高等数学2

专科起点升本科高等数学（二）知识点汇总

常用知识点：

一、常见函数的定义域总结如下：

（1）

cbxaxy

bkxy





2

一般形式的定义域：x∈R

（2）

x

k

y分式形式的定义域：x≠0

（3）

xy

根式的形式定义域：x≥0

（4）

xy

a

log对数形式的定义域：x＞0

二、函数的性质

1、函数的单调性

当

21

xx时，恒有)()(

21

xfxf，)(xf在

21

xx，所在的区间上是增加的。

当

21

xx时，恒有)()(

21

xfxf，)(xf在

21

xx，所在的区间上是减少的。

2、函数的奇偶性

定义：设函数)(xfy的定义区间D关于坐标原点对称（即若Dx，则有Dx）

(1)偶函数)(xf——Dx，恒有)()(xfxf。

(2)奇函数)(xf——Dx，恒有)()(xfxf。

三、基本初等函数

1、常数函数：cy，定义域是),(，图形是一条平行于

x

轴的直线。

2、幂函数：

uxy

，(

u

是常数)。它的定义域随着

u

的不同而不同。图形过原点。

3、指数函数

定义:xaxfy)(，(

a

是常数且0a，1a).图形过（0,1）点。

4、对数函数

定义:xxfy

a

log)(，(

a

是常数且0a，1a)。图形过（1,0）点。

5、三角函数

(1)正弦函数:xysin

2T，),()(fD，]1,1[)(Df。

(2)余弦函数:xycos.

2T，),()(fD，]1,1[)(Df。

(3)正切函数:xytan.

T，},

2

)12(,|{)(ZRkkxxxfD



，),()(Df.

(4)余切函数:xycot.

T，},,|{)(ZRkkxxxfD，),()(Df.

5、反三角函数

(1)反正弦函数:xysinarc，]1,1[)(fD，]

2

,

2

[)(



Df。

(2)反余弦函数:xyarccos，]1,1[)(fD，],0[)(Df。

(3)反正切函数:xyarctan，),()(fD，)

2

,

2

()(



Df。

(4)反余切函数:xyarccot，),()(fD，),0()(Df。

极限

一、求极限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直

接代入进行极限的求解。

2、传统求极限的方法

（1）利用极限的四则运算法则求极限。

（2）利用等价无穷小量代换求极限。

（3）利用两个重要极限求极限。

（4）利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则

设Au

x





lim，Bv

x





lim，则

（1）BAvuvu

xxx





limlim)(lim

（2）ABvuvu

xxx





limlim)(lim.

推论

（a)vCvC

xx

lim)(lim，(C为常数)。

（b）n

x

n

x

uu)lim(lim





（3）

B

A

v

u

v

u

x

x

x













lim

lim

lim，(0B).

（4）设)(xP为多项式

n

nnaxaxaxP1

10

)(，则)()(lim

0

0

xPxP

xx





（5）设)(),(xQxP均为多项式，且0)(xQ，则

)(

)(

)(

)(

lim

0

0

0xQ

xP

xQ

xP

xx





三、等价无穷小

常用的等价无穷小量代换有：当0x时，xx~sin，xx~tan，xx~arctan，xx~arcsin，xx~)1ln(，

xex~1，2

2

1

~cos1xx。

对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当0□时，□~□sin，其余类似。

四、两个重要极限

重要极限I1

sin

lim

0



x

x

x

。

它可以用下面更直观的结构式表示：1

□

□sin

lim

0□





重要极限IIe

x

x

x



















1

1lim。

其结构可以表示为：e

















□

□□

1

1lim

八、洛必达(L’Hospital)法则

“

0

0

”型和“





”型不定式，存在有A

xg

xf

xg

xf

axax



)(

)(

lim

)(

)(

lim

'

'

（或



）。

一元函数微分学

一、导数的定义

设函数)(xfy在点

0

x的某一邻域有定义，当自变量x在

0

x处取得增量x（点xx

0

仍在该邻域）时，相应地

函数y取得增量)()(

00

xfxxfy。如果当0x时，函数的增量y与自变量x的增量之比的极限

0

lim

xx

y





=

0

lim

xx

xfxxf



)()(

00=）（

0

xf



注意两个符号x和

0

x在题目中可能换成其他的符号表示。

二、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

（1）0)(



C(C为常数)

（2）1)(

xx（为任意常数）

（3）aaaxxln)(



)1,0(aa特殊情况xxee



)(

（4）

ax

e

x

x

aaln

1

log

1

)(log



)1,0,0(aax，

x

x

1

)(ln



（5）xxcos)(sin



（6）xxsin)(cos



（7）

x

x

2

'

cos

1

)(tan

（8）

x

x

2

'

sin

1

)(cot

（9）

2

'

1

1

)(arcsin

x

x





)11(x

（10）

)11(

1

1

)(arccos

2

'



x

x

x

（11）

2

'

1

1

)(arctan

x

x





（12）

2

'

1

1

)cot(

x

xarc





2、导数的四则运算公式

（1）)()(])()([xvxuxvxu













（2）)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu











（3）ukku







][（k为常数）

（4）

)(

)()()()(

)(

)(

2xv

xvxuxvxu

xv

xu























3、复合函数求导公式：设)(ufy,)(xu，且)(uf及)(x都可导，则复合函数)]([xfy的导数为

)().('xuf

dx

du

du

dy

dx

dy



。

三、导数的应用

1、函数的单调性

0)('xf则)(xf在),(ba严格单调增加。

0)('xf则)(xf在),(ba严格单调减少。

2、函数的极值

0)('xf的点——函数)(xf的驻点。设为

0

x

（1）若

0

xx时，0)('xf；

0

xx时，0)('xf，则)(

0

xf为)(xf的极大值点。

（2）若

0

xx时，0)('xf；

0

xx时，0)('xf，则)(

0

xf为)(xf的极小值点。

（3）如果)('xf在

0

x的两侧的符号相同，那么)(

0

xf不是极值点。

3、曲线的凹凸性

0)(''xf，则曲线)(xfy在),(ba是凹的。

0)(''xf，则曲线)(xfy在),(ba是凸的。

4、曲线的拐点

（1）当

)(''xf在

0

x的左、右两侧异号时，点))(,(

00

xfx为曲线)(xfy的拐点，此时

0)(

0

''xf

.

（2）当

)(''xf在

0

x的左、右两侧同号时，点))(,(

00

xfx不为曲线)(xfy的拐点。

5、函数的最大值与最小值

极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。

四、微分公式

dxxfdy)('，求微分就是求导数。

一元函数积分学

一、不定积分

1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。

2、不定积分的性质

（1）)(])(['xfdxxf或dxxfdxxfd)()(

（2）CxFdxxF)()('或CxFxdF)()(

（3）dxxxdxxfdxxxxf)()()()]()()([。

（4）dxxfkdxxkf)()(（k为常数且0k）。

2、基本积分公式（要求熟练记忆）

（1）Cdx0

（2）)1(

1

1

1



aCx

a

dxxaa.

（3）Cxdx

x

ln

1

.

（4）Ca

a

dxaxx

ln

1

)1,0(aa

（5）Cedxexx

（6）Cxxdxcossin

（7）Cxxdxsincos

（8）Cxdx

x

tan

cos

1

2

.

（9）Cxdx

x

cot

sin

1

2

.

（10）

Cxdx

x





arcsin

1

1

2

.

（11）Cxdx

x





arctan

1

1

2

.

3、第一类换元积分法

对不定微分dxxg)(，将被积表达式dxxg)(凑成

)()()()]([)('xdxfdxxxfdxxg，这是关键的一步。

常用的凑微分的公式有：

（1）)()(

1

)(baxdbaxf

a

dxbaxf

（2）)()(

1

)(1baxdbaxf

ka

dxxbaxfkkkk

（3）xdxfdx

x

xf2

1

)(

（4）

x

d

x

fdx

x

x

f

1

)

1

(

1

)

1

(

2



（5）)()()(xxxxedefdxeef

（6）)(ln)(ln

1

)(lnxdxfdx

x

xf

（7）)(sin)(sincos)(sinxdxfxdxxf

（8）)(cos)(cossin)(cosxdxfxdxxf

（9）)(tan)(tan

cos

1

)(tan

2

xdxfdx

x

xf

（10）)(cot)(cot

sin

1

)(cot

2

xdxfdx

x

xf

（11）

)(arcsin)(arcsin

1

1

)(arcsin

2

xdxfdx

x

xf





（12）

)(arccos)(arccos

1

1

)(arccos

2

xdxfdx

x

xf





（13）)(arctan)(arctan

1

1

)(arctan

2

xdxfdx

x

xf





（14）

))((ln

)(

)('

xddx

x

x









)0)((x

4、分部积分法

vduuvudv

二、定积分公式

1、（牛顿—莱布尼茨公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的任意一个原函数，则有

)()()(aFbFdxxfb

a

。

2、计算平面图形的面积

如果某平面图形是由两条连续曲线

)(),(

21

xfyxgy及两条直线ax

1

和bx

2

所围成的（其中

1

y

是下面的曲线，

2

y是上面的曲线），则其面积可由下式

求出：

)(xfy

)(xgy

y

aobx

.)]()([dxxgxfSb

a

3、计算旋转体的体积

设某立体是由连续曲线)0)()((xfxfy和直线)(,babxax及

x

轴所围平面图形绕

x

轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积

V可由下式求出：

.)()(22dxxfdxxfVb

a

b

a

x

多元函数微分学

1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。

2、全微分公式：yBxAyxdfdz),(。

3、复合函数的偏导数——利用函数结构图

如果),(yxu、),(yxv在点),(yx处存在连续的偏导数

x

u





，

y

u





，

x

v





，

y

v





，且在对应于),(yx的点),(vu

处，函数),(vufz存在连续的偏导数

u

z





，

v

z





，则复合函数)],(),,([yxyxfz在点),(yx处存在对

x

及y的

连续偏导数，且

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

























，

y

v

v

z

y

u

u

z

y

z

























。

4、隐函数的导数

对于方程0),(yxF所确定的隐函数)(xfy，可以由下列公式求出y对

x

的导数'y：

),(

),(

'

'

'

yxF

yxF

y

y

x，

2、隐函数的偏导数

对于由方程0),,(zyxF所确定的隐函数),(yxfz，可用下列公式求偏导数：

),,(

),,(

'

'

zyxF

zyxF

x

z

z

x





，

),,(

),,(

'

'

zyxF

zyxF

y

z

z

y





，

5、二元函数的极值

设函数

),(

00

yxfz在点),(

00

yx的某邻域有一阶和二阶连续偏导数，且

0),(

00

'yxf

x

，0),(

00

'yxf

y

又设

Ayxf

xx

),(

00

''，Byxf

xy

),(

00

''，Cyxf

yy

),(

00

''，

则：

（1）当02ACB时，函数),(yxf在点),(

00

yx处取得极值，且当0A

oaxx+dxbx

y)(xfy

时有极大值，当0A时有极小值。

（2）当02ACB时，函数),(yxf在点),(

00

yx处无极值。

（3）当02ACB时，函数),(yxf在点),(

00

yx处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。

概率常识

1、数学期望







1

)(

i

ii

pxXE。

2、方差

2)]([)(XEXEXD。

方差的算术平方根称为均方差或标准差，记为)(X，即

i

XEXEXDX2)]([)()(。