微分中值定理证明

微分中值定理证明

中值定理是微分学基本定理,内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点,它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）.中值定理又称为微分学基本定理,拉格朗日定理,拉格朗日中值定理,以及有限改变量定理[1]等. 内容如果函数f(x)满足 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导, 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a

高数，微分中值定理，证明过程是怎样的，

证：
由拉格朗日中值定理得
在区间(x1，x2)内，至少有一点ξ1，使f'(ξ1)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
f(x2)=f(x1)，f'(ξ1)=0
同理可得在区间(x2，x3)内，至少有一点ξ2，f'(ξ2)=0
函数在(a，b)内具有二阶导数，则f'(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导
由罗尔中值定理得，在区间(ξ1，ξ2)内，至少有一点ξ，使得
f''(ξ)=[f'(ξ2)-f'(ξ1)]/(ξ2-ξ1)=(0-0)/(ξ2-ξ1)=0
(ξ1，ξ2)⊂(x1，x3)
因此在(x1，x3)内至少有一点ξ，使得f''(ξ)=0

用微分中值定理证明方程x5 ＋x一1＝0只有一个正根？速求解

具体回答如下：

令f(x)=x5+x-1

f'(x)=5x^4+1

当x∈[0,＋∞)时，f'(x)恒大于0，f(x)在[0,＋∞)单增

f(1/2)<0

f(1)>0

所以根据介值定理知f(x)在（1/2,1)中间只有一个正根

中值定理的应用：

无穷小（大）量阶的比较时，看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。如果存在，其极限值也不尽相同。

解决这种极限的问题通常要用到洛比达法则，这是法则的内容，而在计算时往往都是直接的应用结论，没有注意到定理本身的证明，而这个定理的证明也应用到了中值定理。

高数 微分中值定理 证明

设f(x)=arctanx+arccotx

则，f '(x)=1/(1+x^2)-1/(1+x^2)=0

根据拉格朗日中值定理的推论

∴ f(x)=C

又 f(1)=arctan1+arccot1=π/4+π/4=π/2

∴ C=π/2

∴ arctanx+arccotx=π/2

如何理解三大微分中值定理？

微分中值定理(即罗尔定理, 拉格朗日定理, 柯西定理, 泰勒定理)是数学分析上册最重要的内容之一, 想要学好中值定理, 首先要学习它们的证明方法, 需要强调的是拉格朗日中值定理与柯西中值定理均可由罗尔中值定理进行证明, 证明的方法为积分法, 这是构造辅助函数最基本的一种手段, 另外由此也可以看出罗尔中值定理的极端重要性.

1.罗尔中值定理的证明过程如下所示：

注意：罗尔中值定理是微分中值定理的基本，根据之后的积分法可知，拉格朗日中值定理和柯西中值定理是由罗尔中值定理证明的，也就是说，理论上，可以用拉格朗日中值定理或者柯西中值定理的题目，均可以由罗尔中值定理证明。

2.拉格朗日中值定理的证明过程如下所示：

3.柯西中值定理的证明过程如下所示：

经过以上三个微分中值定理的证明过程之后，我们会发现，在拉格朗日中值定理中如果f(a)=f(b),就是罗尔中值定理，在柯西微分中值定理中，如果g(x)=x,那么就成为了拉格朗日中值定理，我们就可以得出他们之间的关系为：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况，同样，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况。

这三大微分中值定理是研究函数的有力工具，微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的欢喜，应用十分广泛，我们只有对这三个微分中值定理做到真正的理解，才能在用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、求拐点的方法，描绘函数的图像等等，这些更深层次的问题中灵活运用。