分离变量法(分离变量法怎样分离)

分离变量法是什么

分离变量法
　　分离变量法是将一个偏微分方程分解为两个或多个只含一个变量的常微分方程
主要思想
　　将方程中含有各个变.量的项分离开来,从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程.运用线性叠加原理,将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程.利用高数知识、级数求解知识,以及其他巧妙的方法,求出各个方程的通解.最后将这些通解“组装起来”.

分离变量法

分离变量法的基本思想是把水头的时空分布函数分解为若干一元函数的乘积，这些一元函数以空间坐标和时间坐标为自变量。这样组合的时空分布函数代入到控制方程时，将得到若干个常微分方程。这些常微分方程之间通过特征值联系起来。含有空间项的常微分方程与边界条件一起构成特征值问题，其解为特征函数。含有时间项的常微分方程类似于衰变方程，可以得到一个通解，不妨称为衰变函数。不同特征值对应的特征函数与衰变函数的线性组合，就构成原问题的解，组合系数由初始条件和特征函数的正交性确定。由于特征值是无穷数列，这种解具有无穷级数的性质。如果定解问题的边界均为齐次边界或只有一个非齐次边界，使用分离变量法将十分方便。非齐次边界问题也可以分解为若干个齐次边界问题进行求解。

下面用一个简单的一维承压水非稳定流问题（图3.1）来说明分离变量法的基本思路。设流场定义域为0≤x≤L，两侧边界均为定水头边界。其非稳定流描述为以下定解问题

图3.1 承压含水层非稳定流示意图

地下水运动方程

地下水运动方程

式中：H0（x）为初始水头分布；a＝K/Ss，即渗透系数与贮水率的比值。

首先对水头函数进行变量分离，写成

地下水运动方程

式中：X（x）和T（t）分别为空间和时间的一元函数。把式（3.5）代入到式（3.1）得到

地下水运动方程

等式两边的自变量分别是空间和时间，其成立的条件必然是等号两边等于同一个常数，令这个常数为－β2，则有

地下水运动方程

而边界条件改变为

地下水运动方程

式（3.7）为齐次线性常微分方程，根据附录2，其特征方程为

地下水运动方程

具有特征根

地下水运动方程

因此方程（3.7）的基本解为

地下水运动方程

式中：c1和c2是待定常数。由于β的取值可以发生变化，根据边界条件，该基本解在［0，L］内为非零解的条件是

地下水运动方程

取

地下水运动方程

根据边界条件（3.9）有c2＝0。因而，一系列对应βn的特解为

地下水运动方程

这样得到的Xn（x）为上述边值问题的特征函数，而βn为特征值，式（3.13）就是特征值所满足的方程。式（3.8）为衰变方程，容易得到其特解为

地下水运动方程

这个与βn有关的衰变函数与特征函数组合为原定解问题的一个特解

地下水运动方程

而原问题的通解是上述特解的线性组合，即

地下水运动方程

其中的未知系数cn可以根据初始条件确定，同时，cn还必须满足特征函数的正交性。

根据Sturm－Liouville问题的正交性，对于任意两个不相等的特征值βm和βn，应有

地下水运动方程

而对于相等的两个特征值，有

地下水运动方程

其中N（βn）为特征函数的范数。利用式（3.15）有

地下水运动方程

在确定cn的数值时，首先根据初始条件有

地下水运动方程

等式两边取积分

地下水运动方程

其中m可以是n＝1，2，…中的任意值，因此也可以根据式（3.23）把cn表示为

地下水运动方程

根据前述得到的特征函数和范数，有

地下水运动方程

这说明cn恰好等于初始水头分布函数H（x）的Fourier系数。

分离变量法的基本步骤

通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法。两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知。

1、写出原有形式的等式或不等式。

2、将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端。

3、两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知。

4、通过上述变形解决实际问题。

分离变量法是将一个偏微分方程分解为两个或多个只含一个变量的常微分方程。将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程。

谁能详细的告诉我什么叫“分离变量法”？

分离变量法是求解数学物理方程常用的一种方法.在微积分学中,计算多元函数的偏导数,重积分时,我们从一元函数中响应问题的解法出发,启发和帮助我们解决多元函数的问题.与此类似,求解偏微分方程的定解问题,也要设法利用常微分方程已有的结论.
分离变量法的基本思想是,把数学物理方程中未知的多员函数分解成若干个一元函数的乘积,从而把求解偏微分方程的问题转化为解若干个常微分方程的问题.

分离变量法求解

式1分离变量得到
x²dx=dy/y²
于是积分得到-1/y=1/3 x³+1/3C
即y=-3/(x³+C)，c为常数
式子2分离变量得到
dx/√(1-x²)=dy/y
积分得到arcsinx=lny -lnc
于是y=c *e^arcsinx，c为常数