狄利克雷函数(狄利克雷函数的连续性)

引言

函数(function)是我们初中就开始接触的一个数学概念，也是高中阶段最核心的数学概念之一，我们通常用f(x)来表示一个函数。上了大学之后，我们会更加深入地研究函数的连续性，可微性，可导性等问题。但是对于绝大多数的同学，平时所接触的函数都只是所谓的初等函数。初等函数，指的是由5大类基本初等函数：

幂函数(power function)，指数函数(exponential function)，对数函数(logarithmic function)，三角函数(trigonometric function)和反三角函数(inver-trigonometric function)

经过有限次加减乘除与复合所得到的函数。比如我随手写一个函数：

它可就可以看成是一个三角函数与幂函数做复合，再和指数函数做除法得到的。

你可以搜罗一下你所见到的函数，基本上都是初等函数，那么这个“初等”又是怎么回事呢？难道还有“高等”的函数吗？

的确如此，初等函数都具有一些良好的性质，比如，所有初等函数在其定义域上都是连续的，并且是几乎处处可导的，即使有一些不可导点，那这些不可导点也是有限的、孤立的。也就是说，初等函数的图像都是我们可以想象出来的，就是一段儿除了个别点之外，其余都是连续的、光滑的曲线。比如我刚才随手写的函数，它的图像就是如下的样子：

那么是否会有一些函数，它有无穷多个不可导点，甚至每一点都不可导，更有甚者，图像我们连画都画不出来？这样的函数是有的，而它显然不是我们熟悉的初等函数，因为其性质太过诡异，我们称其为“病态函数”。最简单的一类病态函数就是大名鼎鼎的狄利克雷函数。在介绍它之前，我们先来介绍一下他的发明人——德国大数学家狄利克雷(Dirichlet)。

狄利克雷(1805-1859)

狄利克雷出生于1805年，他可谓是师出名门，曾经是“数学王子”高斯(Gauss，1777-1855)的学生，同时也参加过另一位法国大数学家傅里叶(Fourier，1768-1830)领导的小组活动。他于1829年到柏林大学任教，1831年被选为普鲁士科学院院士，并于1855年接替高斯成为哥廷根大学的教授，同年被选为英国皇家学会会员。

狄利克雷在数论、分析学和数学物理等多方领域做出了杰出贡献，是19世纪上半叶非常重要的一位数学家，同时也为19世纪下半叶哥廷根大学成长为世界数学中心奠定了基础。

十九世纪数学圣地——哥廷根大学

长久以来，人们只是把函数理解为两个变量之间的变化关系，并且通常用一个表达式来表示。1837年，狄利克雷突破了这个框架，认为函数就是集合中两个元素的对应关系，而不必非得有一个表达式，于是提出了函数就是x与y之间的一种对应关系的现代观点。我们现在教科书上的关于函数的定义，基本上就是沿袭了这种观点。

函数概念示意图

为了说明这一观点，狄利克雷就构造了一个人们以前从来没有见过的函数，就是我们现在被称之为狄利克雷函数的函数，它的函数表达式如下：

这个函数的图像让人想想就头皮发麻：在实数轴上有无数多个密密麻麻的有理数，同时还有无数多个密密麻麻的无理数。因此它的图像也是如此的诡异：在y=1的地方密密麻麻分布着无数个点，但是因为有无理数的存在，所以这些点彼此又存在无数多的空隙，不能连成一条连续的直线，同样道理，在x轴上也是如此！这样的图像我们想试用笔画出来是万万不可能的。

这里需要补充一句，有很多人说狄利克雷函数是不存在图像的，这种说法是错误的。它不是不存在图像，而是图像我们无法用笔画出。事实上，任何函数都是有图像的，对于给定的函数f(x)，我们把集合

{ (x，f(x)) | x在定义域内}

称为这个函数的图像。

狄利克雷函数彻底颠覆了人们对函数的传统认识。通常人们想象出来的函数就是一段或者几段光滑的曲线，它或许有不连续点或不可导点，但都是有限多个、分散开的，但是狄雷克雷函数的图像，人们连画都无法画出来，甚至它在连续性与可导性上更加突破了人们的想象。我们就来看一下狄利克雷函数它具有哪些诡异的性质。

意思是所有的点都是间断点。我们在高等数学里面学过，函数f(x)在x=a处连续的定义是函数在该点的极限值等于该点的函数值，即它要满足

不满足的话，则是不连续的。我们就拿这个定义来检验一下狄利克雷函数。当a无论取何值时，在a的任意一个小的邻域内，都有无数多个有理点和无数多个无理点，有理点处函数值为1，无理点处函数值为0，因此在a的左边和右边函数都是无穷震荡的，所以x趋近a是f(x)的极限不存在，也就更无法等于f(a)了，因此是不连续的。因为a是任意取的一个值，所以狄利克雷函数在任意一点都是不连续的。

我们高中时都学过，可导一定连续，连续不一定可导，并且不连续一定不可导，狄利克雷函数在任意一点都不连续，因此它在任意一点都不可导。

这里顺便提一下，狄利克雷函数处处不可导，是因为处处不连续。不连续导致不可导，这没什么大不了的，但在1872年，被誉为“近代分析之父”的德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)构造出了一个处处连续但无处可导的函数，又进一步颠覆了人们对导数概念的理解，这是后话。

我们在高等数学中学过，一个函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，它的定义就是如下的极限：

右边这个极限如果存在，则称f(x)在[a,b]上是可积的，极限如果不存在则称为不可积。

事实上，想构造出一个不可积的函数非常地困难。回想一下你在高等数学里面接触过的所有有界函数，其实都是在闭区间上可积的。而不可积的函数则只能从“病态函数”里面寻找，狄利克雷函数就是其中一个最典型的例子。

我们来说明一下为什么狄利克雷函数不可积，就拿[0，1]这个闭区间举例子。我们做定义定积分的关键一步是要把[0，1]这个闭区间分割成若干小段，然后再让这些小段的长度趋近于0。因为有理数和无理数是密密麻麻的排列在实数轴上的，所以一个小区间无论多么的短，它里面都包含着无数多有理数和无理数。我们可以这样来取x*的值：对于任意短的小区间，

由此可以看出，无论你你这个区间长度多么的短，都可以想方设法让求和式子等于0，同时也可以想方设法让求和式子等于1，于是这也相当于是一个无穷震荡，因此它的极限也不存在。所以我们就说明了狄利克雷函数在[0，1]闭区间上不可积。

黎曼和与定积分示意图

上面三条就是狄利函数所具有的，而你在初等函数中又无法看到的诡异的性质。狄利克雷函数可以说是最简单的一类病态函数，以它为思想我们可以构造出很多其他类型的病态函数，比如说我们可以把0和1变成任意两个不同的数：

可以看出这样构造出来的函数，同样具有上述三个诡异的性质。同时我们还可以对它进行改造，构造出一些更为诡异的函数，例如只在一点处连续的函数，只在一点处可导的函数等等。

上面狄利克雷函数的表达式是利用分段函数写出的，那么它有没有单个的表达式呢？数学家们发现狄利克雷函数可以利用下面这个式子来表示

小伙伴们可以思考一下，为什么它就表示狄利克雷函数。

狄利克雷函数的发现在20世纪有了更为重大的意义。20世纪初，法国数学家勒贝格(Lebesgue，1875-1941)通过对传统积分理论的研究，提出了一种新的定积分理论——勒贝格积分。他发现，勒贝格积分是比传统的定积分更为进步的积分，它囊括了更多的函数形式，而狄利克雷函数就是一个最典型的在传统意义下不可积，但却是勒贝格可积的函数。用更专业的语言来讲，勒贝格积分是传统积分理论的完备化，它使得人们对函数与积分的认识更上一层楼，而勒贝格积分也取代了传统的定积分理论，成为当代数学研究里面通用的积分理论。而如果想要学习勒贝格积分，就需要进一步学习测度论，这将又是一个很漫长的过程。

最后，就拿勒贝格大神的照片来镇楼吧！相信每个学习过实变函数的人看到这张照片的人都会瑟瑟发抖。

参考文献

[1] 《高等数学》，第七版，同济大学数学系，北京，高等教育出版社

[2] 《数学分析（下册）》，第三版，华东师范大学数学系，北京，高等教育出版社

[3] Calculus, early transcendentals, 7ed, James Stewart, Brook/COLE