拉格朗日中值定理(拉格朗日中值定理的条件)

拉格朗日中值定理的内容？

定理内容：

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: 　　

(1)在[a,b]连续 　　

(2)在(a,b)可导 　　

则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

易证明此函数在该区间满足条件: 　　

1.G(a)=G(b); 　　

2.G(x)在[a,b]连续; 　　

3.G(x)在(a,b)可导. 　　

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

扩展资料：

定理表述

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

那么在开区间(a,b)内至少有一点使等式成立。

其他形式记,令,则有上式称为有限增量公式。

我们知道函数的微分是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。

辅助函数法：

已知在上连续，在开区间内可导，构造辅助函数

可得又因为在上连续，在开区间内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点使得由此可得变形得定理证毕。

参考资料：百度百科-拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 “中值”指的是什么？

指的是区间（a，b）的两个端点所连直线的斜率，这个定理就是说如果在闭区间上连续，开区间上可导。

那么总有那么一个值能够使已知曲线的斜率和直线斜率相等，其他的斜率都会比这个大或者小。事实上如果你看过罗尔定理，那么你就会更理解这个中值的意义了，在那个定理中，中值指的是斜率为0。

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

拉格朗日中值定理

为了方便理解举个栗子：如果两地的距离是500公里，驾车走完这500公里耗时5小时，那么在某一时刻，你的速度必定会达到平均速度100公里/小时。
上述问题转换成数学语言：f(x)是距离关于时间的函数，那么一定存在：

f’(c)就是c时刻的瞬时速度。前提条件是f(x)在[a, b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，且 a < c < b。这就是拉格朗日中值定理的通俗定义。

中值定理的几何意义如下图所示：

在曲线的两点间做一条割线，割线的斜率就是(f(b)-f(a))/(b-a)， f’(c)是与割线平行的一条切线，与曲线相切于c点。
　需要注意的是中值定理的前提条件，下面的曲线不满足中值定理：

函数虽然是连续的，但在x=c点处不可导，中值定理要求函数在定义域范围内全部可导。
ps1；“中值”指的是区间（a，b）的两个端点所连直线的斜率，这个定理就是说如果在闭区间上连续，开区间上可导，那么总有那么一个值能够使已知曲线的斜率和直线斜率相等，其他的斜率都会比这个大或者小。事实上如果你看过罗尔定理，那么你就会更理解这个中值的意义了，在那个定理中，中值指的是斜率为0。
ps2；如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。其中ξ就是中值.

拉格朗日中值定理公式是怎么样的？

拉格朗日中值定理的内容：

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: 　　

(1)在[a,b]连续 　　

(2)在(a,b)可导 　　

则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

易证明此函数在该区间满足条件: 　　

1.G(a)=G(b); 　　

2.G(x)在[a,b]连续; 　　

3.G(x)在(a,b)可导. 　　

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证。

扩展资料

人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，古希腊数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积。

意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。

拉格朗日中值定理的定理意义？

几何意义：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

物理意义：对于直线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。

拉格朗日中值定理应用是什么？

拉格朗日中值定理应用是：一点c在连续可倒区间内，只要使得f（a）-f(b)=f'(c)(b-a)成立即可。推导出的f'（c）可以看出是f(x)的斜率。

g(x)=e^x-ex

g(x)在[1，x]连续，在（1，x）可导

所以由拉格朗日中值定理

存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)

e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)

即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)

运动学意义：

对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。