等比数列求和(等比数列求和公式推导过程)

更新时间:2023-03-01 20:21:54 阅读: 评论:0

等比数列是什么?如何求和

1、等比数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。

举例:

数列:2、4、8、16、······

每一项与前一项的比值:4÷2=8÷4=16÷8=2,所以这个数列是等比数列,而它的公比就是2。

2、等比数列的求和公示如下:

其中a1为首项,q为等比数列公比,Sn为等比数列前n项和。

还是以数列:2、4、8、16、······为例,a1=2,公比q=2,

假如是求前四项的和,即:Sn=2×(1-2^4)÷(1-2)=30,与2+4+8+16=30 相符。

扩展资料

等比数列在生活中也是常常运用的。

如:银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式:本利和=本金×(1+利率)^存期


等比数列求和公式是什么?

求和公式

求和公式推导:

(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

(2)qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)

(3)Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

(4)a(n+1)=a1qn

(5)Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)

扩展资料

相关应用:

远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中,下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有几盏灯。

每层塔所挂的灯的数量形成一个等比数列,公比q=2,我们设塔的顶层有a1盏灯。7层塔一共挂了381盏灯,S7=381,按照等比求和公式, 那么有a1乘以1-2的7次方,除以1-2,等于381.能解出a1等于3. 尖头必有3盏灯。

参考资料来源:百度百科-等比数列求和公式


等比数列求和的方法

等比数列求和公式:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
其中常数q叫作公比,在等比数列中,首项a1与公比q都不为零。等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公式可以快速的计算出出该数列的和。
一个数列,如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数(这个常数通常用q来表示)且数列中任何项都不能为0。

等比数列怎样求和?

等比数列的求和公式:Sn=首项(1-公比的n次方)/1-公比(公比≠1)

扩展资料

等比数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列,常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注:q=1 时,an为常数列。

若{an}是等比数列,公比为q1,{bn}也是等比数列,公比是q2,则{a2n},{a3n}…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…{can},c是常数,{an*bn},{an/bn}是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2。

等比数列在生活中也是常常运用的。如:银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,在计算下一期的利息,也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期。

参考资料百度百科-等比数列


等比数列求和公式

等比数列求和公式:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
其中常数q叫作公比,在等比数列中,首项a1与公比q都不为零。等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公式可以快速的计算出出该数列的和。
一个数列,如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数(这个常数通常用q来表示)且数列中任何项都不能为0。

等比数列怎么求和

在数学中解决问题,通常公式是很重要的一部分,记住公式可以很方便的去解决问题,大大减少了工作量和工作时间,一个公式就可以解决一类问题,那么,等比数列求和公式是什么呢?

公式

等比数列求和公式为:Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)(q不等于1)

特殊性质

①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am×an=ap×aq;

②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列;

③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am×an=(aq)^2;

④若G是a、b的等比中项,则G^2=ab(G≠0);

⑤在等比数列中,首项a1与公比q都不为零.

注意:上述公式中an表示等比数列的第n项。

等比数列求和公式推导

由等比数列定义

a2=a1*q

a3=a2*q

a(n-1)=a(n-2)*q

an=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得

a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q

即Sn-a1=(Sn-an)*q,即(1-q)Sn=a1-an*q

当q≠1时,Sn=(a1-an*q)/(1-q)(n≥2)

当n=1时也成立.

当q=1时Sn=n*a1

所以Sn=n*a1(q=1);(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)。

错位相减法

Sn=a1+a2+a3+...+an

Sn*q=a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q=a2+a3+...+an+an*q

以上两式相减得(1-q)*Sn=a1-an*q

数学归纳法

证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1·q0=a1,等式成立;

(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即ak=a1qk-1;

当n=k+1时,ak+1=ak·q=a1qk=a1·q(k+1)-1;

这就是说,当n=k+1时,等式也成立;

由(1)(2)可以判断,等式对一切n∈N*都成立。


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