球的表面积公式(球的表面积公式推导)

人教版高中数学教材2019版A版必修二中关于球体的表面积和体积公式在教材第117页和118页中给出如下：

教材的编写者可能想在给出球体的表面积公式的基础上向学生们简单渗透一下求体积的思想过程(可以看做积分思想的启蒙)，但是笔者觉得这个多少有些简略，可以对比一下人教版1997版关于这部分内容的处理：

可以看到，有的图都是一样的，但1997版处理上逻辑要清晰很多，并且给出了具体的运算过程，笔者觉得这样在传递积分思想上要有效的多。

其实在前微积分时代，很多求面积和体积的公式都是来源于“穷竭法”(Method of Exhaustion)。前面的计算过程可以看作是穷竭法的使用。该方法起源于古希腊时期，以阿基米德使用最为出名。穷竭法可以看作是积分思想的萌芽，下图就是用该方法的思想来求圆的面积：

穷竭法的关键是依赖于“双重归谬”(Reductio ad Absurdum)，下面这个就完整地展示了使用穷竭法计算抛物线面积的过程：

当然，穷竭法过于依赖几何直观基础，而且双重归谬过于繁琐，所以在17世纪的时候，被以它为思想基础的积分所代替。尽管如此，笔者觉得对于中学生来说，了解一些穷竭法，对大学学习微积分还是有很大积极作用的！