数独原始版(数独老版本)

第一节什么是数组？

一、数组的定义

〔一〕数组在中文里面有三个名字：数组、链数和元组。

〔二〕数组是用于储存多个相同类型数据的集合。

1、九宫标准数独的规则：根据9×9数独初始盘面上的提示数，通过逻辑推理，将数字1-9填入剩余的空格内。使得每行，每列，每个粗线围成的3x3小九宫内，均出现数字1-9各一次且没有重复的数字出现。

2、根据数独的规则，可以得到：

（1）一个单元格中只能最终填入唯一的一个数字。

A可以得到这样的推论：两个单元格中需要填入两个数字，三个单元格中需要填入三个数字。

B、总而言之，有多少个单元格，就有多少个数字。

（2）同区中均出现数字1-9各一次且没有重复的数字出现。

A、可以得到这样的推论：针对同行的两个单元格，一定要填入两个数字，这两个数字一定是两个不同的数字，不能是相同的数字。

B、同样的道理，针对某列或某宫的两个单元格，一定要填入两个数字，这两个数字一定是两个不同的数字，不能是相同的数字。

C总而言之，在同区中，有多少个单元格，就有多少个不相同数字。

3、根据数独规则的推论，可以得到：

A两个单元格中要包含两个不同数字，两格与两数的关系可以称作二数组。二数组，常常被称作数对。

B同理：

三个单元格中要包含三个不同数字，三格与三数的关系可以称作三数组。

四个单元格中要包含四个不同数字，四格与四数的关系可以称作四数组。

C总而言之，有多少个单元格，就有多少个不相同数字，N格与N数的关系可以称作N数组。

〔三〕数组，这里指同区确定数组，是同一区域下的两个或以上的单元格内，确定只能填入某些数字，并且可以换着填都没毛病的结构。

1、同区，指在同一个区域，具体说就是同行、同列或同宫。

2、确定，是指数字种类的数量和格子的数量是确定的，也就是说，单元格有n个同时数字也有n种。

〔三〕数组还有复杂的用法

1、数组也可以存在不同区域内。如远程数对。

2、单元格的数量和数字种类的数量也可以是不同的。如待定数组。

二、数组的核心本质

〔一〕格找数填：n个单元格只能填入n种数字

〔二〕数找格填：n种数字只能放在n个单元格里。

三、数组的分类

〔一〕分类的目的是为了解题。

1、解题总的来说有三种方法，直观法、候选数法和试数法。

（1）其中，试数法也叫试错法，先尝试填入数字，然后再填入其他数字，如果出错了，就说明开始填入的数字是错的。然后再换另外一个数字，再进行一番尝试。如果再出错，就再换一个数字尝试。直到找到正确的数字。

（2）其中，重点讲的是直观法和候选数法，这两种方法有技术含量，也可以快速的出数或者删数。

2、直观法（Direct）：表示不需要标记任何候选数就可以完成的做题模式。

3、候选数法（Candidate）：表示某个单元格的可能填入的情况。一个可能情况就是一个候选数。

4、因此，从直观法和候选数这两个视角来研究分类。

〔二〕从直观法的视角

1、一个单元格中，只能填入一个数字；只能填入在此格所行列宫中都没有出现的数字。

2、针对一行中的两个单元格，只能填入二个数字；只能填入每一格所行列宫中都没有出现的数字。

3、同理，针对一列（宫）中的两个单元格，只能填入二个数字；只能填入每一格所行列宫中都没有出现的数字。

4、同理，针对同区中的N个单元格，只能填入N个数字；只能填入每一格所行列宫中都没有出现的数字。

5、因此，从余数法的视角，数组是没有分类的。

〔三〕从候选数法的视角

1、候选数有两种标记方法

（1）局部标记（Partial Marked）：标记其中某一个或某一些单元格的候选数，用于辅助推理的做题模式。

（2）全部标记（Full Marked）：将盘面的所有单元格的所有可能填数情况都标记出来的做题模式。

（3）这里采用全部标记的方式来讲解

2、从候选数法的视角，数对有两种：显性数组和隐性数组。

〔四〕显性数组

实例一

1、从直观法的视角来分析

〔1〕用余数法推算r7c1和r7c7中应该填入的数字

r7c1所在的宫B7出现的数字：23456

r7c1所在的行R7出现的数字：123459

r7c1所在的列C9出现的数字：15

在宫B7、行R7和列C9中没有出现的数字：78

数字78就是格r7c1的候选数，记作r7c1（78）

同样的推理，可以得出：r7c7格的候选数是78，

记作r7c7（78）

〔2〕发现显性数对

可以发现：第七行R7中，

A7和8两个数字分布在两个单元格r7c1和r7c7中。

B有两个数分布在两个单元格中，就称作二数组。

C两个单元格中的候选数是一样的，都是78，所以也叫做数对。

D在同区中，两个单元格中只有两个候选数，就叫做显性数对。

〔3〕通过直观法，想发现数组是不容易的。

2、从候选法的视角来分析

〔1〕全标候选数

利用余数法对全盘标记候选数

〔2〕找到同区的数组

按照宫→行→列的顺序来观察

寻找双值格，就是只有两个候选数的单元格。

寻找同区中的候选数字相同的两个双值格。

很容易就会在第七行R7中发现候选数相同的两个双值格r7c1和r7c7。

〔3〕在同单元内其中n个单元格内只有n种不同的数字，一看就明白，因此称为显性数组。

本例中，两个单元格r7c1和r7c7中，只有两种不同的数字7和8，因此称为显性数组。由于只有两个候选数，就称作显性二数组，或者叫显性数对。

r7c1和r7c7两个单元格中包含两个数字（78），记作

r7c17（78）。

〔4〕同样的盘面，用直观法观察数组很难发现，但是，用候选数法，则相对更容易发现。

〔五〕隐性数组

实例二

1、从直观法的视角来分析

〔1〕利用排除法推算单元格的候选数。

基础排除法是利用单数对某个区域做排除，这里做一下升级，用两个数字对某个区域做排除。

本例选择4和9这两个数字对第九列C9进行排除。

为了方便理解，可以分别用4和9对第九列作排除，最后再将结果放在一起。

A、数字4对第九列C9作排除，得到两个空格。数字4如果不再R2C9格，就一定在R9C9格，记作R29C1（4）

B、数字9对第九列C9作排除，得到两个空格。数字9如果不再R2C9格，就一定在R9C9格，记作R29C1（9）

C、综上所述：数字4和9都只可以出现在R2C9和R9C9这两个格中，记作R29C1（49）。

D、现在利用两个数字作排除。

（a）根据数独规则，每一格必填一个数字，或者说一个数字最终只能填入一个格子。

（b）所以，两个数字最终要填入两个格子。现在利用两个数字作排除，最终也要至少剩下两个空格。

（c）当经过排除之后，只剩下两个空格时，这就构成了数对。

（d）利用画排除线的方法，可以很容易的得到两个空格R2C9和R9C9。因此，对于行来说，数字4和9只能出现在R2C9和R9C9中，记作R29C9（49）

E、先说一下结论，R29C9（49）也称作隐性数组。

2、从候选法的视角来分析

〔1〕对全盘进行候选数的全面标记。

可以采用余数法作标记。手工打造全标是很费时间的

〔2〕观察第九列

数字4和9，只出现在第九列C9中的R2C9和R9C9两个格中。

其中，R2C9中还有数字7；R9C9还有数字5。

〔3〕同单元内有n种不同的数字只能填入到n个单元格内，该些格中因为还有其它候选数很难辨认，因此称为隐性数组。

因此，数组R29C9（49）称作隐性数组。

〔六〕特别说明

1、在上述举例中，通过余数法发现了显性数对，通过排除法发现了隐性数对。但是，并不是说，所有通过余数法得到的数组一定是显性数对，也可能是隐性数组。同样，并不是说，所有通过排除数法得到的数组一定是隐性数对，也可能是显性数组。

2、到底是显性数组还是隐性数组，要通过全标候选数来区分。单元格内包含数组本身的数字，不包含其他数字，就是显性数组。单元格内不仅包含数组本身的数字，还包含其他数字，就是隐性数组。

3、在直观法中发现数组是不容易的，相对来说，在候选数法中更容易发现数组。因此，数组技巧更多应用在候选数法中。

四、详解显性数组和隐性数组

〔一〕显性数组：同一区域下，n个单元格内只有n种不同的数字。

1、显性数组是一种根据“n个单元格填n种候选数”的情况，来确定删数和出数结论的技巧。

2、显性数组可以利用余数法对单元格进行点算，通过数数的操作进行数字的枚举，最终可以得到显性数组。

3、在标记候选数的情况下，可以明显的看到n个单元格中只有n种候选数。

4、显性数组按照数组规格，可有效使用的一共有3种：显性数对（双数组）、显性三数组（三链数）、显性四数组（四链数）。

〔二〕隐性数组：同一区域下，n种不同的数字只能填入到n个单元格内。

1、隐性数组是一种根据“当前行列宫内仅有n个单元格来填这n种候选数”，来确定删数和出数结论的技巧。

2、“隐性”体现在“必须通过排除才能看到，单元格内的填数情况标注出来无法立马确定”。隐性数组不能被直观的看到，需要进行分析才能观察到。可以通过排除的操作对位置进行枚举，最终可以得到隐性数组

3、隐性数组按照数组规格，可有效使用的一共有3种：隐性数对（双数组）、隐性三数组（三链数）、隐性四数组（四链数）。

〔三〕直观法解题时，由于没有标候选数的关系，所以观察到的数组很难判定其为显性或隐性。

1、因此解题时必须同时考虑删数及占位两种情形，才不致遗漏数对所能发挥的功效。

2、解题时若能从这两方面去思考，则数对解法可以发挥的威力会远远超乎你的想象。

五、数组的作用

〔一〕占位：n种数字已经被n个单元格占用了，同一区域的其他格子就不能用了。

〔二〕删数：n个单元格里只能有n种数字，这些单元格中的其他数字就可以删除了。

〔三〕显性数组和隐性数组在作用上的区别

1、对外：显性数组的作用是对所在宫和所在行列的其他相同候选数进行排除，他是对外排除的。

2、对内：隐性数组，他不排除所在宫和所在行列的其他格里的相同候选数。他是对隐性数对数组所在的格内部的其他的候选数进行排除的，他是对内排除的。

本节实例答案

实例一：初盘

实例一：终盘

实例二：初盘

实例二：终盘