会考数学

高中数学会考知识点总结

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2

高中数学会考知识点总结

一、集合与常用逻辑用语及算法初步

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。

常用数集：自然数集N、正整数集*N或



N、整数集Z、

有理数集Q、实数集R。

子集、真子集、补集

交集、并集

逻辑联结词：或)(、且)(、非)(。

复合命题三种形式：p或q；p且q；非p。

判断复合命题的真假：

p或q：同假为假，否则为真；p且q：同真为真；非p：

与p真假相反。

四种命题：

原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则

q；逆否命题：若q则p。

原命题与逆否命题互为逆否命题；逆命题与否命题

互为逆否命题。

互为逆否的两个命题是等价的。

反证法步骤：假设结论不成立推出矛盾否定假

设。

充分条件与必要条件：

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3

若qp，则p叫做q的充分条件；

若pq，则p叫做q的必要条件；

若qp，则p叫做q的充要条件。

三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结

构。

二、基本初等函数

映射、函数

函数的定义域、值域、区间（闭区间、开区间、半

开半闭区间）

求函数的定义域：

分式的分母不等于0；偶次根式的被开方数大于等于

0；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；零

次幂的底数不等于0；三角函数中的正切函数xytan，

2



kx

)(Zk；已知函数)(xf定义域为D，求函数)]([xgf的

定义域，只需Dxg)(；已知函数)]([xgf的定义域为D，

求函数)(xf定义域，只需要求)(xg的值域D。（5年高

考3年模拟5p，例2）

函数的单调性、单调区间、函数的最大值与最小值

函数的奇偶性

偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点

对称。

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4

指数、分数指数幂

有理指数幂的运算性质（Qsrba，，，00）：srsraaa；

rssraa)(；rrrbaab)(。

对数：如果Nax

)10(aa，，数x就叫做以a为底N的对

数，记为xN

a

log，其中a叫做底数，N叫做真数

（NaN

alog）。

积、商、幂、方根的对数（M，N是正数）：

NMMN

aaa

loglog)(log；NM

N

M

aaa

logloglog；MnM

a

n

a

loglog。

常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，N

10

log通

常写成Nlg。

自然对数：以e为底的对数叫做常用对数，N

e

log通常

写成Nln。

指数函数、对数函数的定义、图像和性质（20p）

幂函数的定义、图像和性质（21p）

函数的零点：使0)(xf的实数x叫做函数)(xfy的零点；

方程0)(xf有实根函数)(xfy的图像与x轴有交点

函数)(xfy有零点。

函数有零点的判定：

如果函数)(xfy在区间][ba，上的图像是连续不断的一

条曲线，并且0)()(bfaf，那么函数)(xfy在区间)(ba，内

有零点，即存在)(bac，，使得0)(cf。这个c也就是方

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5

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6







tantan1

tantan

)tan(





。

二倍角的正弦、余弦、正切：

cossin22sin；

2222sin211cos2sincos2cos；







2tan1

tan2

2tan



。

化特殊式子：xbxacossin为一个角的三角函数形式，例

如：)

6

sin(2sin3cos



xxx。

斜三角形的解法：

正弦定理：

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

。

余弦定理：

Abccbacos2222，Baccabcos2222，Cabbaccos2222。

三角形的面积公式：BacAbcCabS

ABC

sin

2

1

sin

2

1

sin

2

1





。

四、不等式

不等式的基本性质（43p）

比较两个数或式的大小，一般步骤是：

作差——变形——与0比较大小；或者作商——变

形——与1比较大小。

解一元二次不等式的一般步骤（43p）

二元一次不等式（组）与平面区域（44p）

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7

基本不等式：

若Rba，，则abba222；

若a，b为正数，则

2

ba

ab



，当且仅当ba时取等号。

利用算术平均数与几何平均数定理求函数的最大值

和最小值

五、数列

n

a与

n

S的关系：

















)1(

)1(

1

1

n

n

SS

S

a

nn

n

等差数列的通项公式：dnaa

n

)1(

1

。

等差中项：a，A，b组成等差数列，A叫做a与b的等

差中项；Aba2。

等差数列的前n项和公式：d

nn

na

aan

Sn

n2

)1(

2

)(

1

1







。

等差数列的常用性质：dmnaa

mn

)(；若qpnm，则

qpnm

aaaa。

等比数列的通项公式：1

1

n

n

qaa。

等比中项：a，G，b成等比数列，G叫做a与b的等比

中项；2Gab。

等比数列的前n项和公式：

)1(

)1(

11

)1(

1

1

1



























q

q

na

q

qaa

q

qa

S

n

n

n

等比数列的常用性质：mn

mn

qaa；若qpnm，则

qpnm

aaaa。

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8

六、导数及其应用

导数的几何意义：函数)(xfy在

0

xx处的导数)('

0

xf的几

何意义，就是曲线)(xfy在点))((

0

xfx，处的切线的斜率，

即)('

0

xfk。

导函数

基本初等函数的导数公式：

0)'(c；1)')((nnnxx；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos；

aaaxxln)'(；xxee)'(；

ax

x

aln

1

)'(log；

x

x

1

)'(ln。

导数的运算法则（61p）

复合函数的求导法则：))((xgfy，则

xu

uyy'''。

用导数判断函数的单调性：在某个区间)(ba，内，如果

0)('xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递增；如果

0)('xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递减。

求函数)(xfy的极值的方法（61p）

求函数)(xfy在][ba，上的最大值与最小值的步骤（61p）

七、数系扩充、推理与证明

12i

dicbia（Rdcba，，，）的充要条件是：ca且db。

复数的分类：

)(Rbadicbia，：

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9

0b时，为实数；

0b时，为虚数（0a且0b时，为纯虚数；0a且0b时，

为非纯虚数）

共轭复数：biabiaz)(Rba，

复平面、实轴、虚轴

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对

应关系；

复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一对

应关系。

复数的模：22||||babiaz

复数的代数形式的四则运算（69p）

复数加减法运算的几何意义（69p）

三段论：大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是

P。

综合法、分析法

反证法（70p）

数学归纳法的步骤（70p）

八、平面向量

向量、向量的模（||a）

相等向量和共线向量（平行向量也叫做共线向量）

向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法

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10

则（78p）

向量减法的几何意义（79p）

向量的数乘运算

向量共线的条件：向量a与非零向量b共线，当且仅

当唯一一个实数，使得ab。

向量的夹角

平面向量的坐标运算:

设)(

11

yxa，，)(

22

yxb，，则)(

2121

yyxxba，，)(

2121

yyxxba，。

平面向量共线的坐标表示：

设)(

11

yxa，，)(

22

yxb，，0b，则a，b共线（a∥b）的充

要条件是0

1221

yxyx。

平面向量的数量积：cos||||baba。

向量垂直的条件：设)(

11

yxa，，)(

22

yxb，，则向量a，b垂

直当且仅当0

2121

yyxx。

九、立体几何

棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，

并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这

些面所围成的几何体叫做棱柱。

棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底

面与截面之间的部分叫做棱台。

圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与

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11

截面之间的部分叫做圆台。

棱台与圆台统称为台体。

投影、三视图

斜二测画法的步骤（87p）。

几何体的表面积和体积公式（88p）。

点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作

A。

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么

这条直线上的所有点都在这个平面内。

公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个

平面。

典型结论1：经过一条直线和直线外一点有且只有一

个平面。

典型结论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。

典型结论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有

公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公

共点的直线。

空间两直线的位置关系：相交、平行、异面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分

别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

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12

异面直线所成的角（取值范围]

2

0(



，）

异面直线垂直

直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线和平

面相交、直线和平面平行。

平面和平面的位置关系：平行、相交。

直线和平面平行的判定定理：

平面外的一条直线和此平面内的一条直线平行，则

该直线和此平面平行。

平面和平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平

面，则这两个平面互相平行。

直线和平面平行的性质定理：

一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平

面与此平面的交线与该直线平行。

平面和平面平行的性质定理：

如果两个平面同时和第三个平面相交，那么它们的

交线平行。

直线与平面垂直：如果一条直线和一个平面相交，

并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就

说这条直线和这个平面互相垂直，其中直线叫做平

面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足。

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13

直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则

该直线与此平面垂直。

直线和平面所成的角（取值范围]

2

0[



，）

二面角

二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O分别在两

个半平面内作棱的两条垂线OA，OB，则AOB叫做二面

角l的平面角。（取值范围)0[，，二面角的平面角

为直角时，称为直二面角）

平面与平面垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

平面与平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与

另一个平面垂直。

空间两点的距离公式：

空间两点)(

1111

zyxP，，，)(

2222

zyxP，，，则

2

21

2

21

2

2121

)()()(||zzyyxxPP。

十、直线和圆的方程

倾斜角（倾斜角的取值范围是1800）

斜率：tank；过)(

111

yxP，，)(

222

yxP，的直线的斜率

12

12

xx

yy

k





)(

12

xx。

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14

两直线平行或垂直的判定（101p）

直线的几种形式：

点斜式：)(

00

xxkyy

斜截式：bkxy

两点式：

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy











截距式：1

b

y

a

x

一般式：0CByAx

直线的交点坐标：联立直线方程进行求解。

两点间的距离：

已知平面上两点)(

111

yxP，，)(

222

yxP，，则

2

21

2

2121

)()(||yyxxPP。

点到直线的距离：

点)(

00

yxP，到直线0CByAx的距离

22

00

||

BA

CByAx

d





。

两平行直线的距离：

已知两条平行直线

1

l和

2

l的一般式方程0

11

CByAxl：，

0

22

CByAxl：，则

1

l与

2

l的距离

22

21

||

BA

CC

d





。

平面上两点连线的中点坐标公式：

平面上两点)(

111

yxP，，)(

222

yxP，，线段

21

PP的中点为

)

22

(2121

yyxx

P



，。

圆的标准方程：222)()(rbyax，圆心为)(ba，，半径为

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r)0(r。

圆的一般方程：022FEyDxyx)04(22FED，圆心为

)

22

(

ED

，，半径为

2

422FED

r



。

圆的直径式方程：

0))(())((

2121

yyyyxxxx（圆的直径的端点是)(

11

yxA，，

)(

22

yxB，）。

点与圆的位置关系：根据点到圆心的距离与半径r的

大小关系进行判断。

直线与圆的位置关系：根据圆心到直线的距离与半

径r的大小关系进行判断。

圆与圆的位置关系：根据圆心距与半径

1

r和

2

r的大小

关系进行判断（5种情况）。

十一、圆锥曲线

椭圆：平面内与两个定点

1

F，

2

F的距离的和等于常数

a2)2||2(

21

cFFa的点的轨迹叫做椭圆。

若M为椭圆上任意一点，则有aMFMF2||||

21

。

椭圆的标准方程：

1

2

2

2

2



b

y

a

x

)0(ba（焦点在x轴上），或1

2

2

2

2



b

x

a

y

)0(ba（焦

点在y轴上）。

离心率：

a

c

e，10e。

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16

双曲线：平面上与两个定点

1

F，

2

F的距离的差的绝对

值等于非零常数a2)2||2(

21

cFFa的动点的轨迹是双曲

线。若P为双曲线上任意一点，则有aPFPF2||||

21

。

双曲线的标准方程：

1

2

2

2

2



b

y

a

x

)00(ba，（焦点在x轴上），或1

2

2

2

2



b

x

a

y

)00(ba，

（焦点在y轴上）。

离心率：

a

c

e，1e。

渐近线：x

a

b

y叫做双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x的渐近线。

与1

2

2

2

2



b

y

a

x

)00(ba，有共同渐近线的双曲线方程为

k

b

y

a

x



2

2

2

2

)0(k

等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双

曲线。

抛物线：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相

等的动点的轨迹叫做抛物线。

抛物线的标准方程：pxy22（焦点坐标)0

2

(，

p，准线方

程：

2

p

x）；

pyx22（焦点坐标)

2

0(

p

，，准线方程：

2

p

y）。

如果直线与抛物线的交点为)(

11

yxA，，)(

22

yxB，，

则弦长||

1

1||1)()(||

21

2

21

22

21

2

21

yy

k

xxkyyxxAB，

21

2

2121

4)(||xxxxxx，21

2

2121

4)(||yyyyyy。

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17

十二、计数原理、概论统计

系统抽样、分层抽样

频率分布直方图

茎叶图

中位数、众数

均值、方差