近世

1

近世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四

个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错

选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从

A到B的（）

A、满射而非单射B、单射而非满射

C、一一映射D、既非单射也非满射

2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积

集合A×B中含有（）个元素。

A、2B、5C、7D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说

A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)

4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）

A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）

A、倍数B、次数C、约数D、指数

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上

正确答案。错填、不填均无分。

1、设集合1,0,1A；2,1B，则有AB---------。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。

3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元

2

是---，元a的逆元是-------。

8、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设置换和分别为：















64173528

12345678

，















23187654

12345678

，判断和的奇偶性，并

把和写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵

与一个反对称矩阵之和。

3、设集合)1}(,1,,2,1,0{mmmM

m

，定义m

M中运算“m

”为

am

b=(a+b)(modm),则（m

M，m

）是不是群，为什么？

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、设G是群。证明：如果对任意的Gx，有ex2，则G是交换群。

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R

的一个商域。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题

二、1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。

A、aB、ea,C、

3,aeD、

3,,aae

2、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群

A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法

C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）

A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|

4、设1

、2

、3

是三个置换，其中1

=（12）（23）（13），2

=（24）（14），

3

=（1324），则3

=（）

A、1

2B、1



2

C、2

2D、2



1



5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

3

A、不可能是群B、不一定是群

C、一定是群D、是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上

正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于------。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。

5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。

6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。

7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----n

aaa,,,

10

使得

0

10

n

n

aaa。

8、a是代数系统)0,(A的元素，对任何Ax均成立xax，则称a为---------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G

对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(12)}，写出

H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E中的运算，（E，

•）是一个代数系统，问（E，•）是不是群，为什么？

3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当

m︱a–b。

4

近世代数模拟试题三

一、单项选择题

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,）B、（Z,）

C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)

交换的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)

C、(1)，(123)D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上

正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1----------。

3、区间[1，2]上的运算},{minbaba的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z

8

的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

9、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

5

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S

1

，S

2

是A的子环，则S

1

∩S

2

也是子环。S

1

+S

2

也是子环吗？

3、设有置换)1245)(1345(，6

)456)(234(S。

1．求和1；

2．确定置换和1的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题四

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填

写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集

合A×B中含有（）个元素。

A.2B.5

C.7D.10

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射

：x→x＋2，x∈R，

则是从A到B的（）

A.满射而非单射B.单射而非满射

C.一一映射D.既非单射也非满射

3.设S

3

＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S

3

中可以与(123)

交换的所有元素有（）

A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)

6

C.(1)，(123)D.S

3

中的所有元素

4.设Z

15

是以15为模的剩余类加群，那么，Z

15

的子群共有（）个。

A.2B.4

C.6D.8

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）

A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法

B.有理数域Q上的n级矩阵全体M

n

(Q)关于矩阵的加法与乘法

C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝0

D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝1

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是

A的一个等价关系。

7.设(G，·)是一个群，那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，

而且(ab)－1＝

___________。

8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S

5

，那么στ＝___________(表示成若干个

没有公共数字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a

∈G，则元素a的阶只可能是___________。

10.在3次对称群S

3

中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S

3

的一个不变子群，则

商群G/H中的元素(12)H＝___________。

11.设Z

6

＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则

Z

6

中的所有零因子是___________。

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。

13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝

_____________

7

___________。

14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所

有单位是___________

___________。

15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16.设Z为整数加群，Z

m

为以m为模的剩余类加群，是Z到Z

m

的一个映射，

其中

：k→［k］，k∈Z，

验证：是Z到Z

m

的一个同态满射，并求的同态核Ker。

17.求以6为模的剩余类环Z

6

＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子

环，并说明这些子环都是Z

6

的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一

分解环未必是主理想环。

四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，

共25分）

19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“”

由右边的运算表给出，证明：(G，)作成一个群。

20.设

abc

aabc

bbca

ccab

8

,Zc,a

0c

0a

I,Zd,c,b,a

dc

ba

R

































































已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不

是理想。

21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。

近世代数试卷

一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每

小题1分，共10分）

1、设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。（）

2、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（）

3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。（）

4、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（）

5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（）

6、群G的子群H是不变子群的充要条件为HHggHhGg1;,。（）

7、如果环R的阶2，那么R的单位元01。（）

8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（）

9、)(xF中满足条件0)(p的多项式叫做元在域F上的极小多项式。（）

10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与

p

Z同构的子域，这里Z是整

数环，p是由素数p生成的主理想。（）

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码

写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共

10分）

1、设

n

AAA,,,

21

和D都是非空集合，而f是

n

AAA

21

到D的一个映射，那么

（）

①集合DAAA

n

,,,,

21

中两两都不相同；②

n

AAA,,,

21

的次序不能调换；

③

n

AAA

21

中不同的元对应的象必不相同；

④一个元

n

aaa,,,

21

的象可以不唯一。

9

2、指出下列那些运算是二元运算（）

①在整数集Z上，

ab

ba

ba



；②在有理数集Q上，abba；

③在正实数集R上，babaln；④在集合0nZn上，baba。

3、设是整数集Z上的二元运算，其中baba,max（即取a与b中的最大者），

那么在Z中（）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、设,G为群，其中G是实数集，而乘法kbaba:，这里k为G中固定的

常数。那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是（）

①0和x；②1和0；③k和kx2；④k和)2(kx。

5、设cba,,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax,12，那么x（）

①11abc；②11ac；③11bca；④cab1。

6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类cHbHaHH,,,。如果6，那么G的阶G

（）

①6；②24；③10；④12。

7、设

21

:GGf是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）

①f的同态核是

1

G的不变子群；②

2

G的不变子群的逆象是

1

G的不变子群；③

1

G的子群的象是

2

G的子群；④

1

G的不变子群的象是

2

G的不变子群。

8、设

21

:RRf是环同态满射，baf)(，那么下列错误的结论为（）

①若a是零元，则b是零元；②若a是单位元，则b是单位元；

③若a不是零因子，则b不是零因子；④若

2

R是不交换的，则

1

R不交换。

9、下列正确的命题是（）

①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；

③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。

10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（）

①FIIEIE:::；②IEFIEF:::；

③IFFEFI:::；④FIIEFE:::。

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该

10

空无分。每空1分，共10分）

1、设集合1,0,1A；2,1B，则有AB。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1。

3、设集合A有一个分类，其中

i

A与

j

A是A的两个类，如果

ji

AA，那么



ji

AA。

4、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为。

5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。

6、给出一个5-循环置换)31425(，那么1。

7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达

为。

8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么

I

R是一个域当且仅

当I是。

9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果。

10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果。

四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预

备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）

1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在

n

aaa

21

里，元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G

对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么0S。

4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和'd都是a和b的

最大公因子，那么必有'dd。

11

5、叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元

n

aaa,,,

10

使得

0

10

n

n

aaa。

五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）

1、给出下列四个四元置换









































































3412

4321

,

4312

4321

,

3421

4321

,

4321

4321

4321



组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及1

4

1

3

1

2

1

1

,,,和G的所

有子群。

2、设

5,4,3,2,1,0

6

Z是模6的剩余类环，且

xZxgxf

6

)(),(。如果

253)(3xxxf、

354)(2xxxg，计算)()(xgxf、)()(xgxf和)()(xgxf以及它

们的次数。

六、证明题（每小题10分，共40分）

1、设a和b是一个群G的两个元且baab，又设a的阶ma，b的阶nb，并且

1),(nm，证明：ab的阶mnab。

2、设R为实数集，0,,aRba，令RxbaxxRRf

ba

,,:

),(

，将R的所有这样

的变换构成一个集合0,,

),(

aRbafG

ba

，试证明：对于变换普通的乘法，G作

成一个群。

3、设

1

I和

2

I为环R的两个理想，试证

21

II和

2121

,IbIabaII都是R的理想。

4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就

是零因子。

测验题

一、填空题（42分）

1、设集合M与M分别有代数运算与，且MM~，则当时，也满足结

合律；当时，也满足交换律。

2、对群中任意元素1)(,,abba有=；

3、设群G中元素a的阶是n，n|m则ma=；

12

4、设a是任意一个循环群，若||a，则a与同构；若na||，

则a与同构；

5、设G=a为6阶循环群，则G的生成元有；子群有；

6、n次对称群

n

S的阶是；置换)24)(1378(的阶是；

7、设





































2314

4321

1432

4321

，，则；

8、设)25)(136()235)(14(，，则1；

9、设H是有限群G的一个子群，则|G|=；

10、任意一个群都同一个同构。

二、证明题（24）

1、设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程exn。

2、叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意

两个子群H与K的交KH仍然是G的一个子群。

3、证明:如果群G中每个元素都满足方程ex2，则G必为交换群。

三、解答题（34）

1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算4baba作成群。

2、写出三次对称群

3

S的所有子群并写出

3

S关于子群H=｛（1），（23）｝的所有

左陪集和所有右陪集。

13

近世代数模拟试题一参考答案

一、单项选择题。

1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、

1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1；2、单位元；3、交换环；4、整

数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、

域；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：

)8)(247)(1653()6)(57)(48)(123(

可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的

乘积：

)27)(24)(16)(15)(13()57)(48)(12)(13(

2、解：设A是任意方阵，令

)(

2

1

AAB





，

)(

2

1

AAC





，则B

是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且CBA。若令有11

CBA，

这里1

B和1

C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则CCBB

11，

而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须

都等于0，即：1

BB，1

CC，所以，表示法唯一。

3、答：（m

M，m

）不是群，因为m

M中有两个不同的单位元

素0和m。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15

分，共25分）

1、对于G中任意元x，y，由于exy2)(，所以yxxyxyxy111)(

（对每个x，从ex2可得1xx）。

2、证明在F里

)0,,(11bRba

b

a

abab

有意义，作F的子集

)0,,(

















bRba

b

a

Q所有

14

1

近世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个

备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A

到B的（）

A、满射而非单射B、单射而非满射

C、一一映射D、既非单射也非满射

2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集

合A×B中含有（）个元素。

A、2B、5C、7D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说

A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)

4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）

A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）

A、倍数B、次数C、约数D、指数

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上

正确答案。错填、不填均无分。

1、设集合

1,0,1A；

2,1B，则有AB---------。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。

3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元

是---，元a的逆元是-------。

8、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

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