复合函数求导(复合函数求导法则)

复合函数如何求导呢？

复合函数如何求导规则：

1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；

2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。

定义

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数（composite function)，记为：y=f，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

定义域

若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

周期性

设y=f(u)的最小正周期为T1,μ＝φ（x)的最小正周期为T2,则y=f(μ）的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ＝φ（x)的单调性来决定。

即“增＋增＝增；减＋减＝增；增＋减＝减；减＋增＝减”，可以简化为“同增异减”。

复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′＝f(u)′＊g(x)′

例：

1、y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′＝f(u)′＊g(x)′＝＊(x^3)′＝＊(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]。

2、y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3。

复合函数性质是什么复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：

（1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间［g(m)，g(n)] (或［g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f为减函数。

（2)奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，f的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数y=f是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f是偶函数。

复合函数求导怎么求？

复合函数求导公式：①设u＝g（x），对f（u）求导得：f＇（x）＝f＇（u）＊g＇（x），设u＝g（x），a＝p（u），对f（a）求导得：f＇（x）＝f＇（a）＊p＇（u）＊g＇（x）。

设函数y＝f（u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u＝g（x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u。

有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y＝f［g（x）］，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

扩展资料

求函数的定义域主要应考虑以下几点：

⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；

⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；

⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；

⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

复合函数如何求导公式

复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)，设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u，有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

扩展资料：

注意事项：

1、若x处于分母位置，则分母x不能为0。

2、偶次方根的被开方数不小于0。

3、对数式的真数必须大于0。

4、指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。

5、指数为0时，底数不得为0。

6、如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。

7、实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

参考资料来源：百度百科-复合函数

复合函数求导

复合函数求导，如果遇到分式，可用以下两种求导:
1.型如Z=f(x)/g(x)，则Z对x求导，可用函数商的求导法则，即:Z'=[f'(x)g(x)一f(x)g'‘(x)]/g^2(x)。
2.对上式，还可转换为乘积形式来求，此时有:
Zg(x)=f(x)，再两边求导得:
Z'g(x)+Zg'(x)=f'(x)
即:
Z'=[f'(x)-Zg'(x)]/g(x)
最后代入Z即可。

复合函数怎么求导

复合函数求导的方法如下：

总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)

比如说：求ln(x+2)的导函数

[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x' ×1注：1即为（x+2)的导数。

主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

复合函数证明方法如下：

先证明个引理：

f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)

证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0

因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)

引理证毕。

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且

F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu

但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。

又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得

dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

则lim(Δx->0)α=0

最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

复合函数如何求导

复合函数求导法则如下：

一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·uⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。

总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)

比如说：求ln(x+2)的导函数

[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】 ×1【注：1即为(x+2)的导数】

复合函数求导的步骤:

1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。

2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。

3、相乘：把上述求导的结果相乘。

4、变量回代：把中间变量回代。

主要方法：

先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。例如，复合函数求导。

求复合函数的导数注意:

1、分解的函数通常为基本初等函数。

2、求导时分清是对哪个变量求导。

3、计算结果尽量简单。

4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。

5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。