什么是罗尔定理
罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，描述如下： 如果函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在(a,b)内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
罗尔定理是什么意思
1.罗尔定理的定义
以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（英语：Rolle's theorem）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数 f(x)满足
（1）在闭区间 [a,b]上连续；
（2）在开区间 (a,b)内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)，
那么在 (a,b)内至少有一点ε （a<ε<b）
使得
2.几何理解
下面是几何图解罗尔定理。函数y=f(x)在 [a,b]上连续，(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，那么f(x)曲线至少存在一点，其斜率为0.（下图显示有2个点斜率为0）
3.通俗解释
你站在地上，垂直向天空抛出一小球，小球又落在地上，那么在小球运动过程中，一定有一个时刻t，在t时刻速度是0.(在这个t时刻之前，速度是向上的，过了这个时刻t，速度向下，而在这个t，就是物体运动的最高点，速度是0）
罗尔定理推论是什么?
罗尔定理的推论是：若连续曲线y=f(x)在区间上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且在弧的两个端点A,B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。
若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在（a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间（a,b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ）＝0。
罗尔定理证明过程
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1、若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2、若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。
罗尔定理
罗尔定理的证明
罗尔(Rolle)定理
设函数在闭区间上连续，在开区间上可导,
且，则在内至少存在一点，使得。
证明: 由于在闭区间上连续,则,存在.
若,则,内任意一点都可作为.
若,则由知与中至少有一个(不妨设
为)在区间内某点取到, 即,下面证明.
因为在处可导,所以极限存在,因而左、
右极限都存在且相等，即
，由于
是在上的最大值，
所以不论或，都有，
当时，，因而，
当时，，因而，
怎么证明罗尔定理？
罗尔定理可知。
fa=fb时，存在某点e，使f′e=0。
开始证明拉格朗日。
我们假设一函数fx。
目标：证明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。
我们假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。
这个特殊函数在于，这个a和b，正好满足Fb=Fa，且一定存在这个a和b。
此时我们就有罗尔定理的前提了。
于是得出有一个e，能让F′e=0(罗尔定理)
即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，
上面求导等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。
将唯一的x带换成e，并且整个式子等于0。
变成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→
f′e=(fb-fa)/(b-a)→
f′e(b-a)=(fb-fa)。
完毕。
罗尔定理成立的三个条件
罗尔定理成立的三个条件一般是函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)。
如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那末在(a，b)内至少有一点ζ（a<ζ
