中值定理(中值定理有几个)

中值定理有哪些啊?

中值定理通常包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，他们不但是研究函数形态的基础，同时也是洛必达法则及泰勒公式的理论基础。

中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。

在中值定理中，中值指的是，定理的结论里面一定与所讨论区间[a，b]的某一个值有关，这个值统称为中值，是区间[a，b]其中的一个值。

中值定理的前世今生

人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到如下结论，过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底，这正是拉格朗日定理的特殊情况。希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积。

意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实，曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。

中值定理有哪些呢?

中值定理有拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理。高考试题本身就带有高等数学的相关影子，同时高等数学的一些知识点，应用到高考题目中，一般只应用一些比较简单的部分，所以此时用高等数学的知识去解决高考压轴大题。

中值定理的特点

拉格朗日中值定理LagrangeMeanValueTheorem，提出时间1797年又称拉氏定理，又称微分中值定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式一阶展开，拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。

三个中值定理的公式是什么？

罗尔定理：如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使得f'(ξ）＝0。

柯西定理：如果函数f(x)及F(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；（3)对任一x∈（a,b)，F'(x)≠0那么在（a,b)内至少有一点ξ，使等式［f(b)-f(a)]/=f'(ξ）／F'(ξ）成立。

拉格朗日定理：如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导。那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a)成立。

积分中值定理：

积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。这个定理的几何意义为：若f(x)≥0，x∈［a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f(ξ)的矩形的面积。

三个中值定理的内容是什么?

三个中值定理分别是拉格朗日中值定理、柯西中值定理、积分中值定理。

拉格朗日中值定理：一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同。柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。

柯西中值定理：其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。

积分中值定理：这个定理的几何意义为若f(x)≥0，x∈[a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f(ξ)的矩形的面积。

以下是中值定理应用的相关介绍：

在一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明。

无穷小（大）量阶的比较时，看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。如果存在，其极限值也不尽相同。称两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限为 型或 型不定式极限。

解决这种极限的问题通常要用到洛比达法则。这是法则的内容，而在计算时往往都是直接的应用结论，没有注意到定理本身的证明，而这个定理的证明也应用到了中值定理。

以上资料参考百度百科——中值定理

拉格朗日中值定理的内容？

定理内容：

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: 　　

(1)在[a,b]连续 　　

(2)在(a,b)可导 　　

则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

易证明此函数在该区间满足条件: 　　

1.G(a)=G(b); 　　

2.G(x)在[a,b]连续; 　　

3.G(x)在(a,b)可导. 　　

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

扩展资料：

定理表述

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

那么在开区间(a,b)内至少有一点使等式成立。

其他形式记,令,则有上式称为有限增量公式。

我们知道函数的微分是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。

辅助函数法：

已知在上连续，在开区间内可导，构造辅助函数

可得又因为在上连续，在开区间内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点使得由此可得变形得定理证毕。

参考资料：百度百科-拉格朗日中值定理

费马定理中值定理是什么？

费马中值定理：利用连续函数在闭区间的介值定理可解决的一类中值问题，即证明存在ξ∈[a，b]，使得某个命题成立。利用罗尔定理、费马定理可解决的一类中值定理，即证明存在ξ∈[a，b]，使得H(ξ，f(ξ)，f’(ξ))=0。

历史：

1995年，安德鲁·怀尔斯等人将费马猜想证明过程发表在《数学年刊》，成功证明了这一定理。

费马大定理表述虽简单，但它的证明耗费了数代人的努力，许多数学家在证明过程中发现了许多新的数学理论，拓展了新的数学方法，证明费马大定理的过程可以算得上是一部数学史。