正弦定理的证明(正弦定理的证明过程)

数学正弦定理证明如何证明

　　正弦定理证明方法方法1

　　用三角形外接圆

　　证明： 任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

　　作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

　　类似可证其余两个等式。

　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　正弦定理证明方法方法2

　　用直角三角形

　　证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

　　CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB

　　同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。

　　正弦定理证明方法方法3

　　用三角形面积公式

　　证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE

　　即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC

　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

　　SINc^2=1-COSc^2

　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

　　=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

　　得证

　　正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

　　证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便

　　例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：

　　2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径)

　　角A=角D

　　得到：2RsinA=BC

　　同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

　　这样就得到正弦定理了

正弦定理证明推导方法

　　正弦定理应用的学科是数学，使用的领域范围是几何。下面是我给大家整理的正弦定理证明推导方法，供大家参阅!
　　正弦定理证明推导方法
　　显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。

　　现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。若

　　1 ∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2R。

　　正弦定理∵

　　(特殊角正弦函数值)

　　正弦定理∴

　　2 若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交 ⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2R。

　　∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。∴∠C'AB是直角。

　　2A 若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时

　　∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。

　　∴∠C'=∠C

　　正弦定理∴

　　，有

　　。

　　示意图2B

　　若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，此时∠C'=180°-∠C，亦可推出

　　。

　　在△DAB中，应用正弦函数定义，知

　　因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。

　　考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果，分别列式可得

　　。故对任意三角形，定理得证。

　　实际上该定理也可以用向量方法证明。
　　正弦定理定义
　　正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R为外接圆半径)。正弦定理是解三角形的重要工具。正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。
　　正弦定理意义
　　正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

　　一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。
　　正弦定理实际应用
　　1、在解三角形中，有以下的应用领域：

　　已知三角形的两角与一边，解三角形。

　　已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

　　运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。

　　注意：

　　锐角三角形解三角形时，已知两角与一边，三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题。

　　一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。若已知A、A的对边a、A与a的夹边C，则：

　　对于钝角三角形，

　　若a≤b，则无解;

　　若a>b，则有一解;

　　对于锐角三角形，

　　若a

　　若a=bsinA，则有一解;

　　若bsinA

　　若a≥b，则有一解。

　　钝角三角形2、三角形面积的计算。

　　

正弦定理的证明过程

证明如下：在三角形的外接圆里证明。

用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径)。

角A=角D。

得到：2RsinA=BC。

同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB。

这样就得到正弦定理了。

正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。

正弦定理的证明方法

一、在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H ，CH=a·sinB ，CH=b·sinA ，∴a·sinB=b·sinA ，得到a/sinA=b/sinB ，同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC

二、证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R: 任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D.连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 。因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 。类似可证其余两个等式。

三、记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0，则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0接着得到正弦定理

定义：正弦定理是三角学中的一个定理。它指出了三角形三边、三个内角以及外接圆半径之间的关系。正弦定理(Sinetheorem)内容：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)

意义：正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。也就是任意三角形的边角关系。

扩展

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

余弦定理性质：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c三角为A,B,C，则满足性质--

a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA

b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB

c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)

cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)

cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)

相关结论:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)

c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)

(4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形

sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

(5)a=bsinA/sinBsinB=bsinA/a

正弦定理的证明方法

　　正弦定理的证明方法一

　　如图1,△ABC中,AD平分乙A交BC于D,由三角形内角平分线有AB BDAC一DC由正弦定理有:由(1)(2)(3,得:韶=韶幼朋=Ac:.△ABc为等腰三角形。证明‘三角证法,:BE平分匕B二器二黯…(l)AB AC AB滋nC舀石乙二蕊丽劝元二舀丽””’‘(2)CF平分二C幼器二默…(2);EF//BC

　　用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

　　SINc^2=1-COSc^2

　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

　　=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

　　得证

　　正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

　　证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便

　　例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：

　　2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径)

　　角A=角D

　　得到：2RsinA=BC

　　同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

　　这样就得到正弦定理了

　　正弦定理的.证明方法二

　　一种是用三角证asinB=bsinA

　　用面积证

　　用几何法，画三角形的外接圆

　　听说能用向量证，咋么证呢?

　　三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j 与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,

　　因为AB+BC+CA=0

　　即j*AB+J*BC+J*CA=0

　　|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0

　　所以asinB=bsinA

　　用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

　　SINc^2=1-COSc^2

　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

　　=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

　　得证用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得证

　　正弦定理证明具体步骤

　　步骤1.

　　在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

　　CH=a·sinB

　　CH=b·sinA

　　∴a·sinB=b·sinA

　　得到 a/sinA=b/sinB

　　同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC

　　步骤2.

　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

　　如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

　　作直径BD交⊙O于D.

　　连接DA.

　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。

　　余弦定理

　　平面向量证法：

　　∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

　　∴c·c=(a+b)·(a+b)

　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

　　(以上粗体字符表示向量)

　　又∵Cos(π-θ)=-CosC

　　∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

　　再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

　　同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

　　平面几何证法：

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根据勾股定理可得：

　　AC^2=AD^2+DC^2

　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

　　b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosB

　　b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

正弦定理证明是什么?

正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出，在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=Dr为外接圆半径，D为直径。

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。则有：a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。

正弦定理发展简史

历史上，正弦定理的几何推导方法丰富多彩。根据其思路特征，主要可以分为两种。第一种方法可以称为 “同径法 ”，最早为13世纪阿拉伯数学家、天文学家纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯所采用。

同径法 是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线（16世纪以前，三角函数被视为线段而非比值），利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比。纳绥尔丁同时延长两个内角的对边，构造半径同时大于两边的圆。

雷格蒙塔努斯将纳绥尔丁的方法进行简化，只延长两边中的较短边，构造半径等于较长边的圆。17~18世纪，中国数学家、天文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地简化了同径法。