柯西中值定理(柯西中值定理几何意义)

柯西中值定理

柯西中值定理的证明：

因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

扩展资料：

范例解析

用罗尔中值定理证明：方程

3

在 (0,1) 内有实根。

证明：设

则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，

，所以由罗尔中值定理，至少存在一点

，使得

，所以

，所以ξ是方程

在 (0,1) 内的一个实根。

结论得证。

柯西中值定理的条件

柯西中值定理的条件如下：

如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么弧段上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弧AB。拉格朗日中值定理，也简称中值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

a 推导中值公式

要点 Cauchy 中值定理 : 若F(x)，G(x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，G'(x)≠0，则

∃ξ∈(a,b)，使得F(b)−F(a)/G(b)−G(a)=F′(ξ)G′(ξ)

当我们适当选取函数F(x)、G(x)，就可以得到新的中值公式。

b 作为函数与导数的关系

要点 由Cauchy中值定理可知,若F(x)，G(x)在某区间I内可导，则∀x1x2∈I ，∃ξ使得

F(x2)−F(x1)G(x2)−G(x1)=F′(ξ)G′(ξ)(ξ在与x1与x2之间)。

即Cauchy中值公式给出了函数差分比与导数比的一种关系，利用在与x1与x2之间，我们能解决

不少问题 (虽然ξ在x1x2之间什么位置不能肯定)。

怎样理解柯西中值定理？

解：1.柯西中值定理：设函数f(x)与函数g(x)满足：(1)在闭区间[a,b]：(2)在开区间(a,b)：(3)在区间(a,b)内g'(ε)≠0.那么,在(a,b)内,至少存在一点ε,使得[f(b)
-
f(a)]/[g(b)
-
g(a)]=f'(ε)/g'(ε)
2.几何意义是：由参数方程x=g(t),y=f(t)表示的曲线弧上存在点(g(ζ),f(ζ))，使得该点处曲线的切线斜率等于连接曲线弧端点(g(a),f(a))和(g(b),f(b))的直线的斜率。

柯西中值定理的概念

柯西（Cauchy）中值定理：设函数满足
⑴在闭区间上连续；
⑵在开区间内可导；
⑶对任意，，
那么在内至少有一点，使得
与拉氏定理的联系
在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。
因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。

柯西中值定理

柯西（Cauchy）中值定理：设函数f(m)g(m)

满足

⑴在闭区间[a,b]上连续；

⑵在开区间(a,b)内可导；

⑶对任意的m属于(a,b)，g'(m)≠0

那么在(a,b)内至少有一点y属于(a,b)，使得f(b) - f(a)/ g(b) - g(a)＝ f'(y) - g'(y)成 立

推论:

如果函数 在区间 上的导数 恒为零，那么函数 在区间 上是一个常数。

洛必达法则

柯西中值定理的一个最重要的应用就是可以推导计算待定型的极限最有效的方法——洛必达法则。

洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限。在满足一定条件下可以化成两个函数的导数的比值极限，这样就有可能使得原待定型变成简便而有效的求非待定型极限的问题。

柯西中值定理,你学过吗

1、柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
2、柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。
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