n维向量空间

高等代数理论基础21：n维向量空间

定义：数域P中n个数组成的有序数组 称为数域P上一个n维向量, 称为向量的分量

注：几何上的向量可认为是n=2,3且P为实数域的特殊情形

定义：若n维向量 的对应分量都相等,即 ,则称两个向量相等,记作

定义：向量 称为向量 的和,记作

定义：分量全为零的向量 称为零向量,记作0

定义：向量 称为向量 的负向量,记作

向量加法四条运算规律：

交换律：

结合律：

定义：

定义：设k为数域P中的数,向量 称为向量 与数k的数量乘积,记作

数量乘法四条基本运算规律：

另：

定义：以数域P中的数作为分量的n维向量的全体,同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法,称为数域P上的n维向量空间

注：

1.n=3时,3维实向量空间可认为是几何空间中全体向量所成的空间

2.数域P上n维向量空间由数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构

3. 称为行向量

称为列向量

n维向量空间的n维是指什么意思？

很简单。只是因为我们处于三维空间，大于三维的度量不容易感知。
先从三维谈起，如向量{x1,x2,x3}在三维空间上必然可以分解为
{x1,x2,x3}=x1{1,0,0}+x2{0,1,0}+x3{0,0,1}
这三个分量{1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}是线性无关的。而且是正交的。这样空间直角坐标系就有了基。这三个分量可以将任何三维向量线性表出。所以三维向量组成的几何空间其实可以用这三个基表达出任何三维向量。当然，向量和点对应，三维向量其实也是对应三维直角坐标系的一个点。
这样对于n维向量{x1,x2,...,xn}=x1{1,0,..,0}+...+xn{0,0,...,1}
其实在n维空间上就是由n个基构成的一个线性组合。换句话说，它也是其在n维直角坐标系中的一个点。当然，这里的直角的含义是，n个基两两正交。
按照你的要求我再说明白一点，一个n维向量其实就是一个n维欧式空间的一个点。只不过是有n个向量的。

n维向量空间V中向量的维数是否为n维?

n维向量空间V中向量的维数是不为n维的，因为向量空间V中的元素都不一定是向量。有可能是多项式，有可能是数。

并且如果空间维数为n，则基向量的个数为n，从而元素的坐标由n个数组成，它构成一个n维向量，反之，一个n维向量，以此为坐标在给定的基下可以获得空间一个元素。故n维空间与n维向量集合之间一一对应，是同构的。

不过你要说 R^n 的一个子空间（维数 m < n），但里面的向量仍然用原来的基下的坐标来表示，那么这些向量就仍然可以叫 n 维向量。

当然如果你又给这个子空间找了一组基，把其中的向量用这组基下的坐标来表示，那这些向量就变成 m 维的了。

并且一个向量空间是n维的话说，那么，它里面的任何一个向量就都是n维的；如果你遇到的向量是n维的，那么，它所在的空间一定是一个n维的向量空间。

在一个n维的向量空间里绝不会存在不足n维的向量，再小得子空间里的向量也是n维的。子空间是啥。是不满秩的空间，不是降维的空间。

n维向量空间的n维是指什么意思? 111

很简单.只是因为我们处于三维空间,大于三维的度量不容易感知.
先从三维谈起,如向量{x1,x2,x3}在三维空间上必然可以分解为
{x1,x2,x3}=x1{1,0,0}+x2{0,1,0}+x3{0,0,1}
这三个分量{1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}是线性无关的.而且是正交的.这样空间直角坐标系就有了基.这三个分量可以将任何三维向量线性表出.所以三维向量组成的几何空间其实可以用这三个基表达出任何三维向量.当然,向量和点对应,三维向量其实也是对应三维直角坐标系的一个点.
这样对于n维向量{x1,x2,...,xn}=x1{1,0,..,0}+...+xn{0,0,...,1}
其实在n维空间上就是由n个基构成的一个线性组合.换句话说,它也是其在n维直角坐标系中的一个点.当然,这里的直角的含义是,n个基两两正交.
按照你的要求我再说明白一点,一个n维向量其实就是一个n维欧式空间的一个点.只不过是有n个向量的.

n维向量是什么意思？

是普通平面和空间向量概念的推广，是一种特殊的矩阵。

由数a1,a2....an组成的有序数组，称为n维向量，简称为向量。向量通常用斜体希腊字母等表示。在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关，反之不成立。推论一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。

在机器学习过程中，我们会经常遇到向量、数组和矩阵这三种数据结构，下面就这三种数据结构做一次详细的分析。同时我们时常困惑于维度，n维向量，n维数组，矩阵的维度，本文着重就这一方面进行分析。

解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫作向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象。

在引进坐标系以后，这种向量就有了坐标表示式— — n个有次序的实数，也就是n维向量。因此，当　n ≤ 3 时，n维向量可以把有向线段作为几何形象，但当n＞3 时，n 维向量就不再有这种几何形象，只是沿用一些几何术语罢了。

3维向量空间：

在点空间取定坐标系以后，空间中的点P（x，y，z）与3 维向量　r =（x，y，z）T 之间有一一对应的关系，因此，向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间。在讨论向量的运算时，我们把向量看作有向线段；在讨论向量集时，则把向量r 看作以r 为向径的点P，从而把点P 的轨迹作为向量集的图形。

在同济大学线性代数第六版中，有这样一句话，矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。因此我们可以推断，列向量是可以多维的，但是它的深度只能是一维（这里的深度是相对于矩阵和数组而言的，而这里的维度是指的空间的维度，这是两个不同的概念）。

刘老师您好，问您一个问题：n维向量空间的基一定要是n个线性无关的n维向量吗？

我来试着证一下
设n维向量空间V中有向量组B:b1,b2,...,bt，则R(B)≦t
由n维向量空间的定义，V中存在向量组A:a1,a2,...,an是V的一个基
①当t<n时，有R(B)<R(A)=n
由向量组线性表示的必要条件得出，A无法由B线性表示
所以B不能构成基
②当t>n时，由基的定义知A是V的最大无关组，所以B线性相关
所以B不能构成基
综上，必然有t=n