常微分方程(常微分方程的通解)

常微分方程的定义

常微分方程，学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 　

定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

常微分方程

常微分方程，属数学概念。

在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。

任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。

如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

常微分方程之常微分方程（基础知识篇）

一、常微分方程的基本概念

定义1   微分方程:表示未知函数、未知函数的导数(或微分)与自变量之间的关系的方程

如果微分方程中的未知函数仅含有一个自变量,这样的微分方程称为常微分方程否则,称为偏微分方程

定义2   微分方程的阶:方程中未知函数的 最高阶导数 的 阶数n 叫做该 微分方程的阶 ,同时该方程叫做n阶微分方程

定义3   线性微分方程:微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂

例题：下列方程中为一阶线性方程的是   C

A. '+       B. y'+    C.  x y'+y = sin x     D. '-x y=1

定义4   微分方程的解:代入微分方程后能使方程成为恒等式的函数y=f(x)

定义5   通解:解中所含任意常数相互独立,个数与方程的阶数相同

定义6   特解:不含任意常数的解

定义7   我们用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件,称为微分方程的初始条件

定义8   初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题

定义9   初值问题特解:通过初始条件确定的 不含任意常数 的解

微分方程和常微分方程有什么区别

两者不存在区别之分，因为两者是包含与被包含的关系。微分方程包括常微分方程。

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

含有未知函数的导数，如的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。

扩展资料

微分方程的应用：

是重要工具之一。流体力学、超导技术、量子力学、数理金融中的稳定性分析、材料科学、模式识别、信号(图像)处理 、工业控制、输配电、遥感测控、传染病分析、天气预报等领域都需要它。

微分方程的解：

偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。

在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，维数是很小的。

高阶方程中，线性方程仍可以用叠加原理求解，即n阶齐次方程的通解是它的n个独立特解的线性组合，其系数是任意常数。非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，这个特解并且可以用常数变易法通过求积分求得。

求齐次方程的特解，当系数是常数时可归结为求一代数方程的根，这个代数方程的次数则是原方程的阶数;当系数是变数时，则只有二种极特殊的情况（欧拉方程、拉普拉斯方程）可以求得。

至于非线性高阶方程则除了少数几种可降阶情形(如方程(1)就是这几种情形都有的一个方程)之外，可以求得通解的为数就更小了。n阶方程也可以化为一阶方程组（未知函数的个数和方程的个数都等于 n）早已为人们所知，并且在此后起着一定作用，但对通解的寻求仍无济于事。

参考资料来源：百度百科-微分方程

常微分方程知识点总结有哪些？

常微分方程知识点总结如下：

1、代入微分方程能使方程两端称为恒等式的函数y=φ（x）称为微分方程的解。

2、不含任意常数的微分方程的解，称为微分方程的特解。

3、对于一阶线性微分方程的考察形式，一般有四种，以x作为自变量、以y作为自变量、非常见式形式和求方程的特解。

4、所谓的微分方程，指的是未知函数、未知函数的导数（微分）与自变量之间的关系的方程。

5、常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

常微分方程通解公式是什么?

常微分方程通解公式是y=y(x)。隐式通解一般为f(x,y)=0的形式，定解条件，就是边界条件，或者初始条件 。常微分方程,属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的;在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

六种常见的常微分方程通解：

1、一阶微分方程的普遍形式

一般形式：F（x,y,y'）=0

标准形式：y'=f(x,y)

主要的一阶微分方程的具体形式

2、可分离变量的一阶微分方程

3、齐次方程

4.一阶线性微分方程

5.伯努利微分方程

6.全微分方程