①得S＝22021-1，即S＝1+2+22+23+24+…+22020＝22021-1.

请你仿照此法计算：

（1）1+2+22+23+24+…+210.

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）.

（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210，两边同时乘2后得到关系式，与已知等

式相减，变形即可求出所求式子的值.（2）同理可得到所求式子的值.

（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210①，

将等式两边同时乘2得2S＝2+22+23+24+…+210+211②，

②-①得S＝211-1，即S＝1+2+22+23+24+…+210＝211-1.

（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n①，

将等式两边同时乘3得3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②，

②-①得2S＝3n+1-1，即S=1+3+32+33+34+…+3n=

2

1

（3n+1-1）.

本题考查了有理数的乘方，题中求和的方法通常被称为错位相减法.

使用错位相减法求和时，要注意不要出现多项、漏项等项数处理不当导

致的错误，还要注意求最后的结果时不要漏乘系数.

拓展训练

A组

1.(-3）4表示(）.

A.4个(－3）相乘的积B.－3乘4的积

C.3个(－4）相乘的积D.4个(－3）相加的和

2.若a2＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（）.

A.-3B.-1C.-1或-3D.1或-3

3.若0

A.x

4.中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均水平的四分之一，所以我们要节约

用水.若每人每天浪费水0.32L，则100万人每天浪费的水，用科学计数法表示为(）.

A.3.2×107LB.3.2×106LC.3.2×105LD.3.2×104L

5.如图，数轴的单位长度为1，如果P，Q表示的数互为相反数，那么图中的4个点中，哪

一个点表示的数的平方值最大(）.

（第5题）

.T

6.【巴中】2017年四川省经济总量达到3.698万亿元，居全国第6位，在全国发展大局中

具有重要地位.把3.698万亿用科学计数法表示（精确到0.1万亿）为（）.

A.3.6×1012B.3.7×1012C.3.6×1013D.3.7×1013

7.【赤峰】8月份是新学期开学准备季，东风和百惠两书店对学习用品和工具书实施优惠销

售.优惠方案分别是：在东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后，超出部分按50%

收费；在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费50元后，超出部分按60%收费.郝爱同学

准备买价值300元的学习用品和工具书，她在哪家书店消费更优惠（）.

A.东风B.百惠C.两家一样D.不能确定

8.现规定一种运算“*”：a*b=ab，如3*2=32=9，则

2

1

*3=.

9.瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据

5

9

，

12

16

，

21

25

，

32

36

，…中，成功地发现了其规律，

从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门.请你根据这个规律写出第9个

数：.

10.计算：

(1）(-3）2.(2）-(-2）5.(3）-22×(-3）2.(4）













5

3

×













3

2

14.

11.计算：

（1）871-87.21+53

21

19

-12.79+43

21

2

.（2）4×（-3）2+6.

（3）-0.52+14-|-32-9|-

3

2

1

1













×

27

16

.

（4）













12

7

2

1

5

3

×













7

5

60

7

3

60

7

1

60.

12.一次数学兴趣小组活动中，同学们做了一个找朋友的游戏：有六个同学A，B，C，D，E，

F分别藏在六张大纸牌的后面，如图，A，B，C，D，E，F所持的纸牌的前面分别写有六个算

式：66；63+63；（63）3；（2×62）×（3×63）；（22×32）3；（64）3÷62.游戏规定：所持算式的

值相等的两个人是朋友.如果现在由同学A来找他的朋友，他可以找谁呢？说说你的看法．

（第12题）

B组

13.计算（-2）101+（-2）100的结果是（）.

A.2100B.-2C.-2100D.-1

14.为求1+2+22+23+…+22000的值，可令S=1+2+22+23+…+22000，则2S=2+2

2+23+…+22001，因此2S-S=22001-1.仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52020的值为

（）.

A.52020-1B.52021-1C.

4

152020

D.

4

152021

15.某公园划船项目收费标准如下：

某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为

元.

17.有3个有理数x，y，z，若，且x与y互为相反数，y是z的倒数.

（1）当n为奇数时，你能求出x，y，z这三个数吗？当n为偶数时，你能求出x，y，z这

三个数吗？若能，请计算并写出结果；若不能，请说明理由.

（2）根据（1）的结果，计算：xy-yn-（y-z）2020.

18.你能比较20202021与20212020的大小吗？

为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较nn+1与(n+1）n(n是自然数）的大

小.然后我们分析当n=1，n=2，n=3，…时从中发现的规律，经归纳、猜想得出结论：

(1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小，在空格中填上“>”“<”或“=”.

①1221.②2332.③3443.④4554.⑤5665.

(2）将题(1）的结果经过归纳，可以猜想出当n≥3时，nn+1和(n+1）n的大小关系是.

(3）经过上面的归纳猜想，试比较20202021与20212020的大小.

19.材料：

一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即

logab＝n）.例如：3b（即logab＝n）.例如：3b＝n）.例如：34＝81，则4叫做以3为底

81的对数，记为log381（即log381＝4）.

问题：

（1）计算以下各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝.

（2）仔细观察，（1）中4，16，64三数之间满足的关系式为，log24，log216，log264之间

满足的关系式为.

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？直接写出结论，无须证明.

logaM+logaN＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）.

走进重高

1.【河北】等于（）.

2.【南京】计算12+（-18）÷（-6）-（-3）×2的结果是（）.

A.7B.8C.21D.36

3.【宜昌】2017年5月18日，新华社电讯：我国利用世界唯一的“蓝鲸1号”，在南海实

现了可燃冰（即天然气水合物）的安全可控开采.据介绍，“蓝鲸1号”拥有27354台设备，

约40000根管路，约50000个MCC报验点，电缆拉放长度估计1200km.其中准确数是（）.

A.27354B.40000C.50000D.1200

4.【牡丹江】请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将四个数-2，4，

-6，8组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是

（只写一种）.

6.定义：如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n）.

（1）根据劳格数的定义，可知d（10）＝1，d（102）＝2，那么d（103）＝.

（2）劳格数有如下运算性质：

若m，n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d











n

m

＝d（m）-d（n）.

根据运算性质填空：

①



















2

25

d

d

=.

②若d（3）＝0.48，则d（9）＝，d（0.3）＝.

高分夺冠

(第2题）

1.如果n是正整数，那么

8

1

［1-(-1）n］(n2-1）的值(）.

A.一定是零B.一定是偶数

C.是整数但不一定是偶数D.不一定是整数

2.将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐角处，3在

第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处……那么在第2021个拐角处的数是.

3.计算：

4.阅读理解题：

试判断20001999+19992000的末位数字.

∵20001999的末位数字是0，而19992的末位数字是1，

∴19992000=(19992）1000的末位数字是1.

∴20001999+19992000的末位数字是1.

同学们，根据阅读材料，你能否判断20002的末位数字是多少？写出你的理由.

5.黑板上有三个正整数a，b，c（不计顺序），允许进行如下的操作：擦去其中的任意一个

数，写上剩下的两个数的平方和.例如：擦去a，写上b2+c2，这次操作完成后，黑板上的三

个数为b，c，b2+c2.

（1）当黑板上的三个数分别为1，2，3时，能否经过有限次操作使得这三个数变为56，57，

58（不计顺序）?若能，请给出操作方法；若不能，请说明理由.

（2）是否存在三个小于2000的正整数a，b，c，使得它们经过有限次操作后，其中的一个

数为2007?若能，写出正整数a，b，c，并给出操作方法；若不能，请说明理由.

（3）是否存在三个小于2000的正整数a，b，c，使得它们经过有限次操作后，其中的一个

数为2008?若能，写出正整数a，b，c，并给出操作方法；若不能，请说明理由.

第六讲平方根和立方根

重点分析：

1.平方根、算术平方根、立方根的概念.平方根：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.算术平

方根：正数的正的平方根和0的平方根统称算术平方根，一个数a(a≥0）的算术平方根记

作“a”.立方根：如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作“3a”.

2.算术平方根的双重非负性：被开方数是非负数，结果是非负数.

3.一个正数有两个平方根且互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

4.任何数都有立方根，且立方根和被开方数具有同号性.

难点分析：

1.平方根的概念是通过逆运算来建立的，而且有多种不同情况，这是学生从未经历过的.

2.算术平方根的双重非负性的应用.

求下列各式的值:

(1）±

81

.(2）-

16

.(3）

25

9

.(4）24.

(1)±

81

表示81的平方根，故其结果是一对相反数.(2)-

16

表示16

的负平方根，故其结果是负数.(3)

25

9

表示925的算术平方根，故其结果是正数.(4)

24表示(-4）2的算术平方根，故其结果是正数.

(1）∵92=81，∴±

81

=±9.

(2）∵42=16，∴-16=-4.

(3）∵

2

5

3













=925，∴

25

9

=

5

3

.

(4）∵42=(-4）2，∴24=4.

弄清与平方根有关的三种符号±a，a，-a的意义是解决这类问题的关

键.±a表示非负数a的平方根.a表示非负数a的算术平方根，-a表示非负数a的负平方根.

注意a≠±a.在具体解题时，符号“”的前面是什么符号，其计算结

果也就是什么符号.

请根据如图的对话内容回答下列问题.

（1）求该魔方的棱长.

（2）求该长方体纸盒的表面积.

（1）直接利用正方体体积求法进而得出答案.（2）利用已知表示出长方体

的体积，进而得出答案.

（1）设魔方的棱长为x（cm），则x3＝216，解得x＝6.

∴该魔方的棱长为6cm.

（2）设该长方体纸盒的长为y（cm），则6y2＝600，解得y＝±10.

∵y是正数，∴y＝10.

10×10×2+10×6×4=440(cm2).

∴该长方体纸盒的表面积为440cm2.

本题主要考查了立方根以及算术平方根，正确把握相关定义是解题关

键.

根据y2＝100，解得y＝±10，而不是y=10，其中y=-10不合题意舍去，

要注意规范解答.

x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？

使代数式在实数范围内有意义，若有被开平方数，则被开平方数大于等于0；

若式子中含有分母，则分母不能为0.

(1）∵2-x≥0，x-1≥0，∴1≤x≤2.∴当1≤x≤2时，(1）式有意义.

(2）∵2x-1＞0(分母2x-1≠0），∴x>12.∴当x>12时，(2）式有意义.

(3）∵x-1≥0，x-2≠0，∴x≥1且x≠2.∴当x≥1且x≠2时，(3）式有意义.

(4）∵(x-3）2≥0，∴x取任何实数时，(4）式都有意义.

有被开平方数的代数式要有意义，被开平方数必须大于等于0；有分母

的代数式要有意义，分母必须不等于0.

当被开平方数在分母中出现时，被开平方数必须大于0.

已知实数x，y满足y=4x-1+1-4x+13，求3yx的值.

根据被开平方数均为非负，而4x-1与1-4x又互为相反数，可以先求出x，

y的值，再根据立方根定义，即可解答.

∵4x-1≥0，1-4x≥0,∴x≥14，x≤14.

本题考查了平方根的意义以及非负数的性质，而最后求立方根的关键是

熟悉立方根的定义.

根据非负数的性质确定x的值是本题的突破口，还需要注意立方根的结

果只有一个，与平方根要区别开来.

观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：

（1）2=1.414，

200

=14.14，

20000

=141.4,…；

03.0=0.1732，3=1.732，300=17.32,….

由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位.

(2）已知5=2.236，50=7.071，则0.5=，500=.

(3）31=1，31000=10，31000000=100,…，

小数点的变化规律是.

(4）已知310=2.154，3100=4.642，则310000=，-30.1=．

（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可.(2）利用得出的规律计

算即可得到结果.(3）归纳总结得到规律，写出即可.(4）利用得出的规律计算即可得到结果．

（1）被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移

动一位．故答案为：两，右，一.

（2）

5.0

=0.7071，

500

=22.36．

（3）小数点的变化规律是：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，其立方根的小

数点向右（或向左）移动一位．

（4）

10000

=21.54，-1.03

=-0.4642．

本题考查了立方根以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．

注意平方根与立方根小数点移动位数的规律不同，不要混淆．

请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子.

①

16

=

161

=241

=1×24

=1×4=4；

②

32

=

162

=242

=2×24

=2×4=24；

③

48

=

163

=243=3×24

=3×4=34.

要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认

真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是用序数乘16得到

的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80.

④

64

=

164

=244

=

4

×24

=2×4=8；

⑤

80

=

165

=245=

5

×24

=

5

×4=54.

解这类题需注意观察题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子推

广得到一般的结论.

按规律找出被开方数后，要利用算术平方根的性质进行化简.

数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道

智力题：求59319的立方根.华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙.你知道

怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试.

（1）103＝1000，1003＝1000000，你能确定59319的立方根是几位数吗？位数.

（2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？.

（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，由此你能确定59319

的立方根的十位数是几吗？.因此59319的立方根是.

（4）现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？

①它的立方根是位数.②它的立方根的个位数是.③它的立方根的十位数是.④185193的立

方根是.

（1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两

位数.（2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定.

（3）根据数的立方的计算方法即可确定.（4）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数

的个位数的立方的个位数确定个位数，然后确定十位数.

（1）两

（2）9

（3）339

（4）∵103＝1000，1003＝1000000，1000＜185193＜1000000，

∴185193的立方根是一个两位数.

∵185193的最后一位是3，∴它的立方根的个位数是7.

185193去掉后3位，得到185，

∵53＜185＜63，∴立方根的十位数是5.

∴185193的立方根是57.

故答案为：两；7；5；57.

本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个

位数的立方的个位数是解题的关键.

估值是解决本题的主要方法，要准确估计立方根的范围必须清楚一个数

每扩大十倍，它的立方扩大1000倍，反之亦然.

拓展训练

A组

1.4的平方根是±2，那么

81

的平方根是(）.

A.±9B.9C.3D.±3

2.下列各组数中互为相反数的是(）.

A.-2与22B.-2与38C.-2与

2

1

D.|-2|与2

3.已知3≈1.732，下列各式正确的是（）.

A.

3.0

≈1.732B.

30

≈17.32C.

300

≈17.32D.

3000

≈173.2

4.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值为(）.

A.-3B.1C.-3或1D.-1

5.若x，y满足|x-3|+12y=0，则y的值是（）.

A.1B.2C.3D.5

6.下列说法中，正确的是（）.

①-2是2的一个平方根;②-4的算术平方根是2;③

16

的平方根是±2;④0没有平方根.

A.①②③B.①④C.①③D.②③④

7.如果y=8+8+2，那么xy的算术平方根是(）.

A.2B.8C.4D.6

8.(1）写一个比-

3

小的整数：.

（2）已知a，b为两个连续的整数，且a<

28

9.若a的一个平方根是b，则它的另一个平方根是；若a的一个平方根是b，则

a的平方根是.

10.若33670.0=0.716，3670.3=1.542，则3367=，33670=．

11.计算：

（1）

81

+327+

2

3

2













.（2）22-|1-3|+22

-53.

12.求下列式子中x的值：

（1）（3x+1）2=16.（2）（x-2）3-1=-28．

13.如图，用两个边长为152cm的小正方形拼成一个大的正方形.

（第13题）

（1）求大正方形的边长.

（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为

4∶3且面积为720cm?∶3且面积为720cm且面积为720cm2？若能，试求出剪出的长方形纸

片的长与宽；若不能，请说明理由.

B组

14.若x-1+x+y=0，则x2019+y2020的值为(）.

A.0B.1C.-1D.2

15.对a，b定义运算“*”如下：a*b=已知3*m＝36，则实数m等于

（）.

A.

32

B.4C.±

32

D.4或±

32

16.下列语句中正确的是(）.

A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0

B.一个数的立方根不是正数就是负数

C.负数没有立方根

D.一个不为0的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0

17.在0~20的自然数中，立方根是有理数的共有(）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

18.已知

32a

-3+337a=0，则5a=．

19.你能找出规律吗？

（1）计算：4×

9

=，

94

=，

16

×

25

=，

2516

=.

（2）请按找到的规律计算：①

5

×

20

.②

3

2

1

×

5

3

9

.

（3）已知a=2，b=

10

，则

40

=（用含a，b的式子表示）．

20.请同学们运用所学的方法，完成下表：

(1）观察下表并说明当已知数a的小数点向右(或向左）移动时，它的立方根3a的小数点的

移动规律是怎样的？写出你发现的规律.

(2）运用你所发现的规律，解下列各小题：

已知3250.5=1.738，求：①300525.0.②35250000.

走进重高

1.【杭州】下列计算中，正确的是（）.

A.22

=2B.22=±2C.24

=2D.24

=±2

2.【南京】若方程（x-5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（）.

A.a是19的算术平方根B.b是19的平方根

C.a-5是19的算术平方根D.b+5是19的平方根

3.有一个数值转换机，原理如图：

（第3题）

当输入的x＝81时，输出的y＝.

4.若（x-5）2+164y=0，则（y-x）2019＝.

5.全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在

岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限，近似地满足如下的

关系式：d＝7×

12t

（t≥12），其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失

的时间，单位是年.

（1）计算冰川消失16年后苔藓的直径.

（2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问：冰川约是在多少年前消失的？

6.已知一个正数的两个平方根分别为a和3a-8.

（1）求a的值，并求这个正数.

（2）求1-7a2的立方根.

高分夺冠

1.若

a200

是一个整数，则满足条件的最小正整数a=；若3128x是一个正整数，

则满足条件的最小正整数x=.

2.

4a

-

a29

+

a31

+2a的值是.

3.①ab=0;②a+b=0;③a2+b=0;④a-b=0;⑤a+2b2=0.以上5个等式中一定要满足实数a,b的值

同时为0的是(填序号）.

4.如图，有三个正方体.

（1）三个正方体的棱长之间有怎样的大小关系？(用“<”连接)

（2）棱长a的整数部分是几？十分位是几？百分位是几？（可以用计算器进行探索）

（3）根据下表所列棱长a的范围，分别计算出对应正方体体积V的范围，并填入下表中.

（4）这个过程继续下去，a可能是有限小数吗？

5.已知x=abaa23是a+3的算术平方根，y=233abb是b-3的立方根，求y-x的立方

根．

第七讲实数及其运算

重点分析：

1.实数可分成两类：有理数和无理数，也可分成三类：正实数、负实数和零.

2.实数与数轴上点的一一对应关系.

3.实数的运算：运算顺序：先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里

的；运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律.

难点分析：

无理数的概念比较抽象，它是一个确定的数，却不能把它完全直观地表示出来.

计算：

(1）

25

×

36

-21.(2）

3

-(2-

3

）×(-1）.

(3）

9

1

+

0

-327

.(4）2325

-3×(2+1）.

将算术平方根及立方根分别化为最简，然后合并即可得出答案.

(1）原式=5×6-21=9.

(2）原式=

3

+2-

3

=2.

(3）原式=

3

1

+0+3=

3

10

.

(4）原式=5-2

3

+4-32-3=6-2

3

-32.

本题考查了实数的混合运算，解题的关键是把算术平方根和立方根化成

最简.

一个数的算术平方根和立方根都只有一个，且和被开方数具有同号性，

去括号时要注意符号.

(1）比较

5

13

与

5

1

的大小.

(2）比较1-2与1-

3

的大小.

差值比较法的基本思路是先求出a与b的差，若a-b＞0，则a＞b；若a-b

＜0，则a＜b；若a-b＝0，则a=b.

(1）中解法一叫差值比较法，解法二叫商值比较法，解法三叫估算法.

对于不同的问题要灵活应用简便合理的方法来解题.

如图，在4×4方格中每个小正方形的边长都为1.

（1）直接写出图1中正方形ABCD的面积及边长.

（2）在图2的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上），

并把图2中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数8.

（1）可以用3×3的正方形面积减去四个三角形面积得到正方形ABCD的面

积，再求算术平方根可得边长.（2）根据(1)中格点正方形的面积计算方法画出面积为8的

正方形，其边长就是8，然后在数轴上以原点为圆心、正方形的边长为半径画弧可得实数8

的位置.

（1）正方形ABCD的面积是：

3×3－

2

1

×1×2×4=5，

∴正方形ABCD的边长为

5

.

（2）如图.

本题考查了格点正方形的面积、实数与数轴，利用格点我们可以画出面

积不为平方数的正方形，然后得到长度为无理数的正方形边长，这种利用割补法确定图形面

积是一种重要的数学方法.

作面积为8的正方形是难点与易错点，要注意利用好格点，多尝试并确

定面积符合题目要求.

已知x，y为实数，y=，试求3x+4y的值.

根据根号内是非负数，分母不为0来综合考虑，可以得到相应的未知字母

的值.

依题意得x2-4≥4且4-x2≥0,∴x2=4.∴x=±2.

又∵x-2是原式的分母，∴x-2≠0.∴x≠2.∴x=-2，此时，y=-

4

1

.

∴3x+4y=3×(-2）+4×-











4

1

=-7.

本题用到的知识点有：互为相反数的两个数都在根号里，那么这两个数

都为0.

本题除了考虑被开方数必须大于等于零外，还要注意分母不能等于零.

(1）本题是一道规律题，很容易发现相邻两个实数的算数平方根的和的倒

数就是这两个相邻实数的算数平方根的差，从而求出其值.(2）利用(1）的结论进行化简.

在解答中注意观察题目中所给式子的变化规律，运用规律解答能使运算

简便，并且得心应手.

要证明(1）中的结论可以利用分式的基本性质，分子、分母同时乘一个

使分母有理化的因式，分式的值不变.

大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可

能全部写出来，但是由于1＜2＜2，所以2的整数部分为1，将2减去其整数部分1，所得

的差2-1就是其小数部分.根据以上内容，解答下面的问题：

(1）

5

的整数部分是，小数部分是.

(2）1+2的整数部分是，小数部分是.

(3）若设2+

3

的整数部分是x，小数部分是y，求x-y3的值.

(1）求出

5

的范围是2＜

5

＜3，即可求出答案.(2）由2的范围是1＜

2＜2即可求出1+2的范围，从而求得答案.(3）先求出3的范围，从而得出2+

3

的

范围，于是可求得x，y的值，代入即可.

(1）∵2＜

5

＜3，∴

5

的整数部分是2，小数部分是5-2.

故答案为：2，

5

-2.

(2）∵1＜2＜2，∴2＜1+2＜3.

∴1+2的整数部分是2，小数部分是1+2-2=2-1.

故答案为：2，2-1.

(3）∵1＜

3

＜2，∴3＜2+2＜4.∴x=3，y=2+2-3=2-1.

∴x-y3=3-

3

(

3

-1）=

3

.

求无理数的整数部分和小数部分，通常先估计其整数部分，然后用原数

减去其整数部分就是小数部分.

一个无理数的小数部分是用原数减去其整数部分得到的一个准确值，不

能通过估计得到.

化简：

（1）根据算术平方根的计算方法即可解答.（2）根据立方根的计算方法即

可解答.（3）根据数轴可以判断a，b的大小与正负，从而可化简题中的式子.

（1）22|a|

（2）3-3a

（3）由图可得，a＜0＜b，|a|＜|b|，

∴2a+2ba-2ba＝|a|+|a－b|－（a+b）＝-a+b-a-a-b＝-3a.

本题考查立方根、算术平方根、绝对值，解答本题的关键是明确题意，

利用数形结合的思想解答.

注意2ba和3

3ba去掉根号后要添绝对值符号或括号，计算时

要特别注意符号的处理，不要犯错.

拓展训练

A组

1.下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；

④实数与数轴上的点是一一对应的.正确的个数是(）.

A.1B.2C.3D.4

2.在算式



















3

3

□



















3

3

的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（）.

A.加号B.减号C.乘号D.除号

3.若2＜

2a

＜3，则a的值可以是（）.

A.-7B.

3

16

C.

2

13

D.12

A.2个B.3个C.4个D.5个

5.当a为实数时，2a=-a在数轴上对应的点在(）.

A.原点右侧B.原点左侧C.原点或原点右侧D.原点或原

点左侧

6.把下列各数分别填入相应的集合内.

-6.5，0，-

15

，3.14，

3

2

，4，327，2.112…，

3



.

整数集合：{…};

有理数集合：{…};

无理数集合：{…};

正实数集合：{…};

负实数集合：{…}.

9.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B，若点A表示-3，设点B所

表示的数为m.

（1）求m的值.

（2）求|m-1|+

3

（m+6）+1的值.

（第9题）

10.阅读理解：

求

103

的近似值.

解：设

103

=10+x，其中0＜x＜1，则103=（10+x）2，即103＝100+20x+x2.

∵0＜x＜1，∴0＜x2＜1.

∴103≈100+20x，解得x≈0.15，即

103

的近似值为10.15.

理解应用：

利用上面的方法求95的近似值（结果精确到0.01）.

11.(1）若2-2-y=6，求yx的立方根.

（2）已知有理数a满足2020-a+

2021a

=a，求a-20202的值.

B组

12.对实数a，b定义“★”运算规则如下：a★b=，则7★（2★3）等

于（）.

A.1B.2C.-1D.-2

13.若3+5的小数部分是a，3-

5

的小数部分是b，则a+b的值为(）.

A.0B.1C.-1D.2

14.我们知道，方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1.若我们规定一

个新数“i”，使其满足i2=-1（即方程x2=-1有一个根为i）.并且进一步规定：一

切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i

2=-1，i3=i2i=（-1）i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，从而对于

任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4ni=（i4）ni=i，同理可得i4n+2=-1，i4n+3=-i，

i4n=1.那么i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020的值为(）.

A.0B.1C.-1D.i

15.请在如图的两个圆圈中各选两个数，再用+，-，×，÷中的3种运算符号，使得结果为

正整数，写出你的运算式子：.

16.如图，将1,2,

3

三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a行第b列的数，

则（8，2）与（2020，2020）表示的两个数的积是．

（第16题）

17.阅读下列材料：

为什么2不是有理数?

假设2是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得2=

m

n

，于是有2m2=n2．

∵2m2是偶数，∴n2也是偶数.∴n是偶数．

设n=2t（t是正整数），则n2=4t2=2m2，∴m2=2t2.∴m也是偶数．

∴m，n都是偶数，不是互质数，与假设矛盾．

∴假设错误.∴2不是有理数．

用类似的方法，请证明

3

不是有理数．

18.我们规定：用［x］表示实数x的整数部分，如［3.14］=3,［8］=2,在此规定下解决下

列问题：

（1）填空：［1］+［2］+［

3

］+…+［

6

］=.

（2）求［1］+［2］+［

3

］+［4］+…+［

49

］的值．

19.如图是一块正方形纸片.

（1）如图1，若正方形纸片的面积为1dm2，则此正方形的对角线AC的长为dm.

（2）若一圆的面积与这个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C

正，则C圆C正（填“>”“<”或“＝”）.

（3）如图2，若正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为

12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3∶2，他能裁出吗？请说明理由.

走进重高

1.【南通】如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数2-5

的点P应落在（）.

（第1题）

A.线段AB上B.线段BO上C.线段OC上D.线段CD上

2.【福建】已知m=4+3，则以下对m的估算正确的（）.

A.2＜m＜3B.3＜m＜4C.4＜m＜5D.5＜m＜6

A.1B.2C.3D.4

4.【湘西州】用科学计算器按如图的步骤操作，若输入的数值是3，则输出的值为（结果精

确到0.1）.

（第4题）

5.对于任意不相等的两个数a，b定义一种运算“*”如下：a*b=，例如：3*2=

=5.那么12*（3*1）＝.

6.请按要求解答下列问题：

（1）实数a，b满足=0.若a，b都是非零整数，请写出一对符合条件的a，b的值.

（2）实数a，b满足=-3.若a，b都是分数，请写出一对符合条件的a，b的值.

7.如图1是由5个边长为1的小正方形组成的纸片.可以用下面的方法把它剪拼成一个正方

形．

（1）拼成的正方形的面积是，边长是.

（2）你能在3×3的正方形方格(如图2）中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？

（3）如图3是由10个小正方形组成的纸片，你能把它剪开并拼成一个大正方形吗？若能，

请画出示意图，并写出边长为多少．

图1图2图3

（第7题）

高分夺冠

1.若a＜b＜0，化简3

3ba-2ba+

3

3a-

2b的结果为(）.

A.3a-bB.3（b-a）C.a-bD.b-a

2.已知a和b都是无理数，且a≠b，下面提供的6个数：a+b，a-b，ab，

b

a

，ab+a-b，ab+a+b

可能成为有理数的有个.

3.已知9，16和a三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所

有符合条件的数a的值：.

4.已知

21217

1



的整数部分为a，小数部分为b，则b=，b-

b

4

=.

5.如图，a，b，c分别是数轴上点A，B，C所对应的实数.化简：c2+|a-b|+3(a+b)3+|b-c|.

（第5题）

6.10414的整数部分为a，小数部分为b，求

ba

1

+

ba

1

的值.

第八讲代数式

重点分析：

1.代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接

而成的式子.单独的一个数或者一个字母也是代数式.

2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值.求代数

式的值可以直接代入计算.

难点分析：

代数式书写格式：

(1）代数式中出现的乘号，通常简记作“·”或省略不写.数字和数字相乘，乘号不能省略；

数字和字母相乘，可以省略乘号，但数字必须写在字母前面，如：a×2可记作2a，不能写

成a2；字母和字母相乘时，除可省略乘号外，一般按英文字母表的顺序来书写，如：y×x×2，

可简记为2xy.

(2）带分数和字母相乘时，若要省略乘号，须把带分数化成假分数，如：，记作

3

2

x，

不能写成

2

1

1x.另外，当数字因数是1或-1时，通常省略不写，如1×a，不能写成1a，而

应记作a.

(3）代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如：s÷t记作st，ah÷2记作

2

ah

.

(4）写代数式的答案时，若是乘、除关系的，单位名称直接写在式子的后面，如：正方形面

积是12a平方厘米，无需加括号；若是加减关系时，必须把式子用括号括起来，再写单位，

如：三角形的周长是(a+b+c）米.

说出下列代数式的意义：(1）2(a+3）.(2）a2+b2.(3）.

说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来.叙述时，既要表

明运算的顺序，又要说出运算的最终结果.

(1）2(a+3）的意义是2与(a+3）的积.

(2）a2+b2的意义是a，b的平方的和.

(3）的意义是(n+1）除以(n-1）的商.

用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及运算

顺序，具体说法没有统一规定，以简明而无歧义为出发点.

a2+b2的意义是a，b的平方的和，注意与a，b和的平方的区别.

如图是一个长方形的铝合金窗框，其长为a（m），高为b（m），装有同样大的塑钢

玻璃，当第②块向右拉到与第③块重叠

2

1

，再把第①块向右拉到与第②块重叠

3

1

时，用含a

与b的式子表示这时窗子的通风面积是m2．

第②块向右拉到与第③块重叠

2

1

，再把第①块向右拉到与第②块重叠

3

1

时，第①块和第②块玻璃之间的距离是













3

1

2

1

×

3

a

.窗子的通风面积为①中剩下的部分．

如图，窗子的通风面积即图中阴影部分的面积.

根据图示找到窗子通风的部位在哪里，是哪个长方形，其长和宽分别是

多少，都需要求出来，然后再利用面积公式进行计算．

本题有一定的难度，主要是要准确地找到窗子的通风部位.

如图是一个数值转换机的示意图，请你用x，y表示输出结果，并求输入x的值为

3，y的值为-2时的输出结果.

本题只需将x=3，y=-2代入数值转换机的示意图，一步一步计算即可得出

结果.

解答本题的关键就是弄清楚示意图给出的计算程序，按程序一步一步计

算.

注意运算顺序，同时正确理解题意也比较重要.

甲、乙两家商店出售同样牌子和规格的羽毛球拍和羽毛球，每副球拍定价300元，

每盒羽毛球定价40元，为庆祝五一节，两家商店开展促销活动如下：

甲商店：所有商品9折优惠.

乙商店：每买1副球拍赠送1盒羽毛球.

某校羽毛球队需要购买a副球拍和b盒羽毛球（b＞a）.

（1）按上述的促销方式，该校羽毛球队在甲、乙两家商店各应花费多少元？试用含a，b

的代数式表示.

（2）当a＝10，b＝20时，试判断分别到甲、乙两家商店购买球拍和羽毛球，哪家便宜？

（1）根据题意可以用代数式分别表示出该校羽毛球队在甲、乙两家商店各

应花费的钱数.（2）根据（1）中代数式，将a＝10，b＝20代入即可解答本题.

（1）在甲商店购买的费用为（300a+40b）×0.9＝（270a+36b）元，

在乙商店购买的费用为300a+40（b-a）＝（260a+40b）元.

（2）当a＝10，b＝20时，

在甲商店购买的费用为270×10+36×20＝3420（元），

在乙商店购买的费用为260×10+40×20＝3400（元）.

∵3420＞3400，

∴当a＝10，b＝20时，到乙商店购买球拍和羽毛球便宜.

本题考查列代数式、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，正确理

解题中的数量关系，并能用字母表示数量关系.

计算（300a+40b）×0.9时根据乘法分配律去括号，要注意0.9跟两个

项都要相乘.

当x=1时，代数式px3+qx+1的值为2020，求x=－1时，代数式px3+qx+1的值.

把x=1代入代数式可得到p+q的值，再把p+q作为一个整体代入到x=-1时

的代数式中就可求得代数式的值.

当x=1时，px3+qx+1=p+q+1=2020，∴p+q=2019.

∴当x=－1时，px3+qx+1=－p-q+1=－(p+q）+1=-2019+1=-2018.

求代数式的值可以把未知数的值直接代入求值，也可以把某个代数式作

为一个整体代入求值.

p和q的值不能求出来，要把p+q作为一个整体代入求值.

(1)在下列横线上用含a，b的代数式表示相应图形的面积.

（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形的面积之间有什么关系？请用数学

式子表示：.

(3）利用（2）的结论计算992+2×99×1+1的值．

（1）根据图形可以求得各个图形的面积.(2）通过观察可以得到前三个图

形的面积与第四个图形的面积之间的关系，从而可以用式子进行表示.(3）根据问题（2）发

现的结论可以得到992+2×99×1+1=(99+1）2．

（1）①a2②2ab③b2④（a+b）2

（2）通过拼图，前三个图形的面积与第四个图形的面积之间的关系是：前三个图形的面积

之和等于第四个图形的面积，用数学式子表示是：a2+2ab+b2=（a+b）2.

（3）992+2×99×1+1=（99+1）2=1002=10000．

本题考查列代数式和代数式求值，解题的关键是明确题意，列出正确的

代数式并求出代数式的值．

注意两种面积表示方法得到的大正方形面积相等，由此等量关系可得到

公式，各个图形的面积和差关系一定要清楚．

探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每条边上的钉子数），连结任意两个钉子

所得到的不同长度值的线段种数：如图，当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1

与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；

当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值有1，2，2，

5

，22,共5种，比n=2时

增加了3种，即S=2+3=5.

(1）观察图形，填写下表：

(2）写出(n-1）×(n-1）和n×n的两个钉子板上不同长度值的线段种数之间的关系(用式

子或语言表述均可）.

(3）对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式.

(1）钉子数为2×2时，共有不同长度的线段2种；钉子数为3×3时，共

有不同长度的线段（2+3）种；钉子数为4×4时，共有不同长度的线段（2+3+4）种；那么

钉子数为5×5时，共有不同长度的线段（2+3+4+5）种.(2）钉子数为(n-1）×(n-1）时，

共有不同长度的线段［2+3+4+5+…+(n-1）］种；钉子数为n×n时，共有不同长度的线段

［2+3+4+5+…+(n-1）+n］种，相减后发现不同长度的线段种数增加了n种.(3）钉子数为n×n

时，共有不同长度的线段(2+3+4+…+n）种.

(1）4，2+3+4+5(或14）.

(2）与(n-1）×(n-1）的钉子板相比，n×n的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种.

(3）S=2+3+4+…+n=n+22×

2

2n

=



2

12nn

.

解决此类探究性问题，关键在于认真观察，分析已知数据，寻找它们之

间的相互联系，探寻其规律.

对于第(3）题写出用n表示S的代数式时注意共有不同长度的线段种数

应从2开始加，加到n，而不是S=1+2+3+4+…+n.

拓展训练

A组

1.用字母表示数，下列书写规范的是(）.

÷4B.-3xyC.a2bD.

2

1

1ab

2.关于代数式x+1的结果，下列说法中一定正确的是（）.

A.比1大B.比1小C.比x大D.比x小

3.某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以











15

10

9

x元出售，则下列说

法中能正确表达该商店促销方法的是（）.

A.原价减去15元后再打9折

B.原价打9折后再减去15元

C.原价减去15元后再打1折

D.原价打1折后再减去15元

4.当x分别取1和-1时，代数式x4-7x2+1的值(）.

A.相等B.互为相反数C.互为倒数D.以上都不对

5.根据如图所示的程序计算函数值，若输出的函数值为425，则输入x的值为(）.

A.

25

29

B.±

5

2

C.

5

2

D.

4

25

(第5题）（第6题）

6.如图，在长为a、宽为b的长方形（其中a＞b＞a2＞0）中放置两个相同的正方形，恰好

构成三个形状、大小完全一样的小长方形（阴影部分），则放置的正方形的边长为（）.

A.a

3

4

B.

3

ba

C.b

4

3

D.

2

ba

7.若x，y为实数，且｜x+2｜+y-2=0，则

















y

x2021的值为(）.

A.2021B.-2021C.1D.-1

8.按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为5，则输出y的值为.

(第8题）

9.如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3.

当R1＝19.7Ω，R2＝32.4Ω，R3＝35.9Ω，I＝2.5A时，U的值为V.

（第9题）

10.农民张大伯因病住院，手术费为a元，其他费用为b元.由于参加农村合作医疗保险，手

术费报销85%，其他费用报销60%，则张大伯此次住院可报销元(用含a,b

的代数式表示）.

11.用代数式表示：

(1）比x的平方的5倍少2的数.

（2）x的相反数与y的倒数的和.

（3）x与y两数的差的平方.

（4）一个三位数，个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，表示这个三位数.

12.在某住房小区建设中，为了提高居住环境质量，该小区因地制宜规划修建一个广场（图

中阴影部分）.

（1）用含m，n的代数式表示该广场的周长C.

（2）用含m，n的代数式表示该广场的面积S.

（3）若m，n满足（m-6）2+|n-8|＝0，求出该广场的周长和面积.

（第12题）

B组

13.将长、宽、高分别为x，y，z的长方形箱子按如图方式打包（粗黑线），则打包带的长至

少为（）.

A.x+2y+3zB.2x+4y+6zC.4x+4y+8zD.6x+8y+6z

14.在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结

果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是(）.

A.4，2，1B.2，1，4C.1，4，2D.2，4，1

15.若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如

a+b+c就是完全对称式.下列四个代数式：①a-b-c；②-a-b-c+2；③ab+bc+ca；④a2b+b2c+c2a.

其中是完全对称式的有(填序号).

16.有三个有理数x，y，z，其中x=11

2

n

（n为正整数）且x与y互为相反数，y与z

互为倒数．

（1）当n为奇数时，求出x，y，z这三个数，并计算xy-yn-（y-2z）2019的值．

（2）当n为偶数时，你能求出x，y，z这三个数吗？为什么？

17.已知当x=1时，代数式3ax3+bx2-2cx+4的值为8，代数式ax3+2bx2-cx-15的值为-14，那

么当x=-1时，代数式5ax3-5bx2-4cx+6的值为多少？

18.某超市在春节期间实行打折促销活动，规定如下：

一次性购物低于200元不打折，低于500元但不低于200元打九折，500元或超过500元的，

其中500元部分打九折，超过500元部分打八折.

（1）王老师一次性购物600元，求他实际付款多少元.

（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500但不小于200时，他实际付款多少元；

当x大于或等于500时，他实际付款多少元（用含x的代数式表示）？

（3）如果王老师两次购物货款合计880元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用

含a的代数式表示两次购物王老师实际一共付款多少元？

走进重高

1.我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，下列赋予4a实际意义的例子中不正

确的是（）.

A.若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4a表示这个两位数

B.若正方形的边长为a，则4a表示正方形的周长

C.若葡萄的价格是4元/千克，则4a表示买a千克葡萄的金额

D.若三角形的底边长为3，面积为6a，则4a表示这边上的高

2.下列说法中，正确的是（）.

A.2a是代数式，1不是代数式B.代数式

a

b3

表示3-b除a

C.当x＝4时，代数式

10

4x

的值为0D.零是最小的整数

3.当x＝3时，代数式ax2-3x-4的值为5，则字母a的值为.

4.【金华】对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y=ax+by.若1*（-1）＝2，则（-2）

*2的值是.

5.光明中学组织学生到距离学校9km的博物馆参观，学生小华因有事未能赶上校车，于是准

备在学校门口直接乘出租车去博物馆，出租车的收费标准如下：

（1）若小华乘出租车的里程数为x（km）（x≥3），则所付车费为多少元（用含x的代数式

表示）？

（2）如果小华身上仅有25元钱，由学校乘出租车到博物馆钱够不够？请说明理由.

6.如图，正方形硬纸板的边长为a，其4个角上剪去的小正方形的边长为b（b＜

2

a

），这样

可制作一个无盖的长方体纸盒.

（1）这个纸盒的容积为（用含a，b的代数式表示）.

（2）当a＝10cm时，无盖长方体盒子的容积因b值的变化而变化，请填写下表：

（3）在（2）的条件下，选一个你喜欢的值，使所得到的无盖长方体容积大于表格中四个容

积值.我的选择：b＝.

（第6题）

高分夺冠

1.已知a，b，c，m都是有理数，且a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，那么b与c的关系是（）.

A.互为相反数B.互为倒数C.相等D.无法确定

2.把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片

覆盖的部分用阴影表示.若按图1、图2摆放，阴影部分的面积分别为S1和S2，则S1和S2的

大小关系是(）.

图1图2

（第2题）

A.S1=S2B.S1＜S2C.S1＞S2D.无法确定

3.如果（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=，a0+a2+a4+a6=．

5.历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x）(f可用其他字母，但不同的字

母表示不同的多项式）的形式来表示，例如f(x）=x2+3x-5，把x等于某数时多项式的值用

f(某数）来表示.例如x=-1时多项式x2+3x-5的值记为f(-1）=(-1）2+3×(-1）-5=-7.已知

g(x）=-2x2-3x+1，h(x）=ax3+2x2-x-12.

(1）求g(-2）的值.

（2）若h











2

1

=-11，求g(a）的值.

第九讲整式

重点分析：

1.单项式：由数与字母或字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是

单项式.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.单项式的次数：一个单项式

中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

2.多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项.

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数就叫做这个多项式的次数，其中不含字母的

项叫做常数项.

3.整式：单项式、多项式统称为整式.

难点分析：

多项式的降(升）幂排列就是根据加法交换律按某一字母的降(升）幂将各项交换位置，这种

排列只是使式子变形而不改变多项式的值.重新排列时要注意三点：一是变更项的位置时，

一定要连同符号一起移动；二是确定按照哪个字母的指数排列，一旦选定，中途不能更改；

三是确定按字母的降幂排列还是升幂排列.

把下列代数式的代号填在相应的横线上：

(1）单项式：.(2）多项式：.

(3）整式：.(4）二项式：.

(5）三次多项式：.(6）非整式：.

要根据整式、单项式、多项式的概念和系数或次数的确定方法进行分类.

(1）单项式:(D），(E）.

(2）多项式:(A），(B），(C），(F），(G）.

(3）整式:(A），(B），(C），(D），(E），(F），(G）.

(4）二项式:(A），(C），(F）.

(5）三次多项式:(A），(G）.

(6）非整式:(H），(I）.

本题主要考查了整式、单项式、多项式等有关概念以及多项式次数的确

定.

代数式

a

ba

=

2

a

+

2

b

，所以它是多项式；像

a

xy2

，3x2+

y

2

这种分母中

含有字母的代数式称为分式.

已知多项式2x2+

5

2

x3+x-5x4-

3

1

.

（1）请指出该多项式是几次几项式，并写出它的二次项、一次项和常数项.

（2）按要求把这个多项式重新排列：①按x的降幂排列.②按x的升幂排列.

（1）利用多项式的次数以及各项名称和多项式的项数定义写出即可.（2）

根据多项式的升幂、降幂排列，即可解答.

（1）该多项式是四次五项式，它的二次项是2x2，一次项是x，常数项是

-

3

1

.

（2）①按x的降幂排列为-5x4+

5

2

x3+2x2+x-

3

1

.

②按x的升幂排列为-

3

1

+x+2x2+

5

2

x3-5x4.

本题主要考查了多项式的定义，正确掌握多项式的系数与次数判定方法

及多项式的升幂、降幂排列方法是解题关键.

将一个多项式按其中一个字母降幂或升幂排列是易错点，要注意是按哪

一个字母排列，升幂和降幂不要混淆.

观察下列一串单项式的特点：xy，-2x2y，4x3y，-8x4y，16x5y，….

（1）按此规律写出第9个单项式.

(2）试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？

（1）通过观察可得：x的指数为n，y的指数为1，2的指数为n-1，当n

为偶数时，单项式系数为负数，当n为奇数时，单项式系数为正数.由此可解出本题.（2）根

据单项式的系数是单项式的数字因数，次数是所有字母指数的和解答即可．

（1）∵当n=1时，单项式为xy;

当n=2时，单项式为-2x2y;

当n=3时，单项式为4x3y;

当n=4时，单项式为-8x4y;

当n=5时，单项式为16x5y，

∴第9个单项式是29-1x9y，即256x9y．

（2）∵第n个单项式中，x的指数为n，y的指数为1，2的指数为n-1，当n为奇数时，单

项式的系数为正，当n为偶数时，单项式的系数为负，

∴当n为奇数时的单项式为2n-1xny，当n为偶数时的单项式为-2n-1xny．

∴第n个单项式为（-1）n+12n-1xny．

它的系数是（-1）n+12n-1，次数是n+1．

本题考查的是单项式，根据题意找出这串式子的规律是解答本题的关

键．

题中单项式的系数是按一正一负的规律排列的，所以系数的符号可以用

-1的奇偶次幂来表示．

写出一个三次四项式，满足条件：①含有两个字母；②每个字母的指数都不大于

2；③含有常数项.然后选出你所喜欢的一正一负两个有理数作为字母的值代入求这个多项式

的值.

多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数就是这个

多项式的次数，而满足这个条件的多项式有许多，因此本题答案不唯一.

本题答案不唯一，满足条件的可为：a2b-a2+b-1.

令a=1，b=-1，则a2b-a2+b-1=12×(-1）-12-1-1=-1-1-1-1=-4.

即该多项式的值是-4.

本题考查多项式的性质，属于开放题，答案不唯一，可以根据条件自由

发挥.

要注意写出的这个三次四项式不要含有同类项.

已知代数式：①a2-2ab+b2；②（a-b）2.

（1）当a，b满足（a-5）2+|ab-15|＝0时，分别求代数式①和②的值.

（2）观察（1）中所求的两个代数式的值，探索代数式a2-2ab+b2和（a-b）2有何数量关系，

并把探索的结果写出来.

（3）利用你探索出的规律，求128.52-2×128.5×28.5+28.52的值.

（1）由非负数的性质知a＝5，ab＝15，可得b＝3，再分别代入计算可得

代数式的值.（2）根据（1）中所得两式的结果可得答案.（3）利用所得规律a2-2ab+b2＝（a-b）

2计算可得答案.

（1）∵（a-5）2+|ab-15|＝0，∴a＝5，ab＝15.∴b＝3.

∴①a2-2ab+b2＝52-2×5×3+32＝4；

②（a-b）2＝（5-3）2＝4.

（2）由（1）知a2-2ab+b2＝（a-b）2.

（3）128.52-2×128.5×28.5+28.52＝（128.5-28.5）2＝1002＝10000.

本题主要考查代数式求值，解题的关键是根据非负数的性质求得a，b

的值及代数式求值.

题（3）实际上是利用公式进行简便计算，要注意区分a，b分别代表的

数.

已知代数式ax5+bx3+3x+c，当x=0时，该式的值为-1．

（1）求c的值.

(2）已知当x=1时，该式的值为-1，试求a+b+c的值.

(3）已知当x=3时，该式的值为-10，试求当x=-3时该式的值.

(4）在第（3）题的已知条件下，若有3a=5b成立，试比较a+b与c的大小．

（1）将x=0代入代数式求出c的值即可.(2）将x=1代入代数式即可求出

a+b+c的值.(3）将x=3代入代数式求出35a+33b的值，再将x=-3代入代数式，变形后将35a+33b

的值代入计算即可求出该代数式的值.(4）由35a+33b的值，变形得到27a+3b=-2，将3a=5b

代入求出a的值，进而求出b的值，确定出a+b的值，与c的值比较大歇オ

（1）把x=0代入代数式ax5+bx3+3x+c，得到c=-1．

（2）把x=1代入代数式ax5+bx3+3x+c，得到a+b+3+c=-1，∴a+b+c=-4．

（3）把x=3代入代数式ax5+bx3+3x+c，得到35a+33b+9+c=-10，

即35a+33b=-10+1-9=-18.

当x=-3时，原式=-35a-33b-9-1=-（35a+33b）-10=18-10=8．

（4）由（3）得35a+33b=-18，即27a+3b=-2.

又∵3a=5b，即b=

5

3

a,∴27a+3×

5

3

a=-2．∴a=-

72

5

.∴b=

5

3

a=-

24

1

．

∴a+b=-

72

5

-

24

1

=-

9

1

＞-1．∴a+b＞c．

本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是

解题的关键．

注意多项式各项的系数都包含前面的符号，求值计算时要关注符号，不

要遗漏或错用符号．

观察下列等式：

第1个等式：a

1

=

31

1



=

2

1

×













3

1

1；

第2个等式：a

2

=

53

1



=

2

1

×













5

1

3

1

；

第3个等式：a

3

=

75

1



=

2

1

×













7

1

5

1

；

第4个等式：a

4

=

97

1



=

2

1

×













9

1

7

1

；

…

请解答下列问题：

(1）按以上规律列出第5个等式：a

5

==.

(2）用含有n的代数式表示第n个等式：a

n

==(n为正整数）.

(3）求a1+a2+a3+a4+…+a

100

的值.

(1）(2）通过观察可知，第一个等号后面的式子的规律是：分子不变，为1；分母是两个连

续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1.(3）运用变

化规律计算即可.

本题考查寻找式子的变化规律并运用规律进行计算.

正确找出式子的变化规律是关键，注意两点：找出各等式中变化的和不

变的部分；找出变化的部分与等式序号之间的对应关系.

拓展训练

A组

1.关于单项式ab2c的系数和次数，下列说法中正确的是(）.

A.系数为0，次数为2B.系数为0，次数为4

C.系数为1，次数为2D.系数为1，次数为4

2.在-3,π-2,

2

2

x

,-

2

1

xn

,-

2

1a

这五个代数式中，单项式的个数为(）.

A.2B.3C.4D.5

3.下列说法中，正确的是（）.

A.-

5

2xy

的系数是-2B.x2+x-1的常数项是1

C.22ab3的次数是6次D.2x-5x2+7是二次三项式

4.(1）单项式-

2

22yx

的系数是，次数是；多项式3xy3-xy+4x+6是

次项式，其中二次项系数是.

(2）单项式-2ab2的系数是，次数是；x+

x

1

+3(填“是”或“不是”）

多项式.

(3）单项式-22x3y2的系数为，次数为；-

5

22xa

的系数为，次数

为；mn的系数为，次数为.

5.写出一个关于字母a，b的单项式，且该单项式的次数为5，系数的绝对值小于4，该单项

式可以为．

6.5x3-4x2y+2y3-3xy2+5y4按y的升幂排列应是.

7.把下列代数式分别填入下表适当的位置：

3a，

a

3

，

2

ba

，

a

，5，-xy，a2-2ab+1.

8.已知（3m-4）x3-（2n-3）x2+（2m+5n）x-6是关于x的多项式.

（1）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式.

（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式.

9.设f(x）=ax7+bx3+cx-5，其中a，b，c为常数，已知f(-7）=7，求f(7）的值.

10.如图，一个长方形运动场被分隔成A，B，A，B，C共5个区，A区是边长为a（m）的

正方形，C区是边长为b（m）的正方形.

（第10题）

（1）列式表示每个B区长方形场地的周长，并将式子化简.

（2）列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简.

（3）如果a＝20，b＝10，求整个长方形运动场的面积.

(第11题）

11.如图，将连续奇数1，3，5，7，…排成数表，观察十字框内5个数，探索这五个数之间

的规律，解答下面的问题：

(1）设十字框中间的数为a，则用含a的式子表示十字框内5个数的和为.

(2）十字框内5个数的和能等于2020吗？若能，请求出框内5个数；若不能，请说明理由.

(3）十字框内5个数的和能等于2025吗？若能，请求出框内5个数；若不能，请说明理由.

B组

12.若关于x，y的多项式2x2+mx+5y-2nx2-y+5x+7的值与x的取值无关，则m+n等于（）.

A.-4B.-5C.-6D.6

13.同时含有字母a，b，c且系数为1的五次单项式有(）.

A.1个B.3个C.6个D.9个

14.有一个多项式为a8-a7b+a6b2-a5b3+…，如果按照规律写下去，那么这个多项式的第八项

是.

15.观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…，按此规律写下去，则第n个式子

是．

16.请你做评委：在一堂数学活动课上，在同一合作学习小组的小明、小亮、小丁、小彭对

刚学过的知识发表了自己的一些感受：

小明说：“绝对值不大于4的整数有7个.”

小亮说：“当m=3时，代数式3x-y-mx+2中不含x的项.”

小丁说：“若｜a｜=3，｜b｜=2，则a+b的值为5或1.”

小彭说：“多项式-2x+x2y+y3是三次三项式.”

你觉得他们的说法正确吗？若不正确，请帮他们修正，写出正确的说法.

17.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图，试化简｜b｜+b+2-｜c｜+｜a-1｜+｜c-a｜.

(第17题）

18.下表中的字母都是按一定规律排列的.

我们把某格中的字母的和所得多项式称为“特征多项式”，例如第1格的“特征多项式”为

6x+2y，第2格的“特征多项式”为9x+4y，根据规律回答下列问题：

（1）第3格的“特征多项式”为，第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”

为（n为正整数）.

（2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差．

走进重高

1.多项式3x2+xy-

5

1

xy2的次数是（）.

A.2B.1C.3D.4

2.下列结论中，正确的是（）.

A.单项式32ab2c的次数是4

B.单项式-

5

22nm

的系数是-

5

2

C.多项式x2-y的次数是3

D.多项式5x3-2x2+1中，第二项是2x2

3.当m＝1时，代数式am3+bm+6的值是2019，那么当m＝-1时，代数式am3+bm+6的值是.

4.观察下面的一列单项式：-2x，4x3，-8x5，16x7，…，根据你发现的规律，第n个单项式

为.

5.如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x的值为．

…

（第5题）

6.如图，某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆内部用了三根

等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相同的四个小正方形，木条宽厚不计，已知下部

的小正方形的边长为a（m）.

（1）用含a的代数式分别表示窗户的面积和木条用料（实线部分）的总长.

（2）若a＝1，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米25元，木条每米20元，求制作这扇窗

户需要多少元？（π取3，结果精确到个位）

（第6题）

高分夺冠

1.有一列数a1，a2，a3，a4，a5，…，an，其中a1=5×2+1，a2=5×3+2，a3=5×4+3，a4=5×5+4，

a5=5×6+5，…，当an=2021时，n的值等于(）.

A.2020B.2021C.402D.336

2.已知(a-1）x2ya+1是关于x，y的五次单项式，试求整式的值：

①a2+2a+1;②(a+1）2.

由①②的计算结果你发现了什么结论？任意

3.已知多项式mx4+（m-2）x3+（2n+1）x2-3x+n不含x2和x3的项，请写出这个多项式，再求

当x=-1时该多项式的值．

4.已知整式P=x2+x-1，Q=x2-x+1，R=-x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为

aP+bQ+cR（其中a，b，c为常数），则可以进行如下分类：

①若a≠0，b=c=0，则称该整式为“P类整式”；

②若a≠0，b≠0，c=0，则称该整式为“PQ类整式”；

③若a≠0，b≠0，c≠0，则称该整式为“PQR类整式”．

（1）模仿上面的分类方式，请给出“R类整式”和“QR类整式”的定义：

若，则称该整式为“R类整式”；

若，则称该整式为“QR类整式”.

（2）例如x2-5x+5为“PQ类整式”：

∵-2P+3Q=-2（x2+x-1）+3（x2-x+1）=-2x2-2x+2+3x2-3x+3

=x2-5x+5,

即x2-5x+5=-2P+3Q，

∴x2-5x+5是“PQ类整式”．

根据上面的例子，解答下面问题：

x2+x+1是哪一类整式？请通过列式计算说明.

（3）试说明4x2+11x+2020是“PQR类整式”，并求出相应的a，b，c的值．

第十讲整式的加减

重点分析：

1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项.这两个条件缺一不可，但同类

项与字母的顺序无关，与系数无关.

2.合并同类项：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母及字母的指数不变.

3.去括号法则：括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里各项不变号；括号前面是

“-”号，去掉“-”号和括号，括号里各项的符号都要变为相反的符号.

难点分析：

1.去括号的实质是乘法分配律.

2.代数式的值与某个字母无关是指含该字母的项的系数为0.

下列各组中的两项哪些是同类项？

(1）-2m2n与-

3

2

m2n.(2）x2y3与-

2

1

x3y2.(3）5a2b与5a2bc.

(4）23a2与32a2.(5）3p2q与-qp2.(6）53与-33.

判断同类项要抓住“两同”：即字母相同，相同字母的指数相同.

(1）(4）(5）(6）是同类项.(2）(3）不是同类项.

判断是否是同类项时先判断字母是否相同，再判断相同字母的指数是否

相同.

同类项与项的系数和字母的排列顺序无关，常数项都是同类项.

先去括号，后合并同类项：

(1）x+［-x-2(x-2y）］.(2）

2

1

a-a+

3

2

b2+3-

2

1

a+

3

1

b2.

(3）2a-(5a-3b）+3(2a-b）.(4）-3{-3［-3(2x+x2）-3(x-x2）-3］}.

去括号时注意去括号后符号的变化，然后找出同类项，根据合并同类项的

法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变.

(1）原式=x-x-2x+4y=-2x+4y.

(2）原式=

2

1

-a-

3

2

b2-

2

3

a+b2=-2a+

3

1

b2.

(3）原式=2a-5a+3b+6a-3b=3a.

(4）原式=-3［9(2x+x2）+9(x-x2）+9］=-27［(2x+x2）+(x-x2）+1］=-27(3x+1）=-81x-27.

解本题的关键是注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘.有多个括号

时一般按照先去小括号、再去中括号、最后去大括号的顺序.

具体解题时要注意观察算式的特点，选择合理的去括号顺序，可使计算

简便.

已知a，b为常数，且4xy2,axyb,-5xy三个单项式相加得到的和仍然是单项式.那

么a和b的值可能是多少？说明你的理由.

因为4xy2,axyb,-5xy相加得到的和仍然是单项式，它们y的指数不尽相同，

所以这几个单项式中有两个为同类项.故可分情况讨论从而求出a和b可能的值.

若axyb与-5xy为同类项，则b=1.这两个式子相加后再加4xy2仍是单项式，

说明这两个式子相加得0，所以a=5；

若4xy2与axyb为同类项，则b=2.这两个式子相加后再加-5xy仍是单项式，说明这两个

式子相加得0，所以a=-4.

综上可知a，b的值可能为a=5,b=1或a=-4,b=2.

本题考查的知识点是同类项及整式的加减.本题中三个单项式相加得到

的和仍然是单项式，而y的指数不尽相同，所以这几个单项式中有两个为同类项，并且相加

得0.

在整式的加减中，只有同类项才可以合并，当两个单项式相加的和仍是

单项式时，说明这两个单项式是同类项.

化简或化简求值：

(1）3(x2-2xy）-［3x2-2y-2(3xy+y）］.

(2）已知A=3a2+b2-5ab，B=2ab-3b2+4a2，先求-B+2A，并求当a=-

2

1

，b=2时，-B+2A的值.

(3）有这样一道计算题：“计算(2x3-3x2y-2xy2）-(x3-2xy2+y3）+(-x3+3x2y-y3）的值，其中

x=

2

1

,y=-1”，甲同学把x=

2

1

错看成x=-

2

1

，但计算结果仍正确，你能说明是什么原因吗？

(1）先去括号，然后合并同类项得出最简整式.(2）先将-B+2A所表示的整

式化为最简，然后代入a和b的值即可得出答案.(3）将整式化简可得出最简整式不含x的

项，由此可得为什么计算结果仍正确.

(1）原式=3x2-6xy-(3x2-2y-6xy-2y)

=3x2-6xy-3x2+2y+6xy+2y=4y.

(2）-B+2A=-(2ab-3b2+4a2）+2(3a2+b2-5ab）

=-2ab+3b2-4a2+6a2+2b2-10ab=2a2-12ab+5b2，

当a=-

2

1

，b=2时，原式=2×

2

2

1













-12×













2

1

×2+5×22=32.5.

(3）原式=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3=-2y3.

因为化简结果中不含x的项，所以原式的值与x的取值无关.

本题考查整式的化简求值.化简求值对运算的理解以及对运算技能的掌

握两个方面，是中考的常见考点.

第(3）题中，甲同学把x=

2

1

错看成x=-

2

1

，但计算结果仍正确，可能是

代数式的值与x的取值无关，也可能是化简后含有x的项是x的偶数次方.

某中学七年级一班在一次活动中要分为四个组，其中第一组有x人，第二组比第

一组的32少5人，第三组比一、二组的和少15人，第四组与第一组2倍的和是34.

（1）用含x的代数式表示第二、三、四组的人数，把答案填在下表中相应的位置.

(2）求七年级一班的总人数（用含x的代数式表示），并求当x＝10时，该班的总人数.

（3）x能否等于13，为什么？x能否等于6，为什么？

（1）根据题意可用含x的代数式表示第二、三、四组的人数.（2）先求七

年级一班的总人数（用含x的代数式表示），再把x＝10代入可求该班的总人数.（3）分别

把x＝13，x＝6代入计算，根据人数应为正整数可判断.

（1）填表如下：

（2）x+

2

3

x-5+

2

5

x-20+34-2x＝(3x+9)（人），

当x＝10时，3x+9＝30+9＝39（人）.

∴七年级一班的总人数为(3x+9)人，当x=10时，该班的总人数为39人.

（3）当x＝13时，

2

3

x-5＝19.5-5＝14.5.

∵14.5不是整数，∴x不能等于13.

当x＝6时，

2

5

x-20＝15-20＝-5.

∵-5是负数，∴x不能等于6.

本题考查了整式的加减、列代数式以及代数式求值，熟练掌握运算法则

是解本题的关键.

本题涉及的代数式比较多，各代数式都要按已知条件正确表示出来.

将7张如图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，

未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1，S2.已知小长方形纸片的长为a，

宽为b，且a＞b．

（1）当a=9，b=2，AD=30时，求：①长方形ABCD的面积.②S1-S2的值.

(2）当AD=30时，请用含a，b的代数式表示S1-S2的值.

(3）若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD

内，而S1-S2的值总保持不变，则a，b满足的数量关系是．

图1图2

（1）①根据长方形的面积公式，直接计算即可.②求出S1和S2，相减即可.(2）

用含a，b的代数式分别表示出S1和S2，即可得出结论.(3）用含a，b，AD的代数式表示出

S1-S2，根据S1-S2的值总保持不变，即与AD的长度无关，整理后，使AD的系数为0即可．

（1）①长方形ABCD的面积为30×（4×2+9）=510.

②S1-S2=（30-9）×4×2-（30-3×2）×9=-48.

（2）S1-S2=4b（30-a）-a（30-3b）=120b-4ab-30a+3ab=120b-30a-ab.

（3）S1-S2=4b（AD-a）-a（AD-3b），

整理得S1-S2=（4b-a）AD-ab．

∵AD变长，而S1-S2的值总保持不变，

∴4b-a=0.∴a=4b．

本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

第（3）题是关于代数式的值与某个变量无关的问题，可将问题转化为该

变量的系数为零，此时要注意系数中也含有字母，特别要分清系数与变量．

小明和小麦做猜数游戏.小明要小麦任意写一个四位数，小麦就写了2020，小明要

小麦用这个四位数减去各个数位上的数字之和，小麦得到了2020-(2+2）=2016.小明又让小

麦圈掉一个数字，将剩下的数字说出来，小麦圈掉了6，告诉小明剩下的三个数字是2，0，

1.小明一下就猜出了圈掉的是6.小麦感到很奇怪.于是又做了一遍游戏，最后剩下的三个数

字是6，3，7，这次小麦圈掉的数字是几？

首先设小麦写的四位数为1000a+100b+10c+d，小麦圈掉的数字是x，根据

题意可得用这个四位数减去各个数位上的数字之和得到的数为9(111a+11b+c），又因为9的

倍数的数的特征是各个数位的数字之和得到的数是9的倍数，于是可求得答案.

设小麦写的四位数为1000a+100b+10c+d，小麦圈掉的数字是x.

∵1000a+100b+10c+d-(a+b+c+d）=999a+99b+9c=9(111a+11b+c），

∴得到的数是9的倍数.

∵9的倍数的数的特征是各个数位的数字之和是9的倍数，

∴(6+3+7+x)是9的倍数.

∵x是一位数，

∴x=2.

∴这次小麦圈掉的数字是2.

本题考查了数的十进制问题，难度较大，注意由题意得到用这个四位数减

去各个数位上的数字之和得到的差是9的倍数，知道9的倍数的数的特征是解本题的关键.

一个任意的四位数abcd可以用代数式表示为1000a+100b+10c+d.

拓展训练

A组

1.下列各式中，去括号正确的是(）.

A.x2-（x-y+2z）=x2-x+y+2zB.x-（-2x+3y-1）=x+2x+3y+1

C.3x+2（x-2y+1）=3x-2x-2y-2D.-（x-2）-2（x2+2）=-x+2-2x2-4

2.已知m-n=100，x+y=-1，则代数式（n+x）-（m-y）的值是(）.

A.99B.101C.-99D.-101

3.若代数式2x3-8x2+x-1与代数式3x3+2mx2-5x+3的和不含x2的项，则m等于(）.

A.2B.-2C.4D.-4

4.去括号：

(1）(a+b）+(c+d）=.(2）(a-b）-(c-d）=.

（3）-(a+b）+(c-d）=.(4）-(a-b）-(c-d）=.

（5）(a+b）-3(c-d）=.(6）(a+b）+5(c-d）=.

（7）(a-b-1）-3(c-d）=.(8）-(x-y-2）=.

5.若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a+b+3cd＝.

6.已知A＝2x2+3xy-2x-1，B＝-x2+xy-1，且3A+6B的值与x无关，则y的值为.

7.化简：

（1）x2-7x-2-2x2+4x-1.（2）（8xy-3y2）-2（3xy-2x2）.

（3）-7a2+

2

1

（6a2-4ab）-（3b2+ab-a2）.

8.求代数式的值：

(1）当a=2，b=-1，c=-3时，求代数式b2-4ac的值.

（2）“x，y两数的平方和加上它们积的2倍”用代数式表示为，当x=2，

y=-3时，求这个代数式的值.

(3）已知a2-2a-2=0，求3a2-6a-8的值.

9.先化简，再求值：

(1）5(3a2b-ab2）-3(ab2+5a2b），其中a=-

3

1

,b=-

2

1

.

(2）-2(mn-3m2）-［m2-5(mn-m2）+2mn］，其中m=1，n=-2.

10.已知A＝3x2+3y2-2xy，B＝xy-2y2-2x2.

（1）求2A-3B的值.

（2）若|2x-3|＝1，y2＝9，且|x-y|＝y-x，求2A-3B的值.

11.已知三角形的第一条边的长是a+2b，第二条边的长比第一条边的2倍少3，第三条边比

第二条边短5.

（1）用含a，b的代数式表示这个三角形的周长.

（2）当a＝2，b＝3时，求这个三角形的周长.

（3）当a＝4，三角形的周长为39时，求这个三角形的各边长.

12.一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）

记录如下表（x＞9且x＜26，单位：km）:

（1）说出这辆出租车每次行驶的方向.

（2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置.

（3）这辆出租车一共行驶了多少千米？

B组

13.设x表示一个一位数，y表示一个两位数，现将x放在y的左边组成一个三位数，这个

三位数可以表示为(）.

A.100x+yB.10x+yC.x+

14.已知多项式3x2-2（y-x2-1）+mx2的值与x无关，则m的值为（）.

A.5B.1C.-1D.-5

15.把四张形状和大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形

（长为m，宽为n）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图

2中两块阴影部分的周长和是(）.

A.4mB.4nC.2（m+n）D.4（m-n）

16.若P是关于x的三次三项式，Q是关于x的五次五项式，则P+Q是关于x的次

多项式，P-Q是关于x的次多项式.

17.已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，则|a-1|+|a-c|+|a-b|可化简为.

（第17题）

18.阅读下列解答过程，然后解答问题.

例：已知-2xm+5ny5与4x2ym-3n是同类项，求m+n的值.

根据同类项的意义，可知x的指数相同，即m+5n=2;y的指数也相同，即m-3n=5.

所以(m+5n）+(m-3n）=2+5，即2m+2n=2(m+n）=7.

所以m+n=

2

7

.

问题：已知xm-3ny7与-

2

1

x3y3m+11n是同类项，求m+2n的值.

19.已知A＝2a2+3ab-2a-1，B＝-a2+

2

1

ab+

3

2

.

（1）当a＝-1，b＝-2时，求4A-（3A-2B）的值.

（2）若（1）中式子的值与a的取值无关，求b的值.

20.【阅读理解】小海喜欢研究数学问题，在计算整式加减（-4x2-7+5x）+（2x+3x2）的时候，

想到了小学的列竖式加减法，令A＝-4x2-7+5x，B＝2x+3x2，然后将两个整式关于x进行降

幂排列，A＝-4x2+5x-7，B＝3x2+2x，最后只要写出其各项系数，对齐同类项进行竖式计算即

可，如图，

（第20题）

所以（-4x2-7+5x）+（2x+3x2）＝-x2+7x-7.

【模仿解题】若A＝-4x2y2+2x3y-5xy3+2x4，B＝3x3y+2x2y2-y4-4xy3，请你按照小海的方法，先

对整式A，B关于某个字母进行降幂排列，再写出其各项系数进行竖式计算求A-B，并写出

A-B的值.

走进重高

（第1题）

1.【河北】用一根长为a（cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图的方式向

外等距扩1cm得到新的正方形，则这根铁丝需增加（）.

A.4cm

B.8cm

C.（a+4）cm

D.（a+8）cm

2.【永州】甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜.A，B两处所

购买的西瓜重量之比为3∶2，然后将买回的西瓜以从A，B两处购买单价的平均数为单价全

部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（）.

A.商贩A的单价大于商贩B的单价B.商贩A的单价等于商贩B的单价

C.商贩A的单价小于商贩B的单价D.赔钱与商贩A、商贩B的单价无关

3.【河北】若mn＝m+3，则2mn+3m-5mn+10＝.

4.若a+b＝2019，c+d＝-5，则代数式（a-2c）-（2d-b）＝.

5.【贵阳】如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边

长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的长方形.

（1）用含m或n的代数式表示拼成的长方形的周长.

（2）当m＝7，n＝4时，求拼成的长方形的面积.

（第5题）

6.【河北】嘉淇准备完成题目：(x2+6x+8)-(6x+5x2+2)，却发现系数“”印刷不清楚.

（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）-（6x+5x2+2）.

（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中

“”是几.

高分夺冠

1.正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为自恋数.例如153，13＋53＋33＝153，因

此，153被称为自恋数.下列各数：

①370;②407;③371;④546.其中是自恋数的是

(）.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

2.两个形状、大小相同的大长方形内放入四个如图1所示的小长方形后得图2、图3，已知

大长方形的长为a，则图2中阴影部分的周长与图3中阴影部分的周长的差是（用含a的代

数式表示）.

图1图2图3

（第2题）

3.兰芬家住房的平面图如图所示.现在兰芬准备在客厅和两间卧室铺上木地板，那么共需木

地板m2.

(第3题）

4.已知(x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，求下列各式的值：

(1）a+b+c+d+e+f.

（2）a+c+e.

5.任何一个整数N都可以用一个多项式来表示：

N=anan-1…a1a0=an×10n+an-1×10…a1a0=an×10n+an-1×10=an×10n+an-1×

10×10n-1+…+a1×10+a0．

例如：325=3×102+2×10+5.已知abc是一个三位数．

（1）小明猜想：“abc与cba的差一定是9的倍数.”请你帮助小明说明理由.

（2）在一次游戏中，小明算出acb,bac,cab，bca与cba这5个数的和是3470，请你求出

abc这个三位数．

第十一讲一元一次方程的解法

重点分析：

1.方程：含有未知数的等式.

2.一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程.

3.一元一次方程的一般形式：ax+b=0(其中a,b为常数且a≠0）.

4.一元一次方程的最简形式为：ax=b.

5.解一元一次方程的一般步骤：去分母(方程两边都乘各分母的最小公倍数）；去括号(利用

去括号法则和与一次式相乘法则）；移项(移项要改变符号）；合并同类项(合并同类项法则）；

把未知数的系数化为1(方程两边都乘未知数系数的倒数或者两边都除以未知数的系数）.

难点分析：

1.解一元一次方程，去分母时用公分母去乘两边的每一项，注意不要漏乘.

2.解含有字母的一元一次方程，得到最简方程后，应根据未知数的系数情况进行分类讨论.

下列方程：①3x-y=2;②x+

x

1

+2=0;③

2

1

x=

2

1

;④x=0;⑤x2-2x-3=0；

⑥

3

12x

=