牟合方盖(牟合方盖三维动画)

牟合方盖是什么意思 《法语助手》法汉

牟合方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因为像是两个方形的盖子合在一起，故名。

南北朝时，数学家祖冲之和其子祖暅之求出牟合方盖与球体体积。他们的求法纪录在唐代李淳风为九章算数作的注解中，留传至今。祖氏父子在此解释：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等。这就是今天所称的「祖暅原理」。

牟合方盖用来计算什么

牟合方盖是用来计算球体体积的方法。

所谓“牟合方盖”，就是指由两个同样大小但轴心互相垂直的圆柱体相交而成的立体。由于这立体的外形似两把上下对称的正方形雨伞，所以就称它为“牟合方盖”。在这个立体里面，可以内切一个半径和原本圆柱体一样大小的球体，刘徽并指出，由于内切圆的面积和外切正方形的面积之比为 π : 4，所以“牟合方盖”的体积与球体体积之比亦应为 π : 4。可惜的是，刘徽并没有求出“牟合方盖”的体积，所以亦不知道球体体积的计算公式。

牟合方盖的源起

《九章算术》中曾认为，球体的外切圆柱体积与球体体积之比等于正方形与其内切圆面积之比。《九章算术》的“少广”章的廿三及廿四两问中有所谓“开立圆术”，“立圆”的意是“球体”，古称“丸”，而“开立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法。其中廿四问为：“又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？”

开立圆术曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”

刘徽为什么要设计“牟合方盖”？

“牟合方盖”是魏晋时期的数学家刘徽设计的一个形状奇特的几何体。

在一个立方体内分别作纵横两个内接圆柱体，二者相交的部分即为牟合方盖。这里的“牟”表示相等，“盖”表示伞，这个几何体的外形好像是把两个方口圆顶的伞上下拼合在一起，故取此名。

他是想通过这个物体计算出球的体积。如今我们知道，球体积的计算公式为V=4/3πr3，这个公式的推导是古代数学的难点之一，在古代没有人知道这个计算公式，刘徽想通过“牟合方盖”计算出来。

西汉时期的《九章算术》认为，球体积为球直径立方的9/16。这个计算方法可能来源于实物测量或几何估算。

这样算出来的值要比实际值大1/6左右，误差相当大。此后东汉的张衡将其修正为球直径立方的5/8，可是它比《九章算术》的值差得更多。

刘徽在为《九章算术》作注的时候，发现以上两个计算公式都不准确。

一个原因可能是二者所用的π值都不精确，《九章算术》中取π值为3，张衡则取[插图]，而刘徽运用割圆术得出π值约为3.14。

为此，刘徽设计了牟合方盖，并计算出球与牟合方盖的体积比为π：4，这样，只要算出牟合方盖的体积，便可得到正确的球积公式。

实际上牟合方盖又可以分为八个形状相同的小几何体，所以问题的关键便是如何计算这八个小几何体的体积。

遗憾的是，牟合方盖的形状太过奇特，刘徽最终没能推导出其体积的计算公式。他在为《九章算术》所写的注释中坦率地承认了这一点，并表示这个问题只能留待后人去解决了。

给中华民族留下了宝贵的财富牟合方盖，究竟是什么东西？

牟合方盖是什么?相信很多人对于这个都很陌生，牟合方盖是由我国古代的数学家刘徽发现的一种用于计算球体体积的方式，他希望可以用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误，但是最后也没有实现，但是牟合方盖的发现有重大的历史意义，牟合方盖是如何计算球体的体积计算方法的?

　　首先说下牟合方盖的历史意义：

“牟合方盖”的提出，充分体现了古人丰富的想象能力，以及为解决问题建立模型的智慧。刘徽是1700多年前的人，以千年前的社会知识水平，就在思考这种问题，简直令人叹为观止，这种智慧的光芒，震古烁今，光耀寰宇。他们对数学或者哲学问题的执着思考与纯粹探索的精神，是现代人身上及其缺乏的，也是现行教育缺失的一个重要方面。

牟合方盖是什么?　　

牟合方盖，由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法。由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。　　

牟合方盖指的是什么?　　

牟合方盖就是当一个正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。”其实刘徽也是希望通过构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是牟合方盖，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π：4，他希望可以用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误。

　　 当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道牟合方盖的体积跟内接球体体积的比为4：3，只要有方法找出牟合方盖的体积便可，只可惜，刘徽始终不能解决，他只可以指出解决的方法是通过计算出外棋的体积，但由于外棋的形状复杂，所以没有成功，他无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法：“观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”　　

牟合方盖的体积计算方法：　　

上面右图是一个正方体挖去了两个四棱锥(这两个四棱锥分别以上下底面为底面，以正方体的中心为顶点)，设正方体边长为2r。以平行于底面的平面同时截“牟合方盖”和“右图的几何体”，所得截面如上图所示。左图的截面是一个正方形，设中心到截面的距离为h，可得该正方形边长为2√r²-h²，所以左图的截面面积为4(r²-h²)　　

右图的截面像一个正方环形，面积是大正方形的面积减去小正方形的面积，边长为2r，所以大正方形面积为4r²，同样设中心到截面的距离为h，可知小正方形的边长为2h，所以小正方形的面积为4h²，即截面面积为4r²-4h²。

由上可知，两几何体在同一水平位置的截面面积相等，根据祖暅原理，它们的体积相等，右图的体积等于正方体的体积减去两个四棱锥的体积，根据锥的体积公式可知，两个锥的体积之和为正方体体积的1/3，所以该几何体的体积为正方体体积的2/3，即“牟合方盖”的体积为正方体体积的2/3，正方体体积为8r³，所以最终，“牟合方盖”的体积为16r³/3。

数学文化拓展：　　

刘徽(约公元225年—295年)，汉族，山东滨州邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。

　　 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

古代数学家刘徽的牟合方盖与截面积原理是什么？

刘徽指出，《九章算术》的开立圆术是错误的。他用两个底径等于球径的圆柱正交，其公共部分称作牟合方盖。提出“合盖者，图7球牟合方盖与立方（八分之一）方率也；丸居其中，即圆率也”，指出了彻底解决球体积的正确途径。200多年后，祖冲之父子解决了这个问题。刘徽还提出圆锥、圆台分别与其外切方锥、方台体积之比为π∶4，圆锥与以圆锥底周为底之每边长的方锥体积之比为25∶314(相当于1∶41π)。刘徽说“上连无成不方，故方锥与阳马同实”。成，训层。刘徽认为，两立体若等高处的截面积成定比，则其体积成定比。后来西方的B．卡瓦列里(Cavalieri)的不可分量原理与之十分接近。刘徽开始把中国对截面积原理的认识提高到理性阶段，为祖暅原理的最后完成作了准备。刘徽还提出圆锥与方锥的侧面积之比为π∶4。

牟合方盖三视图怎么画？

牟合方盖三视图画法：

牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法。由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。

拓展知识：

《九章算术》的“少广”章的廿三及廿四两问中有所谓“开立圆术”，“立圆”的意思是“球体”，古称“丸”，而“开立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法。其中廿四问为：

“又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？

开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”

从中可知，在《九章算术》内由球体体积求球体直径，是把球体体积先乘16再除以9，然后再把得数开立方根求出约得14300尺，约为4.75米，换言之

牟合方盖：

是当一正立方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：

“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。”

参考资料：

牟合方盖_百度百科