勾股定理的证明方法(勾股定理的证明方法有多少种)

证明勾股定理的16种方法

证明勾股定理的16种方法如下：

1、证法一（邹元治证明）；

2、证法二（课本的证明）；

3、证法三（赵爽弦图证明；

4、证法四（总统证明）；

5、证法五（梅文鼎证明）；

6、证法六（项明达证明；

7、证法七（欧几里得证明）；

8、证法八（相似三角形性质证明）；

9、证法九（杨作玫证明）；

10、证法十（李锐证明）；

11、证法十一（利用切割线定理证明）；

12、证法十二（利用多列米定理证明）；

13、证法十二（利用多列米定理证明）；

14、证法十四（利用反证法证明）；

15、证法十五（辛卜松证明）；

16、证法十六（陈杰证明）。

勾股定理怎么证明呢？

简单的勾股定理的证明方法如下：

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。

发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为（a+b）的正方形；四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为（a+b）的正方形。

所以可以看出以上两个大正方形面积相等。 列出式子可得：

拓展资料：

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

参考资料：勾股定理_百度百科

勾股定理的证明方法

最常见的勾股定理证明方法是欧几里得证明，设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在欧氏《几何原本》中，勾股定理的证明方法是：以直角三角形的三条边为边，分别向外作正方形，然后利用面积方法加以证明。如图，设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等，即 ， 。

在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半，如。

任意一个正方形的面积等于其两边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其两边长的乘积。

证明的方法如下：

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成正方形CBDE、BAGF和ACIH。如上图，

画出过点A与BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A、K和L在同一直线上，所以四边形面积。

因为C、A和G在同一直线上，所以正方形面积。

因此=AB²。

同理可证，=AC²。

把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

勾股定理的证明方法

最常见的勾股定理证明方法是欧几里得证明，设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。

把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

勾股定理的多种证明方法

勾股定理的10种证明方法：课本上的证明

勾股定理的10种证明方法：邹元治证明

勾股定理的10种证明方法：赵爽证明

勾股定理的10种证明方法：1876年美国总统Garfield证明

勾股定理的10种证明方法：项明达证明

勾股定理的10种证明方法：欧几里得证明

勾股定理的10种证明方法：杨作玫证明

勾股定理的10种证明方法：切割定理证明

勾股定理的10种证明方法：直角三角形内切圆证明

勾股定理的10种证明方法：反证法证明

扩展资料：

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。

勾股数组是满足勾股定理的正整数组，其中的称为勾股数。例如就是一组勾股数组。任意一组勾股数可以表示为如下形式：，，，其中均为正整数，且。

定理用途：已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。

意义：

1．勾股定理的证明是论证几何的发端；

2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；

3．勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；

4．勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理。

勾股定理证明的方法

勾股定理的证明：
边长为3、4、5，则边长3的边与边长4的边互相垂直。
3^2+4^2
=9+16
=25
=5^2
3^2+4^2=5^2。说明这个三角形是直角三角形。