33eh

专题

10

解三角形

1

．【

2022

年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算

圆弧长度的

“

会圆术

”

，如图，

𝐴𝐵

⌢

是以

O

为圆心，

OA

为半径的圆弧，

C

是的

AB

中点，

D

在

𝐴𝐵

⌢

上，

𝐶𝐷⊥𝐴𝐵

．

“

会圆术

”

给出

𝐴𝐵

⌢

的弧长的近似值

s

的计算公式：

𝑠=𝐴𝐵+

𝐶𝐷2

𝑂𝐴

．当

𝑂𝐴=2,∠𝐴𝑂𝐵

=60°

时，

𝑠=

（）

A

．

11−3

√

3

2

B

．

11−4

√

3

2

C

．

9−3

√

3

2

D

．

9−4

√

3

2

【答案】

B

【解析】

【分析】

连接

𝑂𝐶

，分别求出

𝐴𝐵,𝑂𝐶,𝐶𝐷

，再根据题中公式即可得出答案

.

【详解】

解：如图，连接

𝑂𝐶

，

因为

𝐶

是

𝐴𝐵

的中点，

所以

𝑂𝐶⊥𝐴𝐵

，

又

𝐶𝐷⊥𝐴𝐵

，所以

𝑂,𝐶,𝐷

三点共线，

即

𝑂𝐷=𝑂𝐴=𝑂𝐵=2

，

又

∠𝐴𝑂𝐵=60°

，

所以

𝐴𝐵=𝑂𝐴=𝑂𝐵=2

，

则

𝑂𝐶=

√

3

，故

𝐶𝐷=2−

√

3

，

所以𝑠=𝐴𝐵+𝐶𝐷2

𝑂𝐴

=2+

(2−

√

3)

2

2

=11−4

√

3

2

.

故选：

B.

2

．【

2021

年甲卷文科】在

ABC

中，已知120B，

19AC

，

2AB

，则

BC

（）

A

．

1B

．

2

C

．

5

D

．

3

【答案】

D

【解析】

【分析】

利用余弦定理得到关于

BC

长度的方程，解方程即可求得边长

.

【详解】

设

,,ABcACbBCa

，

结合余弦定理：2222cosbacacB

可得：21942cos120aac

，

即：22150aa

，解得：3a（

5a

舍去），

故

3BC.

故选：

D.

【点睛】

利用余弦定理及其推论解三角形的类型：

(1)

已知三角形的三条边求三个角；

(2)

已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；

(3)

已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．

3

．【

2021

年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一

题是测海岛的高．如图，点

E

，H，

G

在水平线

AC

上，

DE

和FG是两个垂直于水平面且

等高的测量标杆的高度，称为

“

表高

”

，

EG

称为

“

表距

”

，

GC

和

EH

都称为

“

表目距

”

，

GC

与

EH

的差称为

“

表目距的差

”

则海岛的高AB（）

A

．





表高表距

表目距的差

表高

B

．





表高表距

表目距的差

表高

C

．





表高表距

表目距的差

表距

D

．

表高表距

-

表目距的差

表距

【答案】

A

【解析】

【分析】

利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．

【详解】

如图所示：

由平面相似可知，

,

DEEHFGCG

ABAHABAC



，而

DEFG

，所以

DEEHCGCGEHCGEH

ABAHACACAHCH







，而CHCEEHCGEHEG，

即

CGEHEGEGDE

ABDEDE

CGEHCGEH







＝

+

表高表距

表高

表目距的差

．

故选：

A.

【点睛】

本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．

4

．【

2020

年新课标

3

卷理科】在△

ABC

中，

cosC=

2

3

，

AC=4

，

BC=3

，则

cosB=

（）

A

．

1

9

B

．

1

3

C

．

1

2

D

．

2

3

【答案】

A

【解析】

【分析】

根据已知条件结合余弦定理求得

AB

，再根据

222

cos

2

ABBCAC

B

ABBC







，即可求得答案

.

【详解】

在

ABC

中，

2

cos

3

C

，

4AC

，

3BC

根据余弦定理：2222cosABACBCACBCC

222432

2

43

3

AB

可得29AB

，即3AB

由

22299161

cos

22339

ABBCAC

B

ABBC







故

1

cos

9

B

.

故选：

A.

【点睛】

本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题

.

5

．【

2019

年新课标

1

卷文科】△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，已知

asinA

－

bsinB=4csinC

，

cosA=

－

1

4

，则

b

c

=

A

．

6B

．

5C

．

4D

．

3

【答案】

A

【解析】

【分析】

利用余弦定理推论得出

a

，

b

，

c

关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果

.

【详解】

详解：由已知及正弦定理可得2224abc

，由余弦定理推论可得

22222141313

cos,,,46

4224242

bcacccb

A

bcbcbc



，故选

A

．

【点睛】

本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．

6

．【

2018

年新课标

2

卷理科】在

ABC

中，

5

cos

25

C



,BC=1,AC=5

，则

AB=

A

．

42

B

．

30

C

．

29

D

．

25

【答案】

A

【解析】

【详解】

分析：先根据二倍角余弦公式求

cosC,

再根据余弦定理求

AB.

详解：因为22

53

cos2cos12()1,

255

C

C

所以222

3

2cos125215()3242

5

cababCc

，选

A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵

活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的

.

7

．【

2018

年新课标

3

卷理科】

ABC

的内角ABC，，

的对边分别为

a

，

b

，

c

，若

ABC

的

面积为

222

4

abc

，则

C

A

．

π

2

B

．

π

3

C

．

π

4

D

．

π

6

【答案】

C

【解析】

【详解】

分析：利用面积公式

1

2ABC

SabsinC

和余弦定理2222abcabcosC

进行计算可得．

详解：由题可知

2221

24ABC

abc

SabsinC





所以2222absinCabc

由余弦定理2222abcabcosC

所以

sinCcosC

C0,π

C

4





故选

C.

点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．

8

．【

2022

年全国甲卷】已知

△𝐴𝐵𝐶

中，点

D

在边

BC

上，

∠𝐴𝐷𝐵=120°,𝐴𝐷=2,𝐶𝐷=2𝐵𝐷

．当

𝐴𝐶

𝐴𝐵

取得最小值时，

𝐵𝐷=

________

．

【答案】√

3−1##−1

+

√

3

【解析】

【分析】

设

𝐶𝐷=2𝐵𝐷=2𝑚>0

，利用余弦定理表示出

𝐴𝐶2

𝐴𝐵2

后，结合基本不等式即可得解

.

【详解】

设

𝐶𝐷=2𝐵𝐷=2𝑚>0

，

则在

△𝐴𝐵𝐷

中，𝐴𝐵

2=𝐵𝐷2+𝐴𝐷2−2𝐵𝐷⋅𝐴𝐷cos∠𝐴𝐷𝐵=𝑚2+4+2𝑚，

在

△𝐴𝐶𝐷

中，𝐴𝐶

2=𝐶𝐷2+𝐴𝐷2−2𝐶𝐷⋅𝐴𝐷cos∠𝐴𝐷𝐶=4𝑚2+4−4𝑚，

所以

𝐴𝐶2

𝐴𝐵2

=4𝑚2+4−4𝑚

𝑚2+4+2𝑚

=4(𝑚2+4+2𝑚)−12(1+𝑚)

𝑚2+4+2𝑚

=4−12

(𝑚+1)+

3

𝑚+1

≥4−12

2√(𝑚+1)⋅

3

𝑚+1

=4−2

√

3

，

当且仅当

𝑚+1=

3

𝑚+1

即

𝑚=

√

3−1

时，等号成立，

所以当

𝐴𝐶

𝐴𝐵

取最小值时，

𝑚=

√

3−1

.

故答案为：√

3−1.

9

．【

2021

年乙卷文科】记

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，面积为

3

，60B，

223acac

，则b________

．

【答案】

22

【解析】

【分析】

由三角形面积公式可得

4ac

，再结合余弦定理即可得解

.

【详解】

由题意，

13

sin3

24ABC

SacBac

，

所以224,12acac

，

所以222

1

2cos12248

2

bacacB

，解得

22b

（负值舍去）

.

故答案为：

22

.

10

．【

2020

年新课标

1

卷理科】如图，在三棱锥

P–ABC

的平面展开图中，

AC=1

，

3ABAD

，

AB

⊥

AC

，

AB

⊥

AD

，∠

CAE=30°

，则

cos

∠

FCB=______________.

【答案】

1

4



【解析】

【分析】

在ACE中，利用余弦定理可求得

CE

，可得出

CF

，利用勾股定理计算出BC、

BD

，可得

出BF，然后在

BCF△

中利用余弦定理可求得cosFCB的值

.

【详解】

ABAC，

3AB

，

1AC

，

由勾股定理得222BCABAC，

同理得6BD，

6BFBD

，

在ACE中，

1AC

，

3AEAD

，

30CAE

，

由余弦定理得222

3

2cos30132131

2

CEACAEACAE，

1CFCE，

在

BCF△

中，

2BC

，6BF，

1CF

，

由余弦定理得

2221461

cos

22124

CFBCBF

FCB

CFBC







.

故答案为：

1

4



.

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题

.

11

．【

2019

年新课标

2

卷理科】

ABC

的内角

,,ABC

的对边分别为

,,abc

.

若

π

6,2,

3

bacB

，

则

ABC

的面积为

__________.

【答案】

63

【解析】

【分析】

本题首先应用余弦定理，建立关于

c

的方程，应用

,ac

的关系、三角形面积公式计算求解，

本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能

力的考查．

【详解】

由余弦定理得2222cosbacacB

，

所以222

1

(2)226

2

cccc

，

即212c

解得23,23cc（舍去）

所以

243ac

，

113

sin432363.

222ABC

SacB





【点睛】

本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问

题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．

12

．【

2019

年新课标

2

卷文科】

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c.

已知

bsinA+a

cosB=0

，则

B=___________.

【答案】

3

4



.

【解析】

【分析】

先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得

.

【详解】

由正弦定理，得

sinsinsincos0BAAB

．

(0,),(0,)AB

，

sin0,A

得

sincos0BB

，即

tan1B

，

3

.

4

B





故选

D

．

【点睛】

本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利

用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在

(0,)

范围内，化边

为角，结合三角函数的恒等变化求角．

13

．【

2018

年新课标

1

卷文科】△

ABC

的内角ABC，，

的对边分别为

abc，，

，已知

sinsin4sinsinbCcBaBC

，2228bca

，则△

ABC

的面积为

________

．

【答案】

23

3

.

【解析】

【分析】

首先利用正弦定理将题中的式子化为

sinsinsinsin4sinsinsinBCCBABC

，化简求得

1

sin

2

A

，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到

2cos8bcA

，可以断定A为锐角，从

而求得

3

cos

2

A

，进一步求得

83

3

bc

，利用三角形面积公式求得结果

.

【详解】

因为

sinsin4sinsinbCcBaBC

，

结合正弦定理可得

sinsinsinsin4sinsinsinBCCBABC

，

可得

1

sin

2

A

，因为2228bca

，

结合余弦定理2222abcbccosA

，可得

2cos8bcA

，

所以A为锐角，且

3

cos

2

A

，从而求得

83

3

bc

，

所以

ABC

的面积为

1183123

sin

22323

SbcA

，故答案是

23

3

.

【点睛】

本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题

.

对余弦定理一定要熟记两种形式：（

1

）

2222cosabcbcA

；（

2

）

222

cos

2

bca

A

bc



，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件

.

另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住

30

、

45

、

60

等特殊角的三角

函数值，以便在解题中直接应用

.

14

．【

2022

年全国乙卷】记

△𝐴𝐵𝐶

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

﹐已知

sin𝐶sin

(

𝐴−𝐵

)

=

sin𝐵sin

(

𝐶−𝐴

)

．

(1)

若

𝐴=2𝐵

，求

C

；

(2)

证明：2𝑎2=𝑏2+𝑐2

【答案】

(1)5π

8

；

(2)

证明见解析．

【解析】

【分析】

（

1

）根据题意可得，

sin𝐶=sin

(

𝐶−𝐴

)

，再结合三角形内角和定理即可解出；

（

2

）由题意利用两角差的正弦公式展开得

sin𝐶

(

sin𝐴cos𝐵−cos𝐴sin𝐵

)

=sin𝐵

(

sin𝐶cos𝐴

−cos𝐶sin𝐴

)

，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．

(1)

由

𝐴=2𝐵

，

sin𝐶sin

(

𝐴−𝐵

)

=sin𝐵sin

(

𝐶−𝐴

)

可得，

sin𝐶sin𝐵=sin𝐵sin

(

𝐶−𝐴

)

，而

0<𝐵<π

2

，

所以

sin𝐵∈

(

0,1

)

，即有

sin𝐶=sin

(

𝐶−𝐴

)

>0

，而

0<𝐶<

π

,0<𝐶−𝐴<

π

，显然

𝐶≠𝐶−𝐴

，

所以，

𝐶+𝐶−𝐴=

π

，而

𝐴=2𝐵

，

𝐴+𝐵+𝐶=

π

，所以

𝐶=5π

8

．

(2)

由

sin𝐶sin

(

𝐴−𝐵

)

=sin𝐵sin

(

𝐶−𝐴

)

可得，

sin𝐶

(

sin𝐴cos𝐵−cos𝐴sin𝐵

)

=sin𝐵

(

sin𝐶cos𝐴−cos𝐶sin𝐴

)

，再由正弦定理可得，

𝑎𝑐cos𝐵−𝑏𝑐cos𝐴=𝑏𝑐cos𝐴−𝑎𝑏cos𝐶

，然后根据余弦定理可知，

1

2

(

𝑎2+𝑐2−𝑏2)

−1

2

(

𝑏2+𝑐2−𝑎2)

=1

2

(

𝑏2+𝑐2−𝑎2)

−1

2

(

𝑎2+𝑏2−𝑐2)

，化简得：

2𝑎2=𝑏2+𝑐2

，故原等式成立．

15

．【

2022

年全国乙卷】记

△𝐴𝐵𝐶

的内角

𝐴,𝐵,𝐶

的对边分别为

𝑎,𝑏,𝑐

，已知

sin𝐶sin(𝐴−𝐵)=

sin𝐵sin(𝐶−𝐴)

．

(1)

证明：2𝑎2=𝑏2+𝑐2

；

(2)

若

𝑎=5,cos𝐴=

25

31

，求

△𝐴𝐵𝐶

的周长．

【答案】

(1)

见解析

(2)14

【解析】

【分析】

（

1

）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；

（

2

）根据（

1

）的结论结合余弦定理求出

𝑏𝑐

，从而可求得

𝑏+𝑐

，即可得解

.

(1)

证明：因为

sin𝐶sin

(

𝐴−𝐵

)

=sin𝐵sin

(

𝐶−𝐴

)

，

所以

sin𝐶sin𝐴cos𝐵−sin𝐶sin𝐵cos𝐴=sin𝐵sin𝐶cos𝐴−sin𝐵sin𝐴cos𝐶

，

所以

𝑎𝑐⋅

𝑎2+𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐

−2𝑏𝑐⋅𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

=−𝑎𝑏⋅𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏

，

即

𝑎2+𝑐2−𝑏2

2

−

(

𝑏2+𝑐2−𝑎2)

=−𝑎2+𝑏2−𝑐2

2

，

所以2𝑎

2=𝑏2+𝑐2

；

(2)

解：因为

𝑎=5,cos𝐴=

25

31

，

由（

1

）得𝑏

2+𝑐2=50，

由余弦定理可得𝑎

2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴，

则

50−

50

31

𝑏𝑐=25

，

所以

𝑏𝑐=

31

2

，

故

(

𝑏+𝑐

)2=𝑏2+𝑐2+2𝑏𝑐=50+31=81，

所以

𝑏+𝑐=9

，

所以

△𝐴𝐵𝐶

的周长为

𝑎+𝑏+𝑐=14

.

16

．【

2022

年新高考

1

卷】记

△𝐴𝐵𝐶

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，已知

cos𝐴

1+sin𝐴

=sin2𝐵

1+cos2𝐵

．

(1)

若

𝐶=

2𝜋

3

，求

B

；

(2)

求

𝑎2+𝑏2

𝑐2

的最小值．

【答案】

(1)π

6

；

(2)4

√

2−5

．

【解析】

【分析】

（

1

）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将

cos𝐴

1+sin𝐴

=sin2𝐵

1+cos2𝐵

化成

cos

(

𝐴+𝐵

)

=sin𝐵

，

再结合

0<𝐵<π

2

，即可求出；

（

2

）由（

1

）知，

𝐶=π

2

+𝐵

，

𝐴=π

2

−2𝐵

，再利用正弦定理以及二倍角公式将

𝑎2+𝑏2

𝑐2

化成4cos

2

𝐵+2

cos2𝐵

−5

，然后利用基本不等式即可解出．

(1)

因为

cos𝐴

1+sin𝐴

=sin2𝐵

1+cos2𝐵

=2sin𝐵cos𝐵

2cos2𝐵

=sin𝐵

cos𝐵

，即

sin𝐵=cos𝐴cos𝐵−sin𝐴sin𝐵=cos

(

𝐴+𝐵

)

=−

cos𝐶=1

2

，

而

0<𝐵<π

2

，所以

𝐵=π

6

；

(2)

由（

1

）知，

sin𝐵=−cos𝐶>0

，所以

π

2

<𝐶<

π

,0<𝐵<π

2

，

而

sin𝐵=−cos𝐶=sin

(𝐶

−π

2

)，

所以

𝐶=π

2

+𝐵

，即有

𝐴=π

2

−2𝐵

．

所以

𝑎2+𝑏2

𝑐2

=sin2𝐴+sin2𝐵

sin2𝐶

=cos22𝐵+1−cos2𝐵

cos2𝐵

=

(

2cos2𝐵−1

)2+1−cos2𝐵

cos2𝐵

=4cos2𝐵+2

cos2𝐵

−5≥2

√

8−5=4

√

2−5

．

当且仅当

cos

2𝐵=√

2

2

时取等号，所以

𝑎2+𝑏2

𝑐2

的最小值为

4

√

2−5

．

17

．【

2022

年新高考

2

卷】记

△𝐴𝐵𝐶

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，分别以

a

，

b

，

c

为边长的三个正三角形的面积依次为

𝑆

1

,𝑆

2

,𝑆

3

，已知

𝑆

1

−𝑆

2

+𝑆

3

=√

3

2

,sin𝐵=1

3

．

(1)

求

△𝐴𝐵𝐶

的面积；

(2)

若

sin𝐴sin𝐶=

√

2

3

，求

b

．

【答案】

(1)

√

2

8

(2)

1

2

【解析】

【分析】

（

1

）先表示出

𝑆

1

,𝑆

2

,𝑆

3

，再由

𝑆

1

−𝑆

2

+𝑆

3

=√

3

2

求得𝑎

2+𝑐2−𝑏2=2，结合余弦定理及平方

关系求得

𝑎𝑐

，再由面积公式求解即可；

（

2

）由正弦定理得

𝑏2

sin2𝐵

=𝑎𝑐

sin𝐴sin𝐶

，即可求解

.

(1)

由题意得

𝑆

1

=1

2

⋅𝑎2⋅√

3

2

=√

3

4

𝑎2,𝑆

2

=√

3

4

𝑏2,𝑆

3

=√

3

4

𝑐2，则

𝑆

1

−𝑆

2

+𝑆

3

=√

3

4

𝑎2−√

3

4

𝑏2+

√

3

4

𝑐2=√

3

2

，

即𝑎

2+𝑐2−𝑏2=2，由余弦定理得

cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐

，整理得

𝑎𝑐cos𝐵=1

，则

cos𝐵>0

，又

sin𝐵

=1

3

，

则cos𝐵=

√

1−

(1

3

)

2

=2

√

2

3

，

𝑎𝑐=

1

cos𝐵

=3

√

2

4

，则

𝑆

△𝐴𝐵𝐶

=1

2

𝑎𝑐sin𝐵=√

2

8

；

(2)

由正弦定理得：

𝑏

sin𝐵

=𝑎

sin𝐴

=𝑐

sin𝐶

，则

𝑏2

sin2𝐵

=𝑎

sin𝐴

⋅𝑐

sin𝐶

=𝑎𝑐

sin𝐴sin𝐶

=

3

√

2

4

√

2

3

=9

4

，则

𝑏

sin𝐵

=3

2

，

𝑏=

3

2

sin𝐵=1

2

.

18

．【

2021

年新高考

1

卷】记

ABC

是内角A，B，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

.

已知2bac

，

点

D

在边AC上，

sinsinBDABCaC.

（

1

）证明：BDb；

（

2

）若

2ADDC

，求

cosABC.

【答案】（

1

）证明见解析；（

2

）

7

cos

12

ABC

.

【解析】

【分析】

（

1

）根据正弦定理的边角关系有

ac

BD

b



，结合已知即可证结论

.

（

2

）方法一：两次应用余弦定理，求得边

a

与

c

的关系，然后利用余弦定理即可求得

cosABC

的值

.

【详解】

（

1

）设

ABC

的外接圆半径为

R

，由正弦定理，

得

sinsin,

22

bc

R

ABCC

R



，

因为

sinsinBDABCaC

，所以

22

bc

BDa

RR



，即BDbac．

又因为2bac

，所以BDb．

（

2

）

[

方法一

]

【最优解】：两次应用余弦定理

因为

2ADDC

，如图，在

ABC

中，

222

cos

2

abc

C

ab





，①

在

BCD△

中，

222()

3

cos

2

3

b

ab

b

a

C







．②

由①②得2222223()

3

b

abcab









，整理得222

11

20

3

abc

．

又因为2bac

，所以2261130aacc

，解得

3

c

a

或

3

2

c

a

，

当

2

2,

33

cc

abac

时，

2

22()

7

33

cos=

6

2

2

cc

c

ABC

c

c











（舍去）．

当

2

2

33

,

22

cc

abac

时，

2

22

33

()

7

22

cos

3

12

2

2

cc

ABC

c

c

c













．

所以

7

cos

12

ABC

．

[

方法二

]

：等面积法和三角形相似

如图，已知

2ADDC

，则

2

3ABDABC

SS

△△

，

即2

1221

sinsin

2332

bacADABBC

，

而2bac

，即sinsinADBABC，

故有

ADBABC

，从而

ABDC

．

由2bac

，即

bc

ab



，即

CABA

CBBD



，即ACBABD∽，

故

ADAB

ABAC



，即

2

3

b

c

cb



，

又2bac

，所以

2

3

ca

，

则

2227

cos

212

cab

ABC

ac





．

[

方法三

]

：正弦定理、余弦定理相结合

由（

1

）知BDbAC，再由

2ADDC

得

21

,

33

ADbCDb

．

在ADB△中，由正弦定理得

sinsin

ADBD

ABDA





．

又

ABDC

，所以

s

3

sinn

2

iC

b

A

b



，化简得

2

sinsin

3

CA

．

在

ABC

中，由正弦定理知

2

3

ca

，又由2bac

，所以22

2

3

ba

．

在

ABC

中，由余弦定理，得

222

222

2

42

7

93

cos

2

212

2

3

aaa

acb

ABC

ac

a













．

故

7

cos

12

ABC

．

[

方法四

]

：构造辅助线利用相似的性质

如图，作

DEAB∥

，交BC于点

E

，则

DECABC△∽△

．

由

2ADDC

，得

2

,,

333

caa

DEECBE

．

在

BED

中，

222

2

()()

33

cos

2

3

2

3

BED

ac

b

ac













．

在

ABC

中

222

cos

2

a

a

BC

c

A

b

c





．

因为coscosABCBED，

所以

222

222

2

()()

33

2

2

2

33

ac

b

acb

ac

ac









，

整理得22261130abc

．

又因为2bac

，所以2261130aacc

，

即

3

c

a

或

3

2

ac

．

下同解法

1

．

[

方法五

]

：平面向量基本定理

因为

2ADDC

，所以

2ADDC

．

以向量,BABC为基底，有

21

33

BDBCBA

．

所以

222441

999

BDBCBABCBA

，

即222

441

cos

999

baccABCa

，

又因为2bac

，所以22944cosacaacABCc

．③

由余弦定理得2222cosbacacABC

，

所以222cosacacacABC

④

联立③④，得2261130aacc

．

所以

3

2

ac

或

1

3

ac

．

下同解法

1

．

[

方法六

]

：建系求解

以

D

为坐标原点，

AC

所在直线为

x

轴，过点

D

垂直于

AC

的直线为

y

轴，

DC长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则0,0,2,0,1,0DAC

．

由（

1

）知，3BDbAC，所以点

B

在以

D

为圆心，

3

为半径的圆上运动．

设,33Bxyx

，则229xy

．⑤

由2bac

知，2BABCAC

，

即2222(2)(1)9xyxy

．⑥

联立⑤⑥解得

7

4

x

或

7

3

2

x

（舍去），2

95

16

y

，

代入⑥式得

36

||,||6,3

2

aBCcBAb

，

由余弦定理得

2227

cos

212

acb

ABC

ac



．

【整体点评】

(2)

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理

的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单

的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系

的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运

算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使

得问题更加直观化

.

19

．【

2021

年新高考

2

卷】在

ABC

中，角A、B、

C

所对的边长分别为

a

、

b

、

c

，

1ba

，

2ca.

．

（

1

）若

2sin3sinCA

，求

ABC

的面积；

（

2

）是否存在正整数

a

，使得

ABC

为钝角三角形

?

若存在，求出

a

的值；若不存在，说明

理由．

【答案】（

1

）

157

4

；（

2

）存在，且

2a.

【解析】

【分析】

（

1

）由正弦定理可得出

23ca

，结合已知条件求出

a

的值，进一步可求得

b

、

c

的值，利

用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出

sinB

，再利用三角形的面积公式可求得结果；

（

2

）分析可知，角

C

为钝角，由cos0C结合三角形三边关系可求得整数

a

的值

.

【详解】

（

1

）因为

2sin3sinCA

，则2223caa

，则4a，故5b，6c，

2221

cos

28

abc

C

ab

，所以，

C

为锐角，则2

37

sin1cos

8

CC

，

因此，

1137157

sin45

2284ABC

SabC

△

；

（

2

）显然

cba

，若

ABC

为钝角三角形，则

C

为钝角，

由余弦定理可得





22

2

222212

23

cos0

22121

aaa

abcaa

C

abaaaa









，

解得

13a

，则0<<3a，

由三角形三边关系可得

12aaa

，可得1a，aZ，故

2a.

20

．【

2020

年新课标

1

卷文科】

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c.

已知

B=150°.

（

1

）若

a=

3

c

，

b=2

7

，求

ABC

的面积；

（

2

）若

sinA+

3

sinC=

2

2

，求

C.

【答案】（

1

）

3

；（

2

）15.

【解析】

【分析】

（

1

）已知角B和

b

边，结合

,ac

关系，由余弦定理建立

c

的方程，求解得出

,ac

，利用面积

公式，即可得出结论；

（

2

）方法一：将30AC代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关

C

角的三角函数值，结合

C

的范围，即可求解

.

【详解】

（

1

）由余弦定理可得2222282cos1507bacacc

，

2,23,caABC△

的面积

1

sin3

2

SacB

；

（

2

）

[

方法一

]

：多角换一角

30AC，

sin3sinsin(30)3sinACCC

132

cossinsin(30)

222

CCC

，

030,303060CC

，

3045,15CC

.

[

方法二

]

：正弦角化边

由正弦定理及

150B

得

22

sinsinsin



acb

Rb

ACB

．故

sin,sin

22



ac

AC

bb

．

由

2

sin3sin

2

AC

，得

32acb

．

又由余弦定理得22222cosbacacBa23cac

，所以222(3)23acacac

，

解得

ac

．

所以

15C

．

【整体点评】

本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，

属于基础题

.

其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到

三边的关系，进而求角

.

21

．【

2020

年新课标

2

卷理科】

ABC

中，

sin2A

－

sin2B

－

sin2C=sinBsinC．

（

1

）求

A

；

（

2

）若

BC=3

，求

ABC

周长的最大值

.

【答案】（

1

）

2

3



；（

2

）

323

.

【解析】

【分析】

（

1

）利用正弦定理角化边，配凑出

cosA

的形式，进而求得A；

（

2

）方法一：利用余弦定理可得到29ACABACAB

，利用基本不等式可求得

ACAB

的最大值，进而得到结果

.

【详解】

（

1

）由正弦定理可得：222BCACABACAB

，

2221

cos

22

ACABBC

A

ACAB







，

0,A

，

2

3

A





.

（

2

）

[

方法一

]

【最优解】：余弦

+

不等式

由余弦定理得：2222cosBCACABACABA229ACABACAB

，

即29ACABACAB.

2

2

ACAB

ACAB











（当且仅当

ACAB

时取等号），

2

2223

9

24

ACAB

ACABACABACABACAB











，

解得：

23ACAB

（当且仅当

ACAB

时取等号），

ABC

周长

323LACABBC

，

ABC

周长的最大值为

323

.

[

方法二

]

：正弦化角（通性通法）

设

,

66



BC

，则

66





，根据正弦定理可知

23

sinsinsin

abc

ABC



，所

以23(sinsin)bcBC

23sinsin

66



















23cos23

，当且仅当

0，即

6

BC





时，等号成立．此时

ABC

周长的最大值为

323

．

[

方法三

]

：余弦与三角换元结合

在

ABC

中，角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

．由余弦定理得229bcbc

，即

2

2

13

9

24









bcc

．令

1

3sin,

2

0,

2

23cos

bc

c































，得

3sin3cosbc

=23sin23

6













，易知当

6

C





时，

max

()23bc

，

所以

ABC

周长的最大值为

323

．

【整体点评】

本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周

长最大值的求解问题；

方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等

关系求得最值

.

方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形

或有限制条件的，则采用此法解决

.

方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题

.

22

．【

2020

年新课标

2

卷文科】△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，已知

2

5

cos()cos

24

AA





．

（

1

）求

A

；

（

2

）若

3

3

bca

，证明：△

ABC

是直角三角形．

【答案】（

1

）

3

A





；（

2

）证明见解析

【解析】

【分析】

（

1

）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，2

5

coscos

24

AA











可化为

2

5

1coscos

4

AA

，即可解出；

（

2

）根据余弦定理可得222bcabc

，将

3

3

bca

代入可找到

,,abc

关系，

再根据勾股定理或正弦定理即可证出．

【详解】

（

1

）因为2

5

coscos

24

AA











，所以2

5

sincos

4

AA

，

即2

5

1coscos

4

AA

，

解得

1

cos

2

A

，又

0A

，

所以

3

A





；

（

2

）因为

3

A





，所以

2221

cos

22

bca

A

bc



，

即222bcabc

①，

又

3

3

bca

②，将②代入①得，2

223bcbcbc

，

即222250bcbc

，而

bc

，解得

2bc

，

所以

3ac

，

故222bac

，

即

ABC

是直角三角形．

【点睛】

本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形

的形状，属于基础题．

23

．【

2020

年新高考

1

卷（山东卷）】在①

3ac

，②sin3cA，③

3cb

这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求

c

的值；若问题中的三角形不存在，

说明理由．

问题：是否存在

ABC

，它的内角

,,ABC

的对边分别为

,,abc

，且

sin3sinAB

，

6

C





，

________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到

a,b

的比例关系，根据比例关

系，设出长度长度，由余弦定理得到

c

的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解

.

【详解】

［方法一］【最优解】：余弦定理

由

sin3sinAB

可得：

3

a

b



，不妨设3,0ambmm

，

则：222222

3

2cos323

2

cababCmmmmm

，即

cm

.

若选择条件①：

据此可得：2333acmmm

，1m，此时

1cm.

若选择条件②：

据此可得：

222222

2

31

cos

222

bcammm

A

bcm





，

则：

213

sin1

22

A









，此时：

3

sin3

2

cAm

，则：23cm

.

若选择条件③：

可得

1

cm

bm



，cb，与条件

3cb

矛盾，则问题中的三角形不存在

.

［方法二］：正弦定理

由

,

6

CABC





，得

5

6

AB





．

由

sin3sinAB

，得

5

sin3sin

6

BB











，即

13

cossin3sin

22

BBB

，

得

3

tan

3

B

．由于0B，得

6

B





．所以

2

,

3

bcA





．

若选择条件①：

由

sinsin

ac

AC



，得

2

sinsin

36

ac





，得

3ac

．

解得1,3cba．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时

1c

．

若选择条件②：

由sin3cA，得

2

sin3

3

c





，解得

23c

，则23bc．

由

sinsin

ac

AC



，得

2

sinsin

36

ac





，得

36ac

．

所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时

23c

．

若选择条件③：

由于

3cb

与

bc

矛盾，所以，问题中的三角形不存在．

【整体点评】

方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得

,,abc

的关系，再根据选择的条件即可解出，是本

题的通性通法

,

也是最优解；

方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A，可求出角B，从而可得

2

,,

36

bcABC





，再根据选择条件即可解出．

24

．【

2019

年新课标

1

卷理科】

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，设

22(sinsin)sinsinsinBCABC

．

（

1

）求

A

；

（

2

）若

22abc

，求

sinC

．

【答案】（

1

）

3

A





；（

2

）

62

sin

4

C





.

【解析】

【分析】

（

1

）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222bcabc

，从而可整理出

cosA

，根据

0,A

可求得结果；（

2

）利用正弦定理可得2sinsin2sinABC，利用

sinsinBAC

、两角和差正弦公式可得关于

sinC

和

cosC

的方程，结合同角三角函数关

系解方程可求得结果

.

【详解】

（

1

）2

222sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC

即：222sinsinsinsinsinBCABC

由正弦定理可得：222bcabc

2221

cos

22

bca

A

bc





0,A

3

A





（

2

）22abc，由正弦定理得：2sinsin2sinABC

又sinsinsincoscossinBACACAC

，

3

A





331

2cossin2sin

222

CCC

整理可得：3sin63cosCC

22sincos1CC2

23sin631sinCC

解得：

62

sin

4

C





或

62

4



因为

6

sin2sin2sin2sin0

2

BCAC所以

6

sin

4

C，故

62

sin

4

C





.

（

2

）法二：22abc，由正弦定理得：2sinsin2sinABC

又sinsinsincoscossinBACACAC

，

3

A





331

2cossin2sin

222

CCC

整理可得：3sin63cosCC，即

3sin3cos23sin6

6

CCC











2

sin

62

C











由

2

(0,),(,)

3662

CC





，所以

,

6446

CC





62

sinsin()

464

C





.

【点睛】

本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函

数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式

或角之间的关系

.

25

．【

2019

年新课标

3

卷理科】

ABC

的内角

,,ABC

的对边分别为

,,abc

，已知

sinsin

2

AC

abA





．

（

1

）求B；

（

2

）若

ABC

为锐角三角形，且

1c

，求

ABC

面积的取值范围．

【答案】

(1)

3

B



;(2)

33

(,)

82

.

【解析】

【分析】

(1)

利用正弦定理化简题中等式，得到关于

B

的三角方程，最后根据

A,B,C

均为三角形内角

解得

3

B



.(2)

根据三角形面积公式

1

sin

2ABC

SacB

，又根据正弦定理和

1c

得到

ABC

S

关

于

C

的函数，由于

ABC

是锐角三角形，所以利用三个内角都小于

2



来计算

C

的定义域，最

后求解

()

ABC

SC

的值域

.

【详解】

(1)

根据题意

sinsin

2

AC

abA





，由正弦定理得

sinsinsinsin

2

AC

ABA





，因为

0A

，

故sin0A，消去sinA得

sinsin

2

AC

B





．

0B，

0

2

AC







因为故

2

AC

B





或者

2

AC

B





，而根据题意

ABC

，

故

2

AC

B





不成立，所以

2

AC

B





，又因为

ABC

，代入得3B，所以

3

B



.

(2)

因为

ABC

是锐角三角形，由（

1

）知

3

B





，

ABC

得到

2

3

AC

，

故

0

2

2

0

32

C

C























，解得

62

C





.

又应用正弦定理

sinsin

ac

AC



，

1c

，

由三角形面积公式有：

22

2

sin()

111sin3

3

sinsinsin

222sin4sinABC

C

aA

SacBcBcB

cCC







22

sincoscossin

33212313

33

(sincos)

4sin43tan38tan8

CC

CCC









.

又因

3

,tan

623

CC





,

故

33133

88tan82C



，

故

33

82ABC

S

.

故

ABC

S

的取值范围是

33

(,)

82

【点睛】

这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定

理求解），最后考查

ABC

是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考

题

.

26

．【

2018

年新课标

1

卷理科】在平面四边形

ABCD

中，

90ADC

，

45A

，

2AB

，

5BD.

（

1

）求cosADB；

（

2

）若

22DC

，求BC.

【答案】（

1

）

23

5

；（

2

）5.

【解析】

【分析】

（

1

）根据正弦定理可以得到

sinsin

BDAB

AADB





，根据题设条件，求得

2

sin

5

ADB

，结

合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得

223

cos1

255

ADB；

（

2

）根据题设条件以及第一问的结论可以求得

2

cossin

5

BDCADB

，之后在

BCD

中，

用余弦定理得到BC所满足的关系，从而求得结果

.

【详解】

（

1

）在

ABD

中，由正弦定理得

sinsin

BDAB

AADB





.

由题设知，

52

sin45sinADB





，所以

2

sin

5

ADB

.

由题设知，

90ADB

，所以

223

cos1

255

ADB；

（

2

）由题设及（

1

）知，

2

cossin

5

BDCADB

.

在

BCD

中，由余弦定理得

222

2

2cos258252225

5

BCBDDCBDDCBDC

.

所以5BC.

【点睛】

该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱

导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的

取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.