抛物线的几何性质(抛物线的几何性质教案)

更新时间:2023-03-01 00:20:11 阅读：评论：0

抛物线的几何性质是？

1．范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．

高中数学抛物线的简单几何性质

1.抛物线切线定理
抛物线上任意点P，其在准线上的射影为M，抛物线焦点为F，则过P点的切线平分∠MPF。
2.抛物线切线方程
过抛物线上一点P（x0，y0）的的切线方程为：y0y=p(x+x0)
3.抛物线切点弦方程
过抛物线外一点P（x0，y0），做抛物线上的两条切线，切点为A，B，则过A，B的切点弦方程为：y0y=p(x+x0)
4.焦点弦性质
性质1：以焦点弦为直径的圆与准线相切。
性质2：以焦点弦在准线上的射影为直径的圆与焦点弦相切。
5.切点弦性质
性质1：准线上的点形成的切点弦过焦点。
性质2：做抛物线外一点的切点弦，如果过焦点，则此点必在准线上。

抛物线几何性质

(1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.
(3)顶点抛物线和它的轴的交点.
(4)离心率始终为常数1
(5)焦半径 PF|=x0+p/2
(6)通径通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的通径.通径的长度：2P

抛物线有很多几何性质，网上也有不少关于这些性质的推导的文章，不过几乎清一色地都是用的解析几何的方法。联立方程，导出根与系数的关系，算算算算算……

但是，与同样是二次曲线的椭圆和双曲线不同，圆和抛物线的几何性质非常「好」，不用坐标法，也能推出很多结论。不过相比具有完美对称性的圆来说，抛物线还是逊色了许多。圆的切线很容易用几何条件去描述（容易用反证法证出圆的切线垂直于过切点的直径），而抛物线的切线虽然也容易用几何条件描述，但相关结论却难以用纯几何法证出。所以涉及切线问题时，还是需要用坐标法证明一个重要结论的。虽然如此，本文的证明过程还是要比带着一大坨方程的纯代数法清爽得多。

抛物线方程是指抛物线的轨迹方程，是一种用方程来表示抛物线的方法[1]。在几何平面上可以根据抛物线的方程画出抛物线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线有哪些性质？

　1．抛物线的简单几何
性质
　　抛物线的
范围
，
对称性
、
顶点
、离心率统称为其简单
几何
性质，对于抛物线的四种不同
形式
的
标准
方程
，它们有相同的顶点和离心率，而其范围和对称性，则与标准方程的形式有关，注意结合
图形
来得出。　　2．由抛物线的
定义
可知，若
直线
1过抛物线
的焦点F且交抛物线于
两点，则焦半径
，
，弦长
，　　抛物线的
焦点弦
有很多重要性质，
后面
结合有关
例题
作详细研究。　　3．圆锥曲线的统一定义　　由椭圆、
双曲线
的第二定义及抛物线的定义可知，
平面
上动点M到定点F及到定直线1的
距离
之比等于
常数
e的点M的轨迹是圆锥曲线（这里点F不在直线1上，e>0，其中F是圆锥曲线的一个焦点，1是与F对应的
准线
，而e即为其离心率。）　　当0<e<1时，轨迹是椭圆；　　当e=1时，轨迹是抛物线；　　当e>1时，轨迹是双曲线。　4．最值问题　　设
是抛物线
上的
动点
，则点P到某定点或某定直线的距离的最大（小）值问题，可利用两点间的距离
公式
或点到直线的距离公式建立距离d关于
或
的函数，再求最值，而抛物线的范围则决定了函数的
定义域
。1、
通径
是过焦点的弦中最短的弦
2、对y^2=2px来说，过焦点的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1*y2=-p^2
3、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，(1/AF)+(1/BF)为
定值
4、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，过A作AA1垂直于准线于A1，过B作BB1垂直于准线于B1，M为A1B1
中点
，则AM⊥MB
5、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，C在抛物线的准线上，且BC//x轴，则AC过
原点
6、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，
向量
OA、OB的数量积为定值
7、光学性质：过焦点的光线被抛物线反射后为一组
平行光线
。
8、设C为抛物线上一点，过抛物线的焦点F作直线L交抛物线于A、B，AF、BF分别与准线交于P、Q，则PF⊥QF。（这个结论对椭圆、双曲线也成立。）

抛物线的性质

抛物线几何性质
（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。
（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。（为性质（1）第二部分的逆定理）从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。
（3）设抛物线上一点P的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。
（4）设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A，交顶点O的切线于B，则FB垂直平分PA，且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影（即PM垂直于准线）。
（5）抛物线的三条切线所围成的三角形，其外接圆经过焦点。即：若AB、AC、BC都是抛物线的切线，则ABCF四点共圆。
（6）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，连接切点的弦与轴相交于A。又设P在轴上的射影为B，则O是AB中点。
（7）若抛物线与一个三角形的三条边（所在直线）都相切，则准线通过该三角形的垂心。
有关弦的几何性质
（8）焦点弦两端的切线互相垂直，并且垂足在准线上。
（9）过焦点弦的端点A、B作准线的垂线，垂足分别为M、N。设A、B处的切线相交于P，则P是MN中点，并且以AB为直径的圆切准线于P。
（10）若抛物线的两条焦点弦相等，连接这两条焦点弦的中点，则连线与轴垂直。
（11）抛物线的一条弦AB与轴相交于P（不一定是焦点F），过A、B分别作轴的垂线AM、BN，抛物线顶点为O，则OP2=AM*BN。
证明
以上性质均可以用坐标法来证明，在此以
为例给出性质（1）、（4）、（9）的证明。
（1）焦点
，准线
，设
，则过P的切线方程为：
令
，得
，所以
于是
，
易证二者数量积为0，因此有PF⊥QF。
要证PQ平分∠APF，可通过全等三角形的判定方法HL证明Rt△APQ≌Rt△FPQ，得到对应角∠APQ=∠FPQ即可。HL是显然的，因为根据抛物线的定义，有PF=PA，而斜边PQ是公共边，因此两个三角形全等。
根据这个性质，我们还能得出一个推论：AF被PQ垂直平分，并且四边形PAQF内接于圆，PQ为直径。
（4）根据已知条件，A在x轴上，B在y轴上。
PA方程为：
，令x和y等于0，解得
容易验证B就是AP中点
而
，它们的数量积为0，因此BF⊥AP，即BF垂直平分AP。
要证PM与准线垂直，只要证M的纵坐标与P相同，都为y0即可。
容易写出直线BF：
，令
，解得
故
，命题得证。
（9）设
联立AB与抛物线方程，消去x得
由韦达定理，
又PA与PB都为切线，根据切线方程，
联立PA与PB的表达式可解得
而
，根据中点坐标公式和韦达定理可知P是MN中点。
设AB中点为E，则E的纵坐标
，与P的纵坐标相同，
因此PE∥x轴，PE⊥MN
而根据性质（8）可知PA⊥PB，即△PAB为直角三角形
所以E是△PAB的外心，所以PE是半径
根据切线的判定定理可知，MN是圆E的切线，切点为P。
切线的尺规作图
根据几何性质（2）可以得到过抛物线上一点或抛物线外一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。
（1）P在抛物线上
①过P作准线的垂线，设A为垂足
②连接PF（F是焦点）
③作∠APF的平分线PQ
则根据性质（2），直线PQ为切线
（2）P在抛物线外
①连接PF
②以P为圆心，PF为半径画弧，弧与准线分别交于A、B
③过A、B分别作准线的垂线，垂线和抛物线分别交于M、N
④连接PM、PN，则PM、PN为所求切线（有两条）
这是因为，若连接MF，则在△PAM和△PFM中
∵PA=PF（圆的定义），PM=PM（公共边），MA=MF（抛物线的定义）
∴△PAM≌△PFM（SSS）
∴∠AMP=∠FMP（全等三角形的对应角相等）
∴MP平分∠AMF（角平分线的定义）