数列求和(数列求和的七种方法)

数列求和的方法

数列求和的方法如下：

方法一：错位相减

形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。

这种数列求和方式叫做错位相减。

备注：等差数列的通项常见形式为an=An+B(其中A、B为常数)，等比数列通项常见的形式为an=Aqn-m(其中A、m为常数)。

方法二：裂项相消

把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。

方法三：分组求和

有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。

数列求和有哪五种方法?

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
2、 等比数列求和公式：
自然数方幂和公式：
3、 4、
5、
[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)
∴该数列是首项为1,公比为x2的等比数列而且有n+3项
当x2＝1 即x＝±1时 和为n+3
评注：
(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时,应对其是否为1进行讨论,如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对x是否为0进行讨论．
(2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第n项．
对应高考考题：设数列1,（1+2）,…,（1+2+ ）,……的前顶和为 ,则 的值.
二、错位相减法求和
错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容.需要我们的学生认真掌握好这种方法.这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an�� bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法.
[例] 求和：（ ）………………………①
由题可知,{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
设 ……………………….② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
注意、1 要考虑 当公比x为值1时为特殊情况
2 错位相减时要注意末项
此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘.
对应高考考题：设正项等比数列 的首项 ,前n项和为 ,且 .（Ⅰ）求 的通项； （Ⅱ）求 的前n项和 .
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个 .
[例] 求证：
证明：设 …………………………..①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由 可得
…………..……..②
①+②得 （反序相加）
∴
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
若数列 的通项公式为 ,其中 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般用分组结合法.
[例]：求数列 的前n项和；
分析：数列的通项公式为 ,而数列 分别是等差数列、等比数列,求和时一般用分组结合法；
[解] ：因为 ,所以
（分组）
前一个括号内是一个等比数列的和,后一个括号内是一个等差数列的和,因此
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[例] 求数列 的前n项和.
设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.
注意：余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的.
2余下的项前后的正负性是相反的.
[练习] 在数列{an}中,,又 ,求数列{bn}的前n项的和.

数列求和公式

数列求和公式有七个方法：公式法、列项相消法、错位相减法、分解法、分组法、倒序相加法、乘公比错项相减等。具体介绍如下：

1、公式法。

公式法是解一元二次方程的一种方法，也指套用公式计算某事物。

另外还有配方法、十字相乘法、直接开平方法与分解因式法等解方程的方法。公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。

根据因式分解与整式乘法的关系，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

2、裂项相消法。

裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

3、 错位相减法。

适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。

4、分解法。

数学中用以求解高次一元方程的一种方法。把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。

5、分组求和法。

分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。

6、倒序相加法。

等差数列：首项为a1，末项为an，公差为d，那么等差数列求和公式为Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

7、乘公比错项相减（等差×等比）。

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。类似于错位相减法。

数列求和的七种方法

常见的数列求和方式有7种，分别为：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、公式法、分组求和法、数学归纳法和观察法。这7种求解方法之间的联系如下图所示；在具体应用过程中，可根据每种方法的使用条件，灵活求解。若要熟练掌握数列求和方法，需要在掌握基本概念的基础上多加练习，熟能生巧，巧能成精。

举例：1、裂项相消法

顾名思义，就是将数列an通项拆分为若干项，一般为某数列bn相邻两项之差，这样求和时便可以抵消中间部分，只剩首尾两项。常见的能够裂项的数列如下所示。

2、错位相减法

适用于差比数列求和，即an=bncn，其中bn为等差数列，cn为等比数列。

3、倒序相加法

数列求和的基本方法

数列求和是按照一定规律排列的数进行求和。求Sn实质上是求{Sn}的通项公式，应注意对其含义的理解。以下便是几种数列求和的方法。

01

差比数列求和法。运用此公式从而求出数列。
a:等差数列首项
d:等差数列公差
e:等比数列首项
q:等比数列公比

02

错位相减法。适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）
{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

03

等比数列求和公式，等差数列求和公式。运用公式套入题目。从而得到结果。

04

倒序相加法。这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

特别提示

以上为几种简单的数列求和方法。需加以实际数学题目进行实际运用。