数学知识点

初中数学知识点大全

初中数学知识点大全

一、基本知识

㈠、数与代数

A、数与式：

1、有理数

有理数：

①整数→正整数/0/负整数

②分数→正分数/负分数

数轴：

①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某

一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到

数轴。

②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另

外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示

互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。

④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大

于0，负数小于0，正数大于负数。

绝对值：

①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的

绝对值。

②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、

0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算：

加法：

①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对

值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：

①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘得0。

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：

①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不能作除数。

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结

果叫幂，A叫底数，N叫次数。

混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先

算括号里的。

2、实数

无理数：无限不循环小数叫无理数

平方根：

①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A

的算术平方根。

②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的

平方根。

③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。

④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被

开方数。

立方根：

①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的

立方根。

②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是

负数。

③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开

方数。

实数：

①实数分有理数和无理数。

②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数

范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实

数都可以在数轴上的一个点来表示。

3、代数式

代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。

合并同类项：

①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做

同类项。

②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。

③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字

母的指数不变。

4、整式与分式

整式：

①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫

多项式，单项式和多项式统称整式。

②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次

数。

③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的

次数。

整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同

类项。

幂的运算：AM+AN=A(M+N)

(AM)N=AMN

(A/B)N=AN/BN除法一样。

整式的乘法：

①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分

别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。

②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多

项式的每一项，再把所得的积相加。

③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外

一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式两条：平方差公式/完全平方公式

整式的除法：

①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的

因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为

商的一个因式。

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以

单项式，再把所得的商相加。

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变

化叫做把这个多项式分解因式。

方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。

分式：

①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个

就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，

分式的值不变。

分式的运算：

乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为

积的分母。

除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

加减法：

①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。

分式方程：

①分母中含有未知数的方程叫分式方程。

②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。

B、方程与不等式

1、方程与方程组

一元一次方程：

①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数

是1，这样的方程叫一元一次方程。

②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数

式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知

数系数化为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次

数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元

一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一

次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方

程的解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系

数为2的方程

1)一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数(即抛物线)了，对他也有很深的了解，

好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次

函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，

就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直

角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X

轴的交点。也就是该方程的解了

2)一元二次方程的解法

大家知道，二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a)，这大家要记

住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函

数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有

的一元一次方程的解

(1)配方法

利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去

求出解

配方法的步骤：

先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再

同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方

程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解

分解因式法的步骤：

把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法

(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可

以化为乘积的形式

(3)公式法

这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根

X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a公式法

就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为

a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4)韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二

根之和=-b/a，二根之积=c/a

也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求

出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

5)一元一次方程根的情况

利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为

“△”，读作“diaota”，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：

I当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根;

II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根;

III当△0时，一元二次方程没有实数根(在这里，学到高中就

会知道，这里有2个虚数根)

2、不等式与不等式组

不等式：

①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向

不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不

变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相

反。

不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的

解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，

且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就

组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫

做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是

随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式

符号不改向;例如：AB,A+CB+C

在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式

符号不改向;例如：AB，A-CB-C

在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：

AB，AxCBxC(C0)

在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，

AxCBxC(C0)

如果不等式乘以0，那么不等号改为等号

所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出

现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为

0，否则不等式不成立;

3、函数

变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上

的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

一次函数：①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成

Y=KX+B(B为常数，K不等于0)的形式，则称Y是X的一次函数。

②当B=0时，称Y是X的正比例函数。

一次函数的图象：

①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为

点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这

些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限;当K〈0，

B〉0时，则经124象限;当K〉0，B〈0时，则经134象限;当K〉

0，B〉0时，则经123象限。

④当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y

的值随X值的增大而减少。

㈡空间与图形

A、图形的认识

1、点，线，面

点，线，面：

①图形是由点，线，面构成的。

②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动

成面，面动成体。

展开与折叠：

①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相

邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的

形状相同，侧面的形状都是长方体。

②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截

面。

视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相

连组成的封闭图形。

弧、扇形：

①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形

叫扇形。

②圆可以分割成若干个扇形。

2、角

线：

①线段有两个端点。

②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一

个端点。

②将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。

④经过两点有且只有一条直线。

比较长短：

①两点之间的所有连线中，线段最短。

②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：

①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端

点是这个角的顶点。

②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比较：

①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。

②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线

时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，

所成的角叫做周角。

③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相

等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：

①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互

相平行。

垂直：

①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。

③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。

垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这

根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是

一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后(关于画

法，后面会讲)一定要把线段穿出2点。

垂直平分线定理：

性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相

等;

判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分

线上

角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。

定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条

射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这

是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一

个角个角平分线就是到角两边距离相等的点

性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上

正方形：一组邻边相等的矩形是正方形

性质定理：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质

判定定理：1、对角线相等的菱形;2、邻边相等的矩形

3、相交线与平行线

角：

①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角;如果

两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

②同角或等角的余角/补角相等。

③对顶角相等。

④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反

之亦然。

4、三角形

①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图

形叫做三角形。

③三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差

小于第三边。

④三角形三个内角的和等于180度。

⑤三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。

⑥直角三角形的两个锐角互余。

⑥三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角

的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。⑦三角形中，

连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。

⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。

⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶

点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

⑩三角形的三条高所在的直线交于一点。

图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合

的图形叫全等图形。

全等三角形：

①全等三角形的对应边/角相等。

②条件：SSS、AAS、ASA、SAS、HL。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，

反之亦然。

5、四边形

平行四边形的性质：

①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角

线。

③平行四边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互

相平分。

平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形、一

组对边平行且相等的四边形、两组对边分别相等的四边形/定义。

菱形：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形。

②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组

对角线平分一组对角。

③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都

相等的四边形。

矩形与正方形：

①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

②矩形的对角线相等，四个角都是直角。

③对角线相等的平行四边形是矩形。

④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一

组邻边相等的矩形是正方形。

梯形：

①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。

②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。

③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之

亦然。

多边形：

①N边形的内角和等于(N-2)180度。

②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫

做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，

他们的和叫做这个多边形的内角和(都等于360度)

平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。

中心对称图形：

①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前

后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫

做他的对称中心。

②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称

中心平分。

B、图形与变换：

1、图形的轴对称

轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分

能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对

称轴。

轴对称图形：

①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相

等。

③等腰三角形的“三线合一”。

轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应

线段/对应角相等。

2、图形的平移和旋转

平移：

①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，

这样的图形运动叫做平移。

②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平

行且相等，对应角相等。

旋转：

①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个

角度，这样的图形运动叫做旋转。

②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向

转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角

都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

3、图形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那

么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。。=M/N，那么

A+C+…+M/B+D+…N=A/B。

黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果

AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段

AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比(根号5-1/2)。

相似：

①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似

多边形。

②相似多边形对应边的比叫做相似比。

相似三角形：

①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似

三角形。②条件：AAA、SSS、SAS。

相似多边形的性质：

①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等

于相似比。

②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的

平方。

图形的放大与缩小：

①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的

直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个

点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于

位似比。

C、图形的坐标

平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的

数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的

数轴叫做Y轴或纵轴，X轴与Y轴统称坐标轴，他们的公共原点

O称为直角坐标系的原点。他们分4个象限。XA，YB记作(A，

B)。

D、证明

定义与命题：

①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就

是给出他们的定义。

②对事情进行判断的句子叫做命题(分真命题与假命题)。

③每个命题是由条件和结论两部分组成。

④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具

备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。