初中数学知识点

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第一册

第一章有理数

1.1正数和负数

以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数。

以前学过的０以外的数叫做正数。

数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义

1.2有理数

1.2.1有理数

正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

1.2.2数轴

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离

是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

1.2.3相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

1.2.4绝对值

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对

值是0。

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边

的数小于右边的数。

比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

⑵两个负数，绝对值大的反而小。

1.3有理数的加减法

1.3.1有理数的加法

有理数的加法法则：

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大

的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

⑶一个数同0相加，仍得这个数。

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

加法交换律：a＋b＝b＋a

三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

1.3.2有理数的减法

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有理数的减法可以转化为加法来进行。

有理数减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数。

a－b＝a＋(－b)

1.4有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法

有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0。

乘积是1的两个数互为倒数。

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是

奇数时，积是负数。

两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

ab＝ba

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

（ab）c＝a（bc）

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

a（b＋c）＝ab＋ac

数字与字母相乘的书写规范：

⑴数字与字母相乘，乘号要省略，或用“”

⑵数字与字母相乘，当系数是1或－1时，1要省略不写。

⑶带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数。

用字母x表示任意一个有理数，2与x的乘积记为2x，3与x的乘积记为3x，

则式子2x＋3x是2x与3x的和，2x与3x叫做这个式子的项，2和3分别是着两

项的系数。

一般地，合并含有相同字母因数的式子时，只需将它们的系数合并，所得结

果作为系数，再乘字母因数，即

ax＋bx＝（a＋b）x

上式中x是字母因数，a与b分别是ax与bx这两项的系数。

去括号法则：

括号前是“＋”，把括号和括号前的“＋”去掉，括号里各项都不改变符号。

括号前是“－”，把括号和括号前的“－”去掉，括号里各项都改变符号。

括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的

符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应

各项的符号相反。

1.4.2有理数的除法

有理数除法法则：

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

a÷b＝a·

b

1

(b≠0)

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于

0的数，都得0。

因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。

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乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

1.5有理数的乘方

1.5.1乘方

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫

做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

有理数混合运算的运算顺序：

⑴先乘方，再乘除，最后加减；

⑵同极运算，从左到右进行；

⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行

1.5.2科学记数法

把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，

n是正整数），使用的是科学记数法。

用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n－1。

1.5.3近似数和有效数字

接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。

精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。

从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数

的有效数字。

对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字。

第二章一元一次方程

2.1从算式到方程

2.1.1一元一次方程

含有未知数的等式叫做方程。

只含有一个未知数（元），未知数的指数都是1（次），这样的方程叫做一元

一次方程。

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是数学解决实

际问题的一种方法。

解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程

的解。

2.1.2等式的性质

等式的性质1等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相

等。

2.2从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论⑴

把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

2.3从“买布问题”说起——一元一次方程的讨论⑵

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方程中有带括号的式子时，去括号的方法与有理数运算中括号类似。

解方程就是要求出其中的未知数（例如x），通过去分母、去括号、移项、

合并、系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着x＝a的形式转化，

这个过程主要依据等式的性质和运算律等。

去分母：

⑴具体做法：方程两边都乘各分母的最小公倍数

⑵依据：等式性质2

⑶注意事项：①分子打上括号

②不含分母的项也要乘

2.4再探实际问题与一元一次方程

第三章图形认识初步

3.1多姿多彩的图形

现实生活中的物体我们只管它的形状、大小、位置而得到的图形，叫做几何

图形。

3.1.1立体图形与平面图形

长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱锥也是常

见的立体图形。

长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。

许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当地剪开，就可以展开成

平面图形。

3.1.2点、线、面、体

几何体也简称体。长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几

何体。

包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。

面和面相交的地方形成线。

线和线相交的地方是点。

几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。

3.2直线、射线、线段

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

两点确定一条直线。

点C线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。类似

的还有线段的三等分点、四等分点等。

直线桑一点和它一旁的部分叫做射线。

两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。

3.3角的度量

角也是一种基本的几何图形。

度、分、秒是常用的角的度量单位。

把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记作1；把1度的角60等分，

每份叫做1分的角，记作1；把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，记作1。

3.4角的比较与运算

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3.4.1角的比较

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平

分线。类似的，还有叫的三等分线。

3.4.2余角和补角

如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角。

如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角。

等角的补角相等。

等角的余角相等。

本章知识结构图

第四章数据的收集与整理

几何图形

立体图形

从不同方向看立

体图形

展开立体图形

平面图形

直线、射线、线

段

角角的度量角的大小比较余角和补角角的平分线

等角的补角相等

等角的余角相等

平面图形平面图形

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收集、整理、描述和分析数据是数据处理的基本过程。

4.1喜爱哪种动物的同学最多——全面调查举例

用划记法记录数据，“正”字的每一划（笔画）代表一个数据。

考察全体对象的调查属于全面调查。

4.2调查中小学生的视力情况——抽样调查举例

抽样调查是从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查。

统计调查是收集数据常用的方法，一般有全面调查和抽样调查两种，实际中

常常采用抽样调查的方式。调查时，可用不同的方法获得数据。除问卷调查、访

问调查等外，查阅文献资料和实验也是获得数据的有效方法。

利用表格整理数据，可以帮助我们找到数据的分布规律。利用统计图表示经

过整理的数据，能更直观地反映数据规律。

4.3课题学习调查“你怎样处理废电池？”

调查活动主要包括以下五项步骤：

一、设计调查问卷

⑴设计调查问卷的步骤

①确定调查目的；

②选择调查对象；

③设计调查问题

⑵设计调查问卷时要注意：

①提问不能涉及提问者的个人观点；

②不要提问人们不愿意回答的问题；

③提供的选择答案要尽可能全面；

④问题应简明；

⑤问卷应简短。

二、实施调查

将调查问卷复制足够的份数，发给被调查对象。

实施调查时要注意：

⑴向被调查者讲明哪些人是被调查的对象，以及他为什么成为被调查者；

⑵告诉被调查者你收集数据的目的。

三、处理数据

根据收回的调查问卷，整理、描述和分析收集到的数据。

四、交流

根据调查结果，讨论你们小组有哪些发现和建议？

五、写一份简单的调查报告

第二册

第五章相交线与平行线

5.1相交线

5.1.1相交线

有一个公共的顶点，有一条公共的边，另外一边互为反向延长线，这样的两

个角叫做邻补角。

两条直线相交有4对邻补角。

有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

两条直线相交，有2对对顶角。

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对顶角相等。

5.1.2

两条直线相交，所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

注意：⑴垂线是一条直线。

⑵具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90。

⑶垂直是相交的特殊情况。

⑷垂直的记法：a⊥b，AB⊥CD。

画已知直线的垂线有无数条。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线

段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

5.2平行线

5.2.1平行线

在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线互相平行，记作：a∥b。

在同一平面内两条直线的关系只有两种：相交或平行。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

5.2.2直线平行的条件

两条直线被第三条直线所截，在两条被截线的同一方，截线的同一旁，这样

的两个角叫做同位角。

两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的两侧，这样的两个

角叫做内错角。

两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的同一旁，这样的两

个角叫做同旁内角。

判定两条直线平行的方法：

方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平

行。简单说成：同位角相等，两直线平行。

方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平

行。简单说成：内错角相等，两直线平行。

方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线

平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

5.3平行线的性质

平行线具有性质：

性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平

行，同位角相等。

性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平

行，内错角相等。

性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线

平行，同旁内角互补。

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做着两

条平行线的距离。

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判断一件事情的语句叫做命题。

5.4平移

⑴把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形

的形状和大小完全相同。

⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是

对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。

图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。

第六章平面直角坐标系

6.1平面直角坐标系

6.1.1有序数对

有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对。

6.1.2平面直角坐标系

平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数

轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴取2

向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面上的任意一点都可以用一个有序数对来表示。

建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分为了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的

点不属于任何象限。

6.2坐标方法的简单应用

6.2.1用坐标表示地理位置

利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：

⑴建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

⑵根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

⑶在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

6.2.2用坐标表示平移

在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以

得到对应点（x＋a，y）（或（x－a，y））；将点（x，y）向上（或下）平移b个

单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）（或（x，y－b））。

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个

正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把

它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上

（或向下）平移a个单位长度。

第七章三角形

7.1与三角形有关的线段

7.1.1三角形的边

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相

邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形两边的和大于第三边。

7.1.2三角形的高、中线和角平分线

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7.1.3三角形的稳定性

三角形具有稳定性。

7.2与三角形有关的角

7.2.1三角形的内角

三角形的内角和等于180。

7.2.2三角形的外角

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7.3多边形及其内角和

7.3.1多边形

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

n边形的对角线公式：

2

)3(－nn

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

7.3.2多边形的内角和

n边形的内角和公式：180（n－2）

多边形的外角和等于360。

7.4课题学习镶嵌

第八章二元一次方程组

8.1二元一次方程组

含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做二元一次方程

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方

程组。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

8.2消元

由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含有另一未知数的式子表

示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种

方法叫做代入消元法，简称代入法。

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分

别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加

减消元法，简称加减法。

8.3再探实际问题与二元一次方程组

第九章不等式与不等式组

9.1不等式

9.1.1不等式及其解集

用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子叫做不等式。

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的集合，简称解集。

含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

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9.1.2不等式的性质

不等式有以下性质：

不等式的性质1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方

向不变。

不等式的性质2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

9.2实际问题与一元一次不等式

解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x＝a的形式；而解

一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＜a（或x＞a）

的形式。

9.3一元一次不等式组

把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。

几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等

式就是求它的解集。

对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。解一元一次不等式组

时。一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可

以直观地表示不等式组的解集。

9.4课题学习利用不等关系分析比赛

第十章实数

10.1平方根

如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平

方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

10.2立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

10.3实数

无限不循环小数又叫做无理数。

有理数和无理数统称实数。

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝

对值是0。

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第五章相交线与平行线

5.1相交线

5.1.1相交线

有一个公共的顶点，有一条公共的边，另外一边互为反向延长线，这样的两

个角叫做邻补角。

两条直线相交有4对邻补角。

有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

两条直线相交，有2对对顶角。

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对顶角相等。

5.1.2

两条直线相交，所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

注意：⑴垂线是一条直线。

⑵具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90。

⑶垂直是相交的特殊情况。

⑷垂直的记法：a⊥b，AB⊥CD。

画已知直线的垂线有无数条。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线

段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

5.2平行线

5.2.1平行线

在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线互相平行，记作：a∥b。

在同一平面内两条直线的关系只有两种：相交或平行。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

5.2.2直线平行的条件

两条直线被第三条直线所截，在两条被截线的同一方，截线的同一旁，这样

的两个角叫做同位角。

两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的两侧，这样的两个

角叫做内错角。

两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的同一旁，这样的两

个角叫做同旁内角。

判定两条直线平行的方法：

方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平

行。简单说成：同位角相等，两直线平行。

方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平

行。简单说成：内错角相等，两直线平行。

方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线

平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

5.3平行线的性质

平行线具有性质：

性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平

行，同位角相等。

性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平

行，内错角相等。

性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线

平行，同旁内角互补。

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做着两

条平行线的距离。

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判断一件事情的语句叫做命题。

5.4平移

⑴把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形

的形状和大小完全相同。

⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是

对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。

图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。

第六章平面直角坐标系

6.1平面直角坐标系

6.1.1有序数对

有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对。

6.1.2平面直角坐标系

平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数

轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴取2

向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面上的任意一点都可以用一个有序数对来表示。

建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分为了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的

点不属于任何象限。

6.2坐标方法的简单应用

6.2.1用坐标表示地理位置

利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：

⑴建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

⑵根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

⑶在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

6.2.2用坐标表示平移

在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以

得到对应点（x＋a，y）（或（x－a，y））；将点（x，y）向上（或下）平移b个

单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）（或（x，y－b））。

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个

正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把

它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上

（或向下）平移a个单位长度。

第七章三角形

7.1与三角形有关的线段

7.1.1三角形的边

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相

邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形两边的和大于第三边。

7.1.2三角形的高、中线和角平分线

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7.1.3三角形的稳定性

三角形具有稳定性。

7.2与三角形有关的角

7.2.1三角形的内角

三角形的内角和等于180。

7.2.2三角形的外角

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7.3多边形及其内角和

7.3.1多边形

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

n边形的对角线公式：

2

)3(－nn

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

7.3.2多边形的内角和

n边形的内角和公式：180（n－2）

多边形的外角和等于360。

7.4课题学习镶嵌

第八章二元一次方程组

8.1二元一次方程组

含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做二元一次方程

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方

程组。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

8.2消元

由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含有另一未知数的式子表

示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种

方法叫做代入消元法，简称代入法。

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分

别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加

减消元法，简称加减法。

8.3再探实际问题与二元一次方程组

第九章不等式与不等式组

9.1不等式

9.1.1不等式及其解集

用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子叫做不等式。

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的集合，简称解集。

含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

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9.1.2不等式的性质

不等式有以下性质：

不等式的性质1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方

向不变。

不等式的性质2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

9.2实际问题与一元一次不等式

解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x＝a的形式；而解

一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＜a（或x＞a）

的形式。

9.3一元一次不等式组

把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。

几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等

式就是求它的解集。

对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。解一元一次不等式组

时。一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可

以直观地表示不等式组的解集。

9.4课题学习利用不等关系分析比赛

第十章实数

10.1平方根

如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平

方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

10.2立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

10.3实数

无限不循环小数又叫做无理数。

有理数和无理数统称实数。

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝

对值是0。

初三数学上册知识点

第一章实数

★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算

☆内容提要☆

一、重要概念

1．数的分类及概念

数系表：

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）

2）有标准

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2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）

常见的非负数有：

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数：①定义及表示法

②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.

积为1。

4．相反数：①定义及表示法

②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：2n-1

偶数：2n（n为自然数）

7．绝对值：①定义（两种）：

代数定义：

几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型

的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算

1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]

分配律）

3．运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”

到“右”（如5÷×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

三、应用举例（略）

附：典型例题

1．已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│

=b-a.

2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。

第二章代数式

★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算

☆内容提要☆

一、重要概念

分类：

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独

的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式

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没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）

几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、

多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为

对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

=x,=│x│等。

4.系数与指数

区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看

5.同类项及其合并

条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

合并依据：乘法分配律

6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式（是无理数）。

7.算术平方根

⑴正数a的正的平方根（[a≥0—与“平方根”的区别]）;

⑵算术平方根与绝对值

①联系：都是非负数，=│a│

②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或

因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数

⑴(—幂，乘方运算)

①a＞0时，＞0;②a＜0时，＞0（n是偶数），＜0（n是奇数）

⑵零指数：=1（a≠0）

负整指数：=1/（a≠0,p是正整数）

二、运算定律、性质、法则

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

2．分式的性质

⑴基本性质：=（m≠0）

⑵符号法则：

⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）

3．整式运算法则（去括号、添括号法则）

4．幂的运算性质：①•=;②÷=;③=;④=;⑤

技巧：

5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6．乘法公式：（正、逆用）

（a+b）（a-b）=

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(a±b)=

7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.

求根公式法。

9．算术根的性质：＝;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b＞0)(正用、逆用)

10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：

A.;B.;C..

11．科学记数法：（1≤a＜10,n是整数＝

三、应用举例（略）

四、数式综合运算（略）

第三章统计初步

★重点★

☆内容提要☆

一、重要概念

1.总体：考察对象的全体。

2.个体：总体中每一个考察对象。

3.样本：从总体中抽出的一部分个体。

4.样本容量：样本中个体的数目。

5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。

6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数

据的平均数）

二、计算方法

1.样本平均数：⑴;⑵若，，…，,则(a—常数，，，…，接近较整的常数a);⑶加

权平均数：;⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去

估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

2．样本方差：⑴;⑵若,,…,,则（a—接近、、…、的平均数的较“整”的常数）;

若、、…、较“小”较“整”，则;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特

征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：

三、应用举例（略）

第四章直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。

☆内容提要☆

一、直线、相交线、平行线

1．线段、射线、直线三者的区别与联系

从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）

4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）

5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）

6．互为余角、互为补角及表示方法

7．角的平分线及其表示

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8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）

9．对顶角及性质

10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）

11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两

条直线平行。

12．定义、命题、命题的组成

13．公理、定理

14．逆命题

二、三角形

分类：⑴按边分;

⑵按角分

1．定义（包括内、外角）

2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外

角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三

角形中，

3．三角形的主要线段

讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质

①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质

5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）

⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法

6．三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。

7．重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线

8．证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法

⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论

⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等

⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法

⑸证线段和差关系：延结法、截余法

⑹证面积关系：将面积表示出来

三、四边形

分类表：

1．一般性质（角）

⑴内角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。

推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。

⑶外角和：360°

2．特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

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⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定

⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形——↑

⑷对角线的纽带作用：

3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）

4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理

③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）

5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、

“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6．作图：任意等分线段。

四、应用举例（略）

第五章方程（组）

★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行

程、工程问题）

☆内容提要☆

一、基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）

2．分类：

二、解方程的依据—等式性质

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc(c≠0)

三、解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→

系数化成1→解。

2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

②加减法

四、一元二次方程

1．定义及一般形式：

2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）

⑶公式法：

⑷因式分解法（特征：左边=0）

3．根的判别式：

4．根与系数顶的关系：

逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。

5．常用等式：

五、可化为一元二次方程的方程

1．分式方程

⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）

⑷验根及方法

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2．无理方程

⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法

3．简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题

一概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系

是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，

方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般

地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），

在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程

起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

二常用的相等关系

1．行程问题（匀速运动）

基本关系：s=vt

⑴相遇问题(同时出发)：

⑵追及问题（同时出发）：

若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则

⑶水中航行：;

2．配料问题：溶质=溶液×浓度

溶液=溶质+溶剂

3．增长率问题：

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

三注意语言与解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……

又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，

而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。五注意单

位换算

如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

七、应用举例（略）

第六章一元一次不等式（组）

★重点★一元一次不等式的性质、解法

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☆内容提要☆

1．定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2．一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。

3．一元一次不等式组：

4．不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac

⑷（传递性）a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）

7．应用举例（略）

第七章相似形

★重点★相似三角形的判定和性质

☆内容提要☆

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）：

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

第二套：

注意：①定理中“对应”二字的含义;

②平行→相似（比例线段）→平行。

二、相似三角形性质

1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。

三、相关作图

①作第四比例项;②作比例中项。

四、证（解）题规律、辅助线

1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来

3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公

比”为k。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

五、应用举例（略）

第八章函数及其图象

★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。

☆内容提要☆

一、平面直角坐标系

1．各象限内点的坐标的特点

2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

2．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有

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意义。

3．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数

（定义→图象→性质）

1．正比例函数

⑴定义：y=kx(k≠0)或y/x=k。

⑵图象：直线（过原点）

⑶性质：①k>0，…②k<0，…

2．一次函数

⑴定义：y=kx+b(k≠0)

⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。

⑶性质：①k>0,…②k<0,…

⑷图象的四种情况：

3．二次函数

⑴定义：特殊地，都是二次函数。

⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。用配

方法变为，则顶点为（h,k）;对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。

⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。

4.反比例函数

⑴定义：或xy=k(k≠0)。

⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。

⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无

限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

1．用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式

或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：

2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。

六、应用举例（略）

第九章解直角三角形

★重点★解直角三角形

☆内容提要☆

一、三角函数

1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA=;cosA=;tgA=;ctgA=.

2．特殊角的三角函数值：

0°30°45°60°90°

sinα

cosα

tgα/

ctgα/

3．互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…

4．三角函数值随角度变化的关系

5．查三角函数表

二、解直角三角形

1．定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

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2．依据：①边的关系：

②角的关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

1．俯、仰角：2．方位角、象限角：3．坡度：

4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

四、应用举例（略）

第十章圆

★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆

有关的比例线段定理。

☆内容提要☆

一、圆的基本性质

1．圆的定义（两种）

2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3．“三点定圆”定理

4．垂径定理及其推论

5．“等对等”定理及其推论

5．与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）

⑶弦切角定义（弦切角定理）

二、直线和圆的位置关系

1.三种位置及判定与性质：

2.切线的性质（重点）

3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…

4．切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)

2.相切（交）两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段

1.相交弦定理

2.切割线定理

五、与和正多边形

1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）

2.三角形的外接圆、内切圆及性质

3.圆的外切四边形、内接四边形的性质

4.正多边形及计算

中心角：

内角的一半：(右图)

（解Rt△OAM可求出相关元素,、等）

六、一组计算公式

1.圆周长公式

2.圆面积公式

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3.扇形面积公式

4.弧长公式

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、点的轨迹

六条基本轨迹

八、有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆

2.平分已知弧

3.作已知两线段的比例中项

4.等分圆周：4、8;6、3等分

九、基本图形

十、重要辅助线

1.作半径

2.见弦往往作弦心距

3.见直径往往作直径上的圆周角

4.切点圆心莫忘连

5.两圆相切公切线（连心线）

6.两圆相交公共弦

初三（下册）数学各章节重要知识点总结

二次函数

1.二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0)

2.关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛

物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函

数在y轴上的截距,即二次函数图象必过（0，c）点.

3.y=ax2(a≠0)的特性：当y=ax2+bx+c(a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2(a≠0);

这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：

（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；（3）y=ax2(a≠0)可以经过补0看做二次函

数的一般式，顶点式和双根式，即：y=ax2+0x+0,y=a(x-0)2+0,y=a(x-0)(x-0).

4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及几个重要点的公式：

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5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系：

(1)a＞0<=>抛物线开口向上；a＜0<=>抛物线开口向下；

(2)c＞0<=>抛物线从原点上方通过；c=0<=>抛物线从原点通过；

c＜0<=>抛物线从原点下方通过；

(3)a,b异号<=>对称轴在y轴的右侧；a,b同号<=>对称轴在y轴的左侧；

b=0<=>对称轴是y轴；

(4)Δ＞0<=>抛物线与x轴有两个交点；

Δ=0<=>抛物线与x轴有一个交点（即相切）；

Δ＜0<=>抛物线与x轴无交点.

6．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把

这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值,从而求出

解析式-------待定系数法.

8．二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标

（h,k），对称轴方程x=h和函数的最值y最值=k.

9．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x0,y0）和图象上的另一点的坐标，可

设解析式为y=a(x-x0)2+y0，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.（注意：习

题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）

10.二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移

动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h,k的值,a值不变，具体规律如下：

k值增大<=>图象向上平移；k值减小<=>图象向下平移；（x-h）值增大<=>图象向

左平移；(x-h)值减小<=>图象向右平移.

11.二次函数的双根式：(即交点式)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)；由双根式直接可得二次函

数图象与x轴的交点（x1,0）,（x2,0）.

12.求二次函数的解析式：已知二次函数图象与x轴的交点坐标（x1,0），（x2,0）和图象上

的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，再代入另一点的坐标求a，从而求

出解析式.（注意：习题最后结果要求化为一般式）

13．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出

已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.

相似形

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1.相似形

(1)形状相同的两个图形叫做相似形。

(2)相似的图形，他们的大小不一定相同。大小相同的两个相似形是全等形。

(3)如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形对应角相等，对应边的长度成比例。

(4)图形的大小或放缩，称为图形的放缩运动。通过放缩运动，两个相似的图形可以互相重

合（即称为全等形）。

2.比例线段

(1)两条线段长度的比叫做两条线段的比。

(2)在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成

比例线段，简称比例线段。

(3)比例线段的性质：

基本性质：如果

ac

bd

，那么adbc（或,,

bdabcd

accdab

）。

合比性质：如果

ac

bd

，那么

abcd

bd



。

等比性质：如果

ac

k

bd

，那么

acac

k

bdbd







。

（4）黄金分割

如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）,其中，AP是AB和PB的比例中项，那么这种

分割为黄金分割，点P称为AB的黄金分割点，AP与AB的比值

51

2



称为黄金分割数，它

的近似值为0.618。

3.三角形一边的平行线

(1)定理1平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。

推论1平行于三角形的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边

对应成比例。

(2)三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到

这个顶点对边中点的距离的两倍。

(3)定理2如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形

的第三边。

推论2如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对

应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

(4)两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。

两条直线被被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截

得的线段也相等。

4.相似三角形

(1)概念：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．

(2)相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．

(3)相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．

(4)相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(5)注意：

①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较

容易找到相似三角形的对应角和对应边．

②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

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③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．

④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要

求对应边成比例．

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原

三角形相似．

定理的基本图形：

用数学语言表述是：

BCDE//，

ADE∽ABC．

5.相似三角形的判定

(1)相似三角形：如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例。

对应边的比叫做相似比。当相似比等于1时，这两个相似三角形是全等三角形。

（2）相似三角形的预备定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

（3）相似三角形的判定定理1

如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

（4）相似三角形判定定理2

如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角

形相似。

（5）相似三角形判定定理3

如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（6）直角三角形相似的判定定理

如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应

成比例，那么这两个直角三角形相似。

（7）两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。

6.相似三角形的性质

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（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

7.相似多边形的性质：

（1）相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比．

（2）相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．

（3）相似多边形面积比等于相似比的平方．

锐角三角函数

1.勾股定理：直角三角形两直角边

a

、b的平方和等于斜边

c

的平方。222cba

2.如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定义表达式取值范围关系

正

弦

斜边

的对边A

A



sin

c

a

Asin

1sin0A

(∠A为锐角)

BAcossin

BAsincos

1cossin22AA

余

弦

斜边

的邻边A

A



cos

c

b

Acos

1cos0A

(∠A为锐角)

正

切

的邻边

的对边

A

tan







A

A

b

a

Atan

0tanA

(∠A为锐角)

BAcottan

BAtancot

A

A

cot

1

tan

(倒数)

1cottanAA

余

切的对边

的邻边

A

A

A





cot

a

b

Acot

0cotA

(∠A为锐角)

3.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦

值。

4.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5.0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

三角函数0°30°45°60°90°

sin

0

2

1

2

2

2

3

1

cos

1

2

3

2

2

2

1

0

)90cot(tanAA

)90tan(cotAA

BAcottan

BAtancot

)90cos(sinAA

)90sin(cosAA

BAcossin

BAsincos

A90B

90





得

由BA

对

边

邻边

斜边

AC

B

b

a

c

A90B

90





得

由BA

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tan

0

3

3

13-

cot

-31

3

3

0

6.正弦、余弦的增减性：

当0°≤



≤90°时，sin



随



的增大而增大，cos



随



的增大而减小。

7.正切、余切的增减性：

当0°<



<90°时，tan



随



的增大而增大，cot



随



的增大而减小。

1.解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222cba；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的

定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

2.应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即

h

i

l

。坡

度一般写成1:m的形式，如1:5i等。

把坡面与水平面的夹角记作



(叫做坡角)，那么tan

h

i

l

。

3.从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、

OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4.指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、

OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），

南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

视图与投影

1.三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视

图要画在正视图的右边。

主视图：从物体正面视得的图象

俯视图：从物体上面视得的图象

左视图：从物体左面视得的图象

2.视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一

仰角

铅垂线

水平线

视线

视线

俯角

:ihl

h

l

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定不在一个平面上。

3.在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小

的平面体（或曲面体）。

4.在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。

物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影

．．

。

太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影

．．．．

。

探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中

．

心投影

．．．

。

5.区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。

眼睛的位置称为视点

．．

；由视点发出的线称为视线

．．

；眼睛看不到的地方称为盲区

．．

。

6.从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。

（1）点在一个平面上的投影仍是一个点；

（2）线段在一个面上的投影可分为三种情况：

线段垂直于投影面时，投影为一点；

线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；

线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。

（3）平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：

平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；

平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；

平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。

初三（下册）数学教学大纲

二次函数

1．函数

平面直角坐标系。常量。变量。函数及其表示法。

具体要求：

（1）理解平面直角坐标系的有关概念，并会正确地画出直角坐标系；理解平面内点的坐标

的意义，会根据坐标确定点和由点求得坐标。了解平面内的点与有序实数对之间一一对应。

（2）了解常量、变量、函数的意义，会发现、提出函数的实例，以及分辨常量与变量、自

变量与函数。

（3）理解自变量的取值范围和函数值的意义，对解析式为只含有一个自变量的简单的整式、

分式、二次根式的函数，会确定它们的自变量的取值范围和求它们的函数值。

（4）了解函数的三种表示法，会用描点法画出函数的图象。

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（5）通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律地变化着的，并向学生渗透数

形结合的思想方法。

2．二次函数的图象

二次函数。抛物线的顶点、对称轴和开口方向。

△一元二次方程的图象解法。

具体要求：

（1）理解二次函数和抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象，会用公式（不

要求掌握公式推导过程和记忆公式）确定抛物线的顶点和对称轴。

*（2）会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴。

△（3）会用图象法求一元二次方程的近似解。

*（4）会用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的解析式。

相似形

1．比例线段

比与比例。比例的基本性质。合比性质。等比性质。

两条线段的比。成比例的线段。

平行线分线段成比例。截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定。

具体要求：

（1）理解比与比例的概念。能够说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例

中项。

（2）掌握比例的基本性质定理、合比性质和等比性质。会用它们进行简单的比例变形。

（3）理解线段的比、成比例线段的概念。会判断线段是否成比例。了解黄金分割。

（4）了解平行线分线段成比例定理及截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定

定理的证明；会用它们证明线段成比例、线段平行等问题，并会进行有关的计算。会分线段

成已知比。

2．相似形

相似三角形。三角形相似的判定。直角三角形相似的判定。相似三角形的性质。

具体要求：

（1）理解相似三角形的概念。

（2）灵活运用两对对应角相等、或一对对应角相等且夹边成比例、或三对边之比相等则两

三角形相似的判定定理，以及一对直角边和斜边成比例则两直角三角形相似的判定定理。

（3）理解相似比的概念和相似三角形的对应高的比等于相似比的性质。

（4）会按已知相似比作一个三角形与已知三角形相似。

锐角三角函数（及解直角三角形）

1．锐角三角函数

锐角三角函数。锐角三角函数值。角的三角函数值。

具体要求：

（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确地应用，，，表示直角三角形中两边的比。

（2）会用科学计算器（尚无条件的学校可使用算表）由已知锐角求它的三角函数值，由已

知三角函数值求它对应的锐角。

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（3）熟记，角的三角函数值，会计算含有特殊角的三角函数式的值，会由一个特殊锐角的

三角函数值，求出它对应的角度。

2．解直角三角形

解直角三角形。解直角三角形的应用。

实习作业。

具体要求：

（1）掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三

角函数解直角三角形。

（2）会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际问题。

（3）通过与三角形或四边形有关的实习作业，培养学生解决实际问题的能力和用数学的意

识。

视图与投影（识图初步）

正投影的视图。

基本几何体的视图。

简单零件图。

具体要求：

（1）了解正投影，视图主视图、俯视图、左视图的意义。

（2）会画基本几何体的二视图或三视图。

（3）会描绘含有直线和圆弧，圆弧和圆弧连接的轮廓线的简单零件图。